ВУЗ: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Дискретная математика
Добавлен: 28.11.2018
Просмотров: 6193
Скачиваний: 28
101
или x
∈ A, или x ∈ B. Если x ∈ A, то x ∈ A ∩ C (так как x ∈ С), а
значит, x
∈ (A ∩ C) U (B ∩ C). Если же x ∈ B, то x ∈ B ∩ C, откуда
x
∈ (A ∩ C) U (B ∩ C).
Итак, если x
∈ (A U B) ∩ C, то x ∈ (A ∩ C) U (B ∩ C).
Пусть теперь x
∈ (A ∩ C) U (B ∩ C). Докажем, что
x
∈ (A U B) ∩ C. Так как x принадлежит объединению двух мно-
жеств A ∩ C и B ∩ C, то x
∈ A ∩ C, или x ∈ B ∩ C. Если
x
∈ A ∩ C, то x ∈ A и x ∈ C. Из того, что x ∈ A, следует, что
x
∈ A U B, а так как x ∈ C, то x ∈ (A U B) ∩ C. Если же x ∈ B ∩ C,
то x
∈ B и x ∈ C. Из того, что x ∈ B, следует, что x ∈ A U B, а так
как x
∈ C, то x ∈ (A U B) ∩ C, и тождество доказано полностью.
В задачах, связанных с решением систем уравнений, следует
найти искомое множество Х из первого и второго уравнений. Общее
решение будет являться объединением этих двух решений.
Вариант 1
1.
Решите задачи №№ 1, 4, 12, 15, 19 ([1], с.16, 17).
2.
Докажите тождество: А ∩ ( В \ А ) = Ø.
Вариант 2
1.
Решите задачи №№ 2, 6, 10, 13 ([1], с.16,17).
2.
Докажите тождество: А \ (В U С) = (А \ В) \ С.
3.
Решите систему уравнений:
где А, В и С – данные множества и В
⊆ А ⊆ С.
Вариант 3
1.
Решите задачи №№ 5, 7, 9, 13 ([1], с.16, 17).
2.
Докажите тождество: А \ ( В ∩ С ) = ( А \ В ) U ( А \ С ).
3.
Решите систему уравнений:
где В
⊆ А, А ∩ С = Ø.
⎩
⎨
⎧
=
=
,
,
C
X
A
B
X
A
∪
∩
⎩
⎨
⎧
=
=
,
\
,
\
C
A
X
B
X
A
102
Вариант 4
1.
Решите задачи №№ 3, 8, 11, 17 ([1], с.16,17).
2.
Докажите тождество: А \ ( А \ В ) = А ∩ В.
3.
Решите систему уравнений:
где В
⊆ А ⊆ С.
Вариант 5
1.
Решите задачи №№ 14, 15, 24 ([1], с.17,18).
2.
Составьте список элементов множества А, заданного опи-
сательным способом: А = {x / x
2
– 8x + 15 = 0}.
3.
Докажите, что {{1, 2}, {2, 3}} ≠ {1, 2, 3}.
4.
Докажите тождество: А ∩ ( В \ С ) = ( А ∩ В ) \ ( А ∩ С ).
Вариант 6
1.
Решите задачи №№ 7, 15 ([1], с.16,17).
2.
Составьте список элементов множества А, заданного опи-
сательным способом: А = {x / x
∈ N, -11 < x ≤ -3}, где
N – множество натуральных чисел.
3.
Верно ли, что {1, 2}
∈ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Верно ли,
что {1, 2}
⊆ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?
4.
Докажите тождество: А \ ( В U С ) = ( А \ В ) ∩ ( А \ С ).
5.
Решите систему уравнений:
где В
⊆ А, А ∩ С = Ø.
Вариант 7
1.
Решите задачи №№ 4, 15 ([1], с.16,17).
2.
Опишите множества М точек плоскости таких, что
а) {М : OM = R},
б) {M : OM ≤ R}.
3.
Верно ли, что {1, 2}
∈ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Верно ли,
что {1, 2}
⊆ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?
4.
Докажите тождество: А \ ( В U С ) = ( А \ В ) \ С.
⎩
⎨
⎧
=
=
,
,
\
C
X
A
B
X
A
∪
⎩
⎨
⎧
=
=
,
\
,
C
B
X
B
X
A ∩
103
5.
Решите систему уравнений:
где В
⊆ А ⊆ С.
Вариант 8
1.
Решите задачи №№ 16, 17 ([1], с.17).
2.
Опишите множество М точек плоскости таких, что
{M : AM = MB}.
3.
Найдите все подмножества множеств Ø, {Ø}, {1, 2},
{a, b, c, d}.
4.
Докажите тождество: А ∩ ( В \ А ) = Ø.
5.
При каких А, В и С система уравнений
имеет решение?
Вариант 9
1.
Решите задачи №№ 7, 13, 14, 24 ([1], с. 16 – 18).
2.
Докажите тождество: А U B = A U ( В \ А ).
3.
Существуют ли такие множества А, В и С, что
А ∩ В ≠ Ø, А ∩ С = Ø, ( А ∩ В ) \ С = Ø?
Вариант 10
1.
Решите задачи №№ 8, 15, 16, 20 ([1], с. 16, 17).
2.
На множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение
x – y ≥ 2. Выпишите пары, принадлежащие этому отноше-
нию. Определите его свойства.
3.
Решите систему уравнений:
где В
⊆ А, А ∩ С = Ø.
⎩
⎨
⎧
=
=
,
\
,
B
X
C
A
X
C ∩
⎩
⎨
⎧
=
=
A
X
X
C
X
B
X
A
\
,
\
∪
∩
⎩
⎨
⎧
=
=
,
\
,
\
C
A
X
B
X
A
104
Контрольная
работа
№
2
Тема этой контрольной работы – основы теории графов. В ра-
боте требуется выполнить следующие задания.
1.
В соответствии с выбранным вариантом построить граф отноше-
ния. Если в задании не указано число элементов множества, то
оно может быть произвольным, но не менее восьми. При этом
нужно постараться учесть все возможные ситуации, возникаю-
щие при рассмотрении данного отношения.
2.
Для построенного графа найти:
-
матрицу смежности (вершин);
-
матрицу инцидентности;
-
матрицу отклонений (расстояний);
-
вектор отклоненностей (удаленностей);
-
радиус, диаметр, центр, периферийные вершины;
-
число внутренней и внешней устойчивости.
3.
Для двух произвольно выбранных графов найти декартово про-
изведение и декартову сумму.
Вариант 1
Постройте граф отношения «быть знакомым» на множестве
людей. Определите его свойства.
Вариант 2
Постройте граф отношения «х + у ≥ 7» на множестве М = {1, 2, 3, 4,
5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 3
Постройте граф отношения «быть делителем» на множестве
М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 4
Постройте граф отношения «х – у ≤ 2» на множестве М = {1, 2, 3, 4,
5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 5
Постройте граф отношения «быть сыном» на множестве людей.
Определите его свойства.
105
Вариант 6
Постройте граф отношения «прямая х пересекает прямую у» на
множестве прямых. Определите его свойства.
Вариант 7
Постройте граф отношения «быть сестрой» на множестве лю-
дей. Определите его свойства.
Вариант 8
Постройте граф отношения «находиться на одинаковом рас-
стоянии от начала координат» на множестве точек вещественной
плоскости. Определите его свойства.
Вариант 9
Постройте граф отношения «х + у ≤ 7» на множестве М = {1, 2,
3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 10
Постройте граф отношения «х – у ≥ 2» на множестве М = {1, 2,
3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.