Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 556

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ω,dϕ,ε

- аксиальные векторы

r

 

dω

 

ε =

 

 

 

 

dt

r

< εr

 

 

>=

ω

 

 

 

t

Связь между линейными и угловыми кинетическими параметрами.

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ìv

^ ω

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

r

=

 

r

×

 

 

v

×sin α

 

 

 

ír

 

 

r

Þ v

 

= r

´ω Þ

v

r

 

ω

 

 

 

îr

^ v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

]

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

r

r

r

r

 

r dv

 

 

 

 

d[ω, r

 

 

dω

 

 

 

r dr

 

 

 

a

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

´ r

+

 

´ω = ε ´ r

+ ω ´ v

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

r

 

 

 

dt

 

dt

 

r

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= ε ´ r

+ ω ´ v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

=

 

r

×

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

ε ´ r

 

ε

r

 

×sin(ε

, r ) = ε × r =

aτ

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω *v

=

ω

 

×

 

v

 

×sin 90

 

= ω

 

× R =

 

 

 

 

=

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

r

 

r

 

 

 

 

r

r

 

 

r

× ay + k × az

a

 

= aτ + an

= τ × aτ

 

+ n × an

= i

× ax + j

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a2

+ a2

+ a2

 

= a2 + a2

 

= ω 4 × R2 + ε 2 × R2

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

 

 

τ

n

 

 

 

 

 

r

 

 

r

é рад

 

1

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

dω

 

= с−2

 

 

 

 

ε =

dt

ê

 

2

=

 

 

 

ú

 

 

 

 

с

с

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ И КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА. ИНВАРИАНТНЫЙ ХАРАКТЕР ВЕКТОРА.

Рассмотрим геометрические преобразования координат. Используя векторные преобразования найдем формулы преобразования координат.

Формулы преобразования координат – формулы, связывающие координаты точки в одной системе с её координатами в другой.

Рассмотрим две трехмерные декартовы системы координат начала которых определяет a , а оси повернуты относительно друг друга на некоторый угол.

11

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

A(x′, y′, z′) - в штрихованной системе координат A(x, y, z) - в нештрихованной системе координат r = r′ + a

r

r

r

r¢

¢

r¢

× y

¢

r¢

× z

¢

r

(1)

i

× x + j

× y + k

× z = i

× x

+ j

 

+ k

 

+ a

Умножим обе части уравнения скалярно на i

 

r

 

2

r

 

r

r r

¢

× x

¢

+

r

¢

× y

¢

r

¢

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

× x = i

× a

+ i (i

 

 

j

 

 

+ k

 

× z )

 

x = ax + x

¢

 

r r¢

+ y

¢

 

r r¢

 

 

¢

 

r

r

¢

 

× (i , i )

 

× (i , j ) + z

 

× (i , k )

Пусть:

x = x1

x′ = x′

y = x2

 

 

1

y′ = x2′

z = x3

z′ = x3′

ir -1

r′

′

r

 

i

 

−1

- 2

r

 

 

j

′

′

 

 

j

r

 

 

− 2

- 3

r

 

 

k

′

′

 

 

k

 

 

 

− 3

Тогда:

x

1

= a

 

+ x

′

×α

11′

+ x

 

′ ×α

12′

+ x

3

′ ×α

13′

 

 

x1

1

 

 

2

 

 

 

x

2

= a

+ x

¢

×α

21′

+ x

¢ ×α

22′

+ x

¢

×α

23′

 

 

 

x2

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

x3

= ax3

+ x1¢¢ ×α31′ + x2¢ ×α32′ + x3¢ ×α33′

Обратные преобразования координат:

r = r′ + a

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r¢

 

 

 

r

 

r

 

× z

 

 

 

r

 

r¢

 

 

¢

 

r¢

× y

¢

 

× z

¢

(2)

i

× x + j

× y + k

 

- a = i

× x

+ j

 

 

+ k

 

x

¢

= -a

x ′

+ x ×α

1′1

+ x

2

 

×α

 

 

+ x ×α

1′3

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1′2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

¢

= -a

+ x ×α

2′1

+ x ×α

2′2

+ x ×α

2′3

 

 

 

 

2

 

x2′

1

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

¢

= -a

+ x

×α

3′1

+ x

 

×α

3′2

 

+ x

 

×α

3′3

 

 

 

3

 

x3′

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Если в одной системе координат известны проекции вектора, то их можно определить и в другой, оси которой произвольным образом ориентированы относительно осей первой системы. Необходимо знать расположение начала координат и углы между осями.

Рассмотрим инвариантный характер вектора:

12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

 

r

× Ax

 

r

× Ay + k × Az

A = i

+ j

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

=

 

A2

+ A2 + A2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

z

 

 

 

 

r

r

¢× Ax

¢

+

r

¢

 

 

r

¢

A

= i

 

j¢ × Ay

 

+ k

¢× Az

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

=

¢2

 

 

¢2

 

¢2

 

 

 

Ax

 

+ Ay + Az

 

Компоненты вектора в разных системах отсчета разные, а его модуль неизменен.

Величины, численные значения которых не изменяются при преобразованиях координат называются инвариантами, а те, которые изменяются – вариантами.

Вектор – упорядоченная совокупность трех чисел, представляющих собой величины, зависящие от системы координат и преобразующиеся при повороте этих систем так же, как преобразуются компоненты вектора.

Рассмотрим инерциальные системы отсчета и принципы относительности Галилея.

Физические преобразования координат:

Системы отсчета

Инерциальные Неинерциальные

Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов.

ИСО – такие системы отсчета, которые движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно друг друга.

Неинерциальные СО – такие системы отсчета, которые движутся прямолинейно, поступательно и ускоренно относительно друг друга, или вращающиеся системы отсчета.

ИСО:

1)Пространство имеет три измерения и подчиняется Евклидовой геометрии.

2)Независимо от трехмерного пространства существует время, но вместе с этим время всегда связано с пространством законами движения.

3)Признается справедливость закона инерции Галилея-Ньютона и существование инерциальных систем, где выполняются законы Ньютона.

4)Признается, что во всех инерциальных системах механические явления

протекают одинаково в соответствии с принципом относительности

13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Галилея. Во всех ИСО законы классической механики имеют одинаковую форму.

5)Все ИСО всегда эквивалентны друг другу и ни одна система не отличается от другой.

6)Соблюдается принцип дальнодействия. Т. е. взаимодействие осуществляется мгновенно.

7)Время в ИСО абсолютно и неизменно.

8)Движение в этих системах должно рассматриваться только относительно одной системы отсчета.

МЕХАНИКА

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ

Нерелятивистская механика, как и релятивистская рассматривает движение тел, но их скорости различны:

Нерелятивистская: скорости тел много меньше С. Релятивистская: скорости тел соизмеримы с С.

Преобразования Галилея – преобразования в нерелятивистской механике.

Пусть К – неподвижная система отсчета, K ′ - движется со скоростью V вдоль оси ОХ.

Причем

при

t=0

O и O′

совпадаютÞ OO′ = x = v × t .

 

Т. к. движение

параллельно

ОХ, то:

y = y′, z = z′,r = r′ + v ×t

 

 

Время абсолютно и неизменно для всех ИСО. Это интуитивное предположение принимается без доказательств в классической механике.

Векторные прямые преобразования Галилея для ИСО:

ìt = t′

ír¢ = r - r ×

îr r v t

Скалярные преобразования Галилея для ИСО:

ìx′ = x - v ×t ïïy¢ = y

íïz¢ = z ïît¢ = t

14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Uабс
Uотн

Систему K ′ можно считать неподвижнойÞ К-система будет двигаться относительно K ′ со скоростью − v .

Обратные преобразования Галилея:

ìr = r¢ + íît = t¢

ìx = x¢ +

ïïy = y¢ íïz = z¢

ïît = t¢

v×t

v×t Время – инвариантная величина, а координаты – инвариантные.

Пусть в K ′-системе находится неподвижный стержень. Одновременно зафиксируем его концы.

ìïx1′, x2′

K ¢ : ïíy1¢, y2¢ Þ длина стержня в неподвижной К¢ системе :

ïïz ¢, z ¢

î 1 2

l¢ = (x2¢ - x1¢)2 + (y2¢ - y1¢)2 + (z2¢ - z1¢)2

ìx , x

K: ïíy1 , y2 Þ длина стержня в К системе : l = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2

ïîz1 , z21 2

Т. к.

y = y¢, z = z¢, x = x¢ + v ×t,t1 = t2 Þ x1′ - x2′ = x1 - x2 , y1′ - y2′ = y1 - y2 , z1′ - z2′ = z1 - z2 Þ

l = l′ Þ l – инвариант в преобразованиях Галилея.

 

Закон сложения скоростей:

 

 

Т.

к.

r в K и K′

зависит от tÞ U x =

dx′

Система K ′

движется параллельно

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОХÞ из преобразований Галилея:

 

 

ì

¢

 

d(x - v ×t)

 

dx

 

 

 

 

ïUx

=

 

 

=

 

- v = Ux - v

 

 

 

dt

dt

 

 

ï

 

 

dy¢

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

- закон сложения скоростей в преобразованиях

ïíU y

=

 

= U y

 

 

dt

 

 

ï

¢

= Uz

 

 

 

 

 

 

 

ïUz

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Галилея.

- скорость тела относительно неподвижной системы.

- скорость тела относительно подвижной системы отсчета.

Uабс = Uотн +Uпереносная

15

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы