Файл: Решение Для определения радиуса кривизны траектории в данном случае, можно использовать следующую формулу.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 177
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задача 1
Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 7 м/с , ускорение а= 2,2 м/с2, а угол между ними 30°.
Решение:
Для определения радиуса кривизны траектории в данном случае, можно использовать следующую формулу:
Радиус кривизны (R) = (V^2) / a,
где:
V - скорость точки,
a - ускорение точки.
В данном случае, скорость (V) равна 7 м/с, а ускорение (a) равно 2.2 м/с^2.
Подставляя значения в формулу, получаем:
R = (7^2) / 2.2,
R = 49 / 2.2,
R ≈ 22.27 м.
Таким образом, радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 7 м/с, ускорение а = 2,2 м/с^2, а угол между ними 30°, составляет примерно 22.27 метра.
Задача 2
Задан закон движения точки по траектории: $ = 0,51:2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени ^ = 2 с, когда радиус кривизны р = 4 м.
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо найти вектор скорости (V) и вектор полного ускорения (A) в момент времени t = 2 секунды, а затем определить угол между ними.
Для начала, найдем вектор скорости (V) путем дифференцирования заданного закона движения по времени:
V = d(r)/dt,
где r(t) - заданный закон движения точки.
В данном случае, закон движения точки задан как r(t) = 0.51t^2.
Дифференцируя по времени, получаем:
V = d(0.51t^2)/dt,
V = 2 * 0.51t,
V = 1.02t.
Теперь, найдем вектор полного ускорения (A), используя следующую формулу:
A = d(V)/dt.
Дифференцируя вектор скорости по времени, получаем:
A = d(1.02t)/dt,
A = 1.02.
Теперь у нас есть вектор скорости V = 1.02t и вектор полного ускорения A = 1.02.
Для определения угла между векторами скорости и полного ускорения, мы можем использовать следующую формулу:
cos(θ) = (V * A) / (|V| * |A|),
где θ - угол между векторами, |V| и |A| - модули векторов скорости и полного ускорения соответственно.
В данном случае, модуль вектора скорости |V| равен V = 1.02t (подставляем значение t = 2 секунды):
|V| = 1.02 * 2,
|V| = 2.04 м/с.
Модуль вектора полного ускорения |A| равен A = 1.02.
Подставляя значения в формулу, получаем:
cos(θ) = (1.02 * 1.02) / (2.04 * 1.02),
cos(θ) = 1.0404 / 2.0808,
cos(θ) ≈ 0.5.
Теперь, чтобы найти угол θ, мы можем использовать обратную функцию косинуса:
θ = acos(0.5).
Используя калькулятор или таблицу значений, находим:
θ ≈ 60°.
Таким образом, угол между векторами скорости и полного ускорения в момент времени t = 2 секунды, когда радиус кривизны r = 4 метра, составляет примерно 60°.
Задача 3
Угловая скорость тела изменяется согласно закону ш = -71: рад/с. Определить угол (рад) поворота тела в момент времени 1: = 3 с, если при *о = 0 угол поворота сро = 8 рад.
Решение:
Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для нахождения угла поворота тела в зависимости от угловой скорости:
θ = θ₀ + ∫(ω(t) * dt),
где
θ - угол поворота в момент времени t,
θ₀ - угол поворота при начальном времени,
ω(t) - угловая скорость в момент времени t.
В данном случае, у нас задан закон изменения угловой скорости: ω = -71/t.
Известно, что при t₀ = 0 угол поворота θ₀ = 8 радиан.
Теперь, чтобы определить угол поворота тела в момент времени t = 3 секунды, мы можем интегрировать угловую скорость ω(t) от t₀ до t:
θ = θ₀ + ∫(ω(t) * dt),
θ = 8 + ∫(-71/t * dt).
Интегрируя, получаем:
θ = 8 - 71 * ln(t) + C,
где C - постоянная интегрирования.
Теперь мы можем использовать известное значение угла поворота при t = 0, чтобы найти постоянную C:
θ(t₀) = 8 - 71 * ln(t₀) + C,
8 = 8 - 71 * ln(0) + C.
Логарифм от нуля не определен, поэтому можно сделать вывод, что C = 8.
Теперь мы можем записать окончательную формулу для угла поворота тела в момент времени t:
θ = 8 - 71 * ln(t) + 8,
θ = -71 * ln(t) + 16.
Теперь подставим t = 3 секунды:
θ = -71 * ln(3) + 16.
Вычисляя это выражение, получаем значение угла поворота:
θ ≈ 8.07 радиан.
Таким образом, угол поворота тела в момент времени t = 3 секунды составляет примерно 8.07 радиан.
Задача 4
Тело вращается равнопеременно с угловым ускорением г = 5,7 рад/с2. Определить скорость точки на расстоянии г = 6,7 м от оси вращения в момент времени * = 4 с, если при *о = 0 угловая скорость 0.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся основными формулами кинематики вращательного движения.
Угловое ускорение (α) и угловая скорость (ω) связаны следующим соотношением:
α = dω/dt,
где α - угловое ускорение, ω - угловая скорость, t - время.
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
∫α dt = ∫dω,
где ∫α dt - интеграл от углового ускорения по времени, ∫dω - интеграл от угловой скорости.
Так как угловое ускорение постоянно, то его можно вынести за знак интеграла:
α ∫dt = ∫dω,
или
α t = ω - ω₀,
где ω₀ - начальная угловая скорость.
Теперь рассмотрим формулу для связи угловой скорости и линейной скорости:
v = rω,
где v - линейная скорость, r - расстояние от точки до оси вращения, ω - угловая скорость.
Подставим выражение для ω:
v = r(α t + ω₀).
Теперь можем решить задачу.
Дано:
α = 5,7 рад/с², r = 6,7 м, t = 4 с, ω₀ = 0.
Подставим значения в формулу:
v = 6,7(5,7 * 4 + 0) = 6,7 * 22,8 = 153,36 м/с.
Таким образом, скорость точки на расстоянии 6,7 м от оси вращения в момент времени 4 с составляет 153,36 м/с.
Задача 5
Диск вращается вокруг оси 02. По его ободу движется точка М с постоянной относительной скоростью \д = 5,6 м/с. Определить переносную скорость точки М в момент, когда ее абсолютная скорость равна 17 м/с.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся понятием относительной скорости и связью между относительной скоростью и переносной скоростью.
Относительная скорость (v_rel) между точкой М на ободе диска и центром оси вращения можно выразить следующим образом:
v_rel = v_M - v_O,
где v_M - скорость точки М, v_O - скорость центра оси вращения.
Переносная скорость (v_trans) точки М - это скорость точки М относительно неподвижного наблюдателя. Она связана с относительной скоростью следующим образом:
v_trans = |v_rel|,
где |v_rel| - модуль относительной скорости.
Из условия задачи известно, что относительная скорость v_rel = 5,6 м/с и абсолютная скорость v_M = 17 м/с.
Теперь можно определить переносную скорость точки М:
v_trans = |v_rel| = |v_M - v_O|.
Так как центр оси вращения считается покоящимся, то v_O = 0, и формула для переносной скорости просто сводится к модулю скорости точки М:
v_trans = |v_rel| = |v_M|.
Таким образом, переносная скорость точки М в момент, когда ее абсолютная скорость равна 17 м/с, будет равна 17 м/с.
Задача 6
Стержень АВ движется в вертикальной плоскости так, что его конец А скользит по горизонтальной прямой со скоростью иА = 9,5 м/с, а в точке С скользит по диску радиуса г м. Определить скорость точки С стержня в положении, когда угол а = 45°.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся связью между скоростью точки на стержне и угловой скоростью стержня.
При движении стержня в вертикальной плоскости скорость точки на стержне связана с угловой скоростью (ω) стержня и расстоянием (r) от точки до оси вращения следующим образом:
v = rω,
где v - скорость точки на стержне, r - расстояние от точки до оси вращения, ω - угловая скорость стержня.
В данной задаче конец А стержня скользит по горизонтальной прямой со скоростью v_A = 9,5 м/с. Поскольку конец А скользит горизонтально, то его скорость направлена перпендикулярно радиусу диска и не вносит вклад в угловую скорость стержня.
В точке С стержня скорость направлена по радиусу диска и составляет угол а = 45° с горизонтальной осью.
Таким образом, скорость точки С стержня будет равна скорости точки на стержне в данном положении, а угловая скорость стержня будет определяться по формуле:
ω = v/r,
где r - радиус диска.
Подставим известные значения:
ω = v/r = v_C/r.
Учитывая, что угол а = 45°, воспользуемся тригонометрическими соотношениями:
v_C = v_A * sin(α),
где α - угол а.
Подставим значения и решим:
v_C = 9,5 м/с * sin(45°) ≈ 9,5 м/с * 0,707 ≈ 6,718 м/с.
Таким образом, скорость точки С стержня в положении, когда угол а = 45°, составляет примерно 6,718 м/с.
Задача 7
К тетраэдру приложены вертикальная сила Р-| = 7,3 Н и сила Р2 = 5,4 Н. Определить главный момент указанной системы сил, приняв за центр приведения точку О, если ОА = ОВ = ОР = 4,1
Решение:
Главный момент системы сил относительно заданной точки О определяется суммой моментов каждой силы относительно этой точки. Момент силы определяется как произведение величины силы на перпендикулярное к ней расстояние до точки О.
В данной системе сил, для определения главного момента, необходимо учесть моменты обеих сил Р1 и Р2 относительно точки О.
Момент силы Р1 относительно точки О равен:
M1 = |Р1| * ОР = 7,3 Н * 4,1 м = 29,93 Н·м.
Момент силы Р2 относительно точки О также равен:
M2 = |Р2| * ОР = 5,4 Н * 4,1 м = 22,14 Н·м.
Теперь можно определить главный момент системы сил относительно точки О, сложив моменты каждой силы:
M = M1 + M2 = 29,93 Н·м + 22,14 Н·м = 52,07 Н·м.
Таким образом, главный момент указанной системы сил относительно точки О составляет 52,07 Н·м.
Задача 8
Какой должна быть интенсивность ятах распределенной нагрузки, для того чтобы реакция опоры В равнялась 2,9 Н, если размеры АС = 4,3 м, СР = 6,2 м, ОВ = 4,9 м?
Решение:
Для определения интенсивности равномерно распределенной нагрузки, которая приведет к заданной реакции опоры В, мы можем использовать условие равновесия моментов относительно точки О.
Сумма моментов сил
относительно точки О должна быть равна нулю, если система находится в равновесии.
В данной задаче, учитывая геометрические размеры АС = 4,3 м, СР = 6,2 м и ОВ = 4,9 м, и обозначая интенсивность равномерно распределенной нагрузки как q, мы можем записать следующее уравнение моментов:
Момент от нагрузки на отрезке АС: q * (AS/2) * (AS/3) = (1/2) * q * AS^2 / 6
Момент от нагрузки на отрезке СР: q * (AS + SR/2) * (SR/2) = q * (AS*SR/2 + SR^2/4)
Момент от нагрузки на отрезке ОВ: q * (AS + SR + OV/2) * (OV/2) = q * (AS*OV/2 + SR*OV/2 + OV^2/4)
В равновесии, сумма этих моментов должна быть равна нулю:
(1/2) * q * AS^2 / 6 + q * (AS*SR/2 + SR^2/4) + q * (AS*OV/2 + SR*OV/2 + OV^2/4) = 0
Теперь мы можем подставить известные значения AS = 4,3 м, SR = 6,2 м, OV = 4,9 м и найти значение интенсивности равномерно распределенной нагрузки q:
(1/2) * q * (4,3 м)^2 / 6 + q * (4,3 м * 6,2 м/2 + (6,2 м)^2/4) + q * (4,3 м * 4,9 м/2 + 6,2 м * 4,9 м/2 + (4,9 м)^2/4) = 0
Вывод: для того чтобы реакция опоры В равнялась 2,9 Н, интенсивность равномерно распределенной нагрузки должна быть равна нулю.
Задача 9
На конец кабеля, намотанного на барабан, действует сила Р = 5,3 Н. Барабан катится равномерно по горизонтальной плоскости без скольжения. Определить в кН вес барабана, если его радиусы г = 0,7 м и К = 1,2 м. Коэффициент трения качения барабана 5 = 0,01 м.
Решение:
Для определения веса барабана, мы можем использовать условие равновесия для горизонтального движения без скольжения.
Сумма сил, действующих на барабан, должна быть равна нулю, так как он движется с постоянной скоростью.
Сила трения качения Fтр = μ * N, где μ - коэффициент трения качения, N - нормальная реакция.
В данной задаче, сила трения качения равна Fтр = 0,01 м * N.
Также известно, что на конец кабеля действует сила Р = 5,3 Н.
Применяя условие равновесия, мы можем записать следующее уравнение:
Fтр - Р = 0,
0,01 м * N - 5,3 Н = 0.
Отсюда мы можем найти значение нормальной реакции N.
0,01 м * N = 5,3 Н,
N = 5,3 Н / 0,01 м,
N = 530 Н.
Таким образом, нормальная реакция равна 530 Н.
Вес барабана равен силе тяжести, и он равен N, поэтому вес барабана составляет 530 Н или 0,53 кН.
Задача 10
Однородная плита ОАВС весом с-171Н удерживается в горизонтальном положении шарнирами О, А и тросом ЕЮ. Определить натяжение троса, если а=0,6 м и угол а=60 градусов.
Решение:
Для определения натяжения троса, мы можем использовать условие равновесия для горизонтального положения плиты.
В данной задаче, плита ОАВС удерживается в горизонтальном положении шарнирами О и А, а также тросом ЕЮ.