Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5167
Скачиваний: 24
І МОДУЛЬ. СЫЗЫҚТЫ АЛГЕБРА ЖƏНЕ
АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
БІРІНШІ ЛЕКЦИЯ
МАТРИЦА. НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР
Анықтама. m жатық n тік жолдан құрылған кестені
mxn өлшемді матрица деп атайды.
Матрицаны құрайтын сандар матрица элементтері деп
аталады. Əдетте матрица латын алфавитінің бас əріптерімен, ал
элементтері сəйкес кіші əріптермен белгіленеді:
=
×
mn
mj
m
m
in
i
i
n
j
n
j
a
a
a
a
a
ij
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
m
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Қысқаша жазылуы:
( )
n
j
m
i
ij
a
A
,
...
,
2
,
1
;
,
...
,
2
,
1
,
=
=
=
Матрица элементінің бірінші индексі жатық жол нөмірі, ал
екінші индексі тік жол (бағана) нөмірін көрсетеді. Мысалы,
23
a
элементі екінші жатық жол мен үшінші тік жол қиылысында
орналасқан.
Бір ғана жатық жолдан құралған матрицаны жол-матрица,
ал бір ғана тік жолдан құралған матрицаны бағана-матрица деп
атайды:
(
)
n
a
a
a
A
1
12
11
...
=
- жол-матрица;
5
=
1
21
11
...
m
b
b
b
B
- бағана матрица.
Жол матрица мен бағана матрицаны кейде вектор деп те
айтады..
Жатық жолдар саны мен тік жолдар саны тең болатын
матрица квадрат матрица деп аталады,
=
nn
n
n
n
n
nxn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Квадрат
матрицаның
nn
a
a
a
...
22
11
элементтері
диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның негізгі
диагоналін құрайды. Ал
1
1
2
1
...
n
n
n
a
a
a
−
элементтері
қосымша диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның
қосымша диагоналін құрайды.
Квадрат матрицаның негізгі диагоналінің астындағы немесе
үстіндегі элементтері нолге тең болса, матрица үшбұрышты
матрица деп аталады,
=
nn
n
n
a
a
a
a
a
a
A
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
2
22
1
12
11
,
=
nn
n
n
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
0
...
0
...
0
2
1
22
21
11
Диагоналды емес элементтерінің бəрі нолге тең болатын
квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,
6
=
nn
a
a
a
A
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
22
11
.
Барлық диагоналды элементтері бірге тең болатын диагоналды
матрица бірлік матрица деп аталады жəне оны Е əрпімен
белгілейді,
=
1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
E
.
Барлық элементтері нолге тең матрица нолдік матрица деп
аталады.
МАТРИЦАЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР
1. Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту
үшін оның барлық элементтерін сол санға көбейту керек:
⋅
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
λ
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
Мысалы,
−
=
1
7
3
0
1
2
A
матрицасын
5
=
λ
санына
көбейтейік:
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
−
=
5
35
15
0
5
10
5
1
5
7
5
3
5
0
5
1
5
2
1
7
3
0
1
2
5
5A
.
7
Осыдан
матрицаның
барлық
элементтерінің
ортақ
көбейткішін матрица алдына шығаруға болатынын аңғару қиын
емес.
2. Матрицаларды қосу жəне алу. Өлшемдері бірдей
матрицаларды ғана қосуға болады.
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
жəне
=
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
матрицаларының
қосындысы
деп
элементтері осы матрицалардың сəйкес элементтерінің
қосындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
.
Мысалы,
−
=
2
0
7
5
3
1
A
мен
−
=
1
5
1
0
4
3
B
матрицаларын
қосайық:
=
+
+
−
+
+
−
+
=
−
+
−
=
+
3
5
6
5
1
4
1
2
5
0
1
7
0
5
4
3
3
1
1
5
1
0
4
3
2
0
7
5
3
1
B
A
.
А
матрицасынан
В
матрицасын
алу
үшін
А
матрицасына В матрицасын -1-ге көбейтіп қосу жеткілікті:
8
A – B = A+(-1)B
немесе А матрицасының əр элементінен В матрицасының сəйкес
элементтері алынады. Мысалы А матрицасынан В матрицасын
алайық:
−
−
−
=
−
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
1
5
8
5
7
2
1
2
5
0
1
7
0
5
4
3
3
1
1
5
1
0
4
3
2
0
7
5
3
1
B
A
.
3. Матрицаларды көбейту. Бірінші матрицаның тік
жолдар саны мен екінші матрицаның жатық жолдар саны тең
болған жағдайда ғана екі матрицаны көбейтуге болады. Өлшемі
mxk болатын А матрицасы мен өлшемі kxn болатын В матриасы
берілсін:
Осы екі матрицаны көбейткенде өлшемі mxn болатын көбейтінді С
матрица аламыз:
mxn
C
kxn
B
mxk
A
=
⋅
С матрицасының
ij
c
элементі А матрицаның
i
–жатық жол
элементтерін В матрицаның
j
–тік жолының сəйкес элементтеріне
көбейтіп қосқанға тең болады:
kj
b
ik
a
b
a
b
a
c
j
i
j
i
ij
+
+
+
=
...
2
2
1
1
,
n
j
m
i
,...,
2
,
1
,
,...,
2
,
1
=
=
. (1)
=
=
×
kn
k
k
n
n
n
k
mk
m
m
k
mxk
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
a
a
a
a
a
a
k
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
...
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
12
11