конспект.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлена: 14.06.2021

Просмотров: 18

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.3.2 Теорема Лапласа для вычисления определителя квадратной матрицы.


- Минор элемента аij, Мij

Минором элемента аij квадратной матрицы n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученного путем вычеркивания i-ой строки и

j-ого столбца.


А= М13= М22= М32=


- Алгебраическое дополнение элемента aij, Aij


Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.

Aij=(-1)i+jMij


А= А13=(-1)1+3 А22=(-1)2+2М22=120=20

- Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.


i1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=

Пример 2. Вычислить определитель:

Решение:

Для вычисления данного определителя воспользуемся теоремой Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов, какой либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Для более удобного вычисления выполним элементарные преобразования: умножим элементы 1-ой строки на 1, (-2), (-1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, добиваемся того, чтобы все элементы 3-его столбца(кроме а13) равнялись нулю и разложим определитель по элементам 3-его столбца:


Для вычисления последнего определителя воспользовались правилом треугольника.

Ответ: определитель матрицы равен - 9.


2.4 (а) Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти одно из базисных решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду.

r(A)=2, число переменных n=4, следовательно система имеет бесконечное множество решений.

Определитель при переменных х1 и х2 , следовательно их можно взять за основные. Остальные, неосновные переменные х3 и х4 переносим в правые части уравнений:

Нашли общее решение системы. Чтобы найти базисное решение приравняем свободные переменные нулю, т.е.х34=0. Получим базисное решение (-9;5; 0;0)


§ 3 Элементы векторной алгебры


3.1 Определения и основные понятия

Вектором называется направленный отрезок, он обозначается двумя буквами или одной .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Координатами вектора в декартовом базисе называются его проекции на оси координат. Обозначим координаты вектора через х, у,z получим следующее представление вектора в координатной форме:

В координатной форме сокращенно вектор можно записывать следующим образом .

Если вектор задан координатами начала и конца М111,z1) и М222,z2), то координаты вектора = (х2 – х12 – у1, z2 - z1).

Длина вектора (модуль) находится по формуле:

.

3.2 Действия над векторами

Если векторы и заданы координатами, то сумму и разность векторов, произведение вектора на число можно найти по формулам:


При умножении вектора на число получаем вектор коллинеарный данному, следовательно, можно сделать вывод:

Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними .

Если векторы заданы координатами, то .

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами: .

Векторы перпендикулярны если их скалярное произведение равно

нулю .

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , определяемый следующими условиями:

  1. вектор перпендикулярен векторам и ;

  2. вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и в как на сторонах

  1. векторы а,в,с образуют правую тройку.


z




Е

x

y

O

сли векторы и