Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости.docx

Добавлена: 03.02.2019

Просмотров: 176

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

На рис. 3.2 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим +1, а на оси мнимых значений +j

(j=-1(под корнем).)

Из курса математики известна формула Эйлера

Комплексное число eja изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1.

Рис. 3.2.

Рис. 3.3.

Модуль функции

Проекция функции   на ось   равна , а на ось   равна . Если вместо функции   взять функцию   то

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция   изображается под углом а коси   но длина вектора будет в   раз больше.

Угол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что   т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда

Слагаемое   представляет собой действительную часть   выражения 

а функция   есть коэффициент при мнимой части   выражения 

(3.10а)

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток   и (3.10а)] можно представить как   или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора   на ось   (рис. 3.3).

Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обычно принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени   При этом вектор

где   — комплексная величина, модуль которой равен   — угол, под которым вектор   проведен к оси   на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину   называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени   Точка, поставленная над током   или напряжением U, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток . Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае .

Следовательно, . Пусть комплексная амплитуда тока .

Запишем выражение для мгновенного значения этого тока.

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим   на   и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения [см. формулу (3.10а)]:

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током)   понимают частное отделения комплексной амплитуды на

Пример 29. Записать выражение комплекса действующего значения тока 

Решение. Комплекс действующего значения тока .