9	6	1
А	Б	В

Задача 4

Кручение круглого бруса

Для вала круглого сечения заданной схемы (рис.1) требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов.

2. Подобрать диаметр вала из условия прочности при заданном значении допускаемого напряжения [τ] и из условия жесткости при заданном значении допускаемого относительного угла закручивания []. Из полученных двух значений диаметра назначить больший.

3. Построить эпюру максимальных касательных напряжений.

4. Приняв модуль сдвига МПа, построить эпюру углов поворота сечений по длине вала.

5. Вычислить потенциальную энергию упругой деформации вала W и работу внешних сил А. При расхождении этих величин более 1 % следует уточнить расчет или найти ошибки.

Дано:



М₁ М₂ М₃









l₁ l₂ l₃

Решение

Определим реакцию – момент М_А в заделке (рис. 1,а). Из условия равновесия вала

М_А – М₁ – М₂ + М₃ = 0,

---

определим реактивный момент

М_А = М₁ + М₂ – М₃ = 1,6 + 1,5 – 0,8 = 2,3 кНм.
М_А = 2,3 кНм М₁ = 1,6 кНм М₂ = 1,5 кНм М₃ = 0,8 кНм

а)

0 1 2 3

М_А IIIIII
l₁ = 1,4 м l₂ = 1,3 м l₃ = 1,0 м

2,3 2,3




0,7 0,7 M_к,

кН_*м

---

13,4 13,4 0,8 0,8

4,07 4,07

МПа



4,65 4,65

0,0063 0,0051

0,0049

рад.



Рис. 1. Эпюры

Слева от сечения, проведенного на первом участке, действует только один реактивный момент М_А, причем, если смотреть на вал слева, он поворачивает рассматриваемую часть против часовой стрелки. Следовательно, на участке I М_к1 = М_А = 2,3 кНм.

По аналогии получаем:

– на участке II М_к2 = М_А - М₁ = 2,3 - 1,6 = 0,7 кНм;

– на участке III М_к3 = - М₃ = - 0,8 кНм.

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 1,б).

Максимальный по модулю крутящий момент M

---

_{к max}= 2,3 кНм.

Подбираем диаметр вала из условий прочности и жесткости.

Условие прочности при кручении



где W_p – полярный момент сопротивления поперечного сечения. Для вала круглого сечения W_p = .

С учетом этого условие прочности запишется в виде

τ_max = ≤ [τ],

откуда

d ≥ = = 59,7 мм = 5,97 см.

Условие жесткости при кручении вала



где I_p – полярный момент инерции поперечного сечения.

Так как для круглого сечения I_p = π d⁴/32, то условие жесткости имеет вид

Следовательно, диаметр вала

d≥ = = 0,0957 м = 9,57 см.

Так как диаметр вала должен удовлетворять обоим условиям, окончательно принимаем d = 9,57 см.

Определим максимальные касательные напряжения в поперечных сечениях вала.

Вычислив предварительно полярный момент сопротивления



находим:

– участок I


– участокII


– участок III


Строим эпюру τ_max (рис. 1,в).

Для построения эпюры углов поворота сечений сначала необходимо вычислить углы закручивания каждого из участков вала.

Вычислив предварительно полярный момент инерции сечения

I_p = π d⁴ / 32 = 3,14 · 9,57⁴ / 32 = 823,1 см⁴ = 823,1٠10^-8 м⁴,

получим:

– участок I

---

–участок II



– участок III



Обозначим характерные сечения вала, начиная от заделки, цифрами 0, 1, 2, 3 (рис. 1а). Очевидно, что в заделке сечение и после приложения заданных крутящих моментов остается неподвижным, т. е. φ₀ = 0.

Углы поворота других характерных сечений находим алгебраическим суммированием углов закручивания отдельных участков:

– сечения 1 φ₁ = φ_I= 0,0049 рад;

– сечения 2 φ₂ = φ₁ + φ_II = 0,0049 + 0,0014 = 0,0063 рад;

– сечения 3 φ₃ = φ₂ + φ_III= 0,0063 - 0,0012 = 0,0051 рад.

Эпюра углов поворота сечений по длине вала показана на рис. 1г.

Вычислим потенциальную энергию упругой деформации вала W
и работу внешних сил А.

Потенциальная энергия упругой деформации



где n = 3 – количество участков вала.



Работа внешних сил



где φ_j– угол поворота сечения, в котором приложен крутящий момент M_j;

m = 3 – число моментов(реактивный момент М_А работы не совершает,
так как сечение в заделке неподвижно (φ₀ = 0)).

Все сечения вала после его нагружения повернулись (при наблюдении вала справа) по ходу часовой стрелки. В связи с этим работа моментов М₁и М₂, которые действуют в противоположном направлении, будет отрицательной, а работа момента М₃, действующего в обратном направлении – положительной.

Следовательно,





Расхождение величин W и А



Практически одинаковые значения энергии деформации и работы внешних сил свидетельствуют о том, что задача решена верно.

---

Смотрите также файлы

• Доклад Где применяются профстандарты.docx

• Задание Разработать и описать технологию эффективного найма психологапедагога, менеджера, руководителя (начальника) отдела (компании) по выбору.docx

• Отчет по производственной практике пп 01. 01 Информационные системы.ppt

• 2022 год план.docx

• Участие России в международном и олимпийском движении Студент группы С22Слс.pptx