Файл: Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе.pdf

Добавлен: 15.02.2019

Просмотров: 1420

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе

 

 
Чаще  всего  в  практических  расчетах  используется  критерий  Найквиста  в  логарифмических 

масштабах  из-за  значительной  простоты  и  удобства  расчетов.  Рассмотрим  его  применение  на  примере 
(рис.79). 

рис. 79

x

g

T

1

p+1

ε

W

1

W

2

W

3

k

1

p

k

3

T

2

p+1

k

2

 

Разрываем контур обратной связи и определим ПФ разомкнутой системы 

W

 

p

W

W W W

k k k

T p

T p

p

k

T p

T p

p

p

p

=

=

+

+

=

+

+

1

2

3

1 2 3

1

2

1

2

1

1

1

1

(

)(

)

(

)(

(1) 

)

где 

k

k k k

p

=

1 2 3

  – коэффициент усиления (всегда величина безразмерная) разомкнутой системы. 

Как видно из (1) структура состоит из 4-х типовых звеньев: усилительного 

, интегрирующего 

k

p

1

p

 

и двух апериодических   

1

1

1

T p

+

 и 

1

1

2

T p

+

ЛАХ:    

20

20

20

1

20

1

1

20

1

1

1

2

lg

( )

lg

lg

lg

lg

A

k

j

jT

p

p

ω

ω

ω

=

+

+

+

+

jT

ω

 

(2) 

ЛФХ:            

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

p

W

W

=

+

+

1

2

(3) 

W

3

 

lg

ω

ω

ср

ω

1

1

=1/T ω

2

2

=1/T

10

-45

°

-90

°

-180

°

-220

°

-270

°

20

30

20lgk

p

-20 дб

/дек.

-20 дб

/дек.

-20 дб

/дек.

-20 дб

/дек.

-40

 дб/д

ек.

-60

 дб

/де

к.

Рис.80

20lgA

p

20

lgA

(

)

p

ω

−ϕ

°

ϕ

W1

ϕ

W2

ϕ

P

ϕ

W3

-20lg

1

1+jT

1

ω

-20lg

1

1+jT

2

ω

-20lg 1

j

ω

 

 

45


background image

ω

1

1

1

=

T

 – частота сопряжения для звена 

1

1

1

T p

+

ω

2

1

1

=

T

 – частота сопряжения для звена 

1

1

2

T p

+

ϕ

ω

W

arctgT

1

1

= −

;     

ϕ

ω

W

arctgT

2

2

= −

;     

ϕ

π

W

3

2

= −

Пересечение результирующей ЛАХ разомкнутой системы с осью частот называется частотой среза 

ω

cp

:        при    

ω ω

<

>

cp

p

A

,

ω ω

>

<

cp

p

A

,

1

1

;   при  

В  критерии  Найквиста  критическими  величинами  являются 

  и 

ϕ

p

= −180

ο

A

M

p

=

= 1

  или  в 

логарифмическом масштабе 

20

20 1 0

lg

lg

A

p

=

=

Смотрим, чему равна фаза 

ϕ

p

 при 

20

0

lg A

p

=

ϕ

p

= −220

ο

 

и амплитуда (модуль) при 

ϕ

p

= −180

ο

20

8

lg A

p

 или 

A

p

> 1

Следовательно, рассматриваемая в примере система в замкнутом состоянии неустойчива. 

Критерий  Найквиста  в  логарифмическом  масштабе:      Для  устойчивой  системы  в  замкнутом 

состоянии  необходимо  и  достаточно,  чтобы  логарифмические  характеристики  разомкнутой  системы 
имели: 

1.  при 

,  

ϕ

p

= −180

ο

20

0

lg A

p

<

 

2.  при 

20

0

lg A

p

=

,  

ϕ

p

0

180

> −

ο

lg

ω

ω

с

-180

°

40

Рис.81

20lgA

p

−ϕ

°

∆ϕ

a - 

запас по модулю

запас по фазе

Запасы  устойчивости  по 

фазе  и  амплитуде  опреде-
ляются 

для 

устойчивой 

системы  как  показано  на 
рис.81. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры: 
Дать заключение об устойчивости и нарисовать графики частотных и переходных характеристик. 

x

g

Tp+1

k

p

1

1.

при 

k

> 0

 и 

T

> 0

x

g

p

2

1

2.

 

 

46


background image

x

g

0,1p+1

1

3.

x

g

p

3

1

4.

 

x

g

p

2

1

5.

p

1

 

Рис.82 

 
 
 

Д - разбиение

 

 
Это  частотный  метод,  который  позволяет  для  исследуемой  системы  определить  значения 

параметров, соответствующих устойчивой работе системы. 

Если изменяемый параметр один, то используется  Д-разбиение в плоскости одного параметра. 

Д-разбиение в плоскости одного параметра 
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид: 

a p

a

p

a

p

a

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

τ

1

1

2

2

0

0

Κ

=

(1) 

где 

τ

 – варьируемый параметр, который характеризует устойчивость системы. 

Рассмотрим комплексную плоскость корней уравнения (1). 

 

p

1

Im

Re

Рис.83

p

2

 

При изменении параметра 

τ

 корни начинают перемещаться в 

комплексной  плоскости  (рис.83).  Мнимая  ось,  являющаяся 
границей  устойчивости,  при  каком-то  определенном 

τ

 

оказывается пройденной. 

В  методе  Д-разбиения  мнимая  ось  отображается  в 

комплексной плоскости параметра 

τ

Для этого решаем (1) относительно 

τ

τ

( )

p

a p

a

p

a

a

p

n

n

n

n

n

n

=

2

2

0

1

1

Κ

(2) 

Подставляя в (2) 

p

j

=

ω

, получим 

τ ω

ω

ω

ω

ω

ω

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

j

a j

a

j

a

a

j

P

jQ

n

n

n

n

n

n

=

=

+

2

2

0

1

1

Κ

(3) 

где 

P( )

ω

 – вещественная часть комплексного числа 

τ ω

(

)

j

 

Q( )

ω

 – мнимая часть комплексного числа 

τ ω

(

)

j

Задаваясь частотой от 

− ∞

 до 

+ ∞

, строим кривую 

τ ω

(

)

j

, которая есть отображение мнимой оси 

на комплексной плоскости параметра 

τ ω

(

)

j

 – кривая Д-разбиения (рис.84). 

Т.к. 

частотные 

характеристики 

симметричны 

относительно вещественной оси, кривую Д-разбиения можно 
строить  в  пределах 

0

≤ ≤ +∞

ω

,  а  затем  дополнить  её 

зеркальным  отображением  относительно  вещественной  оси. 
После  этого  надо  наметить  предполагаемую  область 
устойчивости.  Для  этого  применяется  правило  штриховки, 
основанное  на  том,  что  границей  в  плоскости  корней 
является  мнимая  ось  комплексной  плоскости  корней 

характеристического  уравнения,  и  при  движении  по  ней  от 

ω

= −∞

  до 

ω

= +∞

,  область  корней 

устойчивой  системы  располагается  слева.  Аналогично  на  Д-кривой  заштриховывается  левая  часть 
кривой по направлению от 

− ∞

 до 

+ ∞

 (рис.84). 

Re

ω−

>+

ω−>

−∞

Рис.84

Im

1

2

1

3

Выделим  область,  претендующую  на  устойчивость,  т.е.  ту,  которой  соответствует  наименьшее 

число  правых  корней.  Если  в  последующем  установим,  что  их  число  равно  0,  то  тем  самым  выделим 
область устойчивости. 

 

47


background image

Допустим,  изменяя  параметр 

τ

  мы  двигаемся  вдоль  вещественной  оси  в  положительном 

направлении из области 1 

→ 2  → 1  → 3. Тогда: 

−  полагаем, что в области 1 из  n-корней имеется  k-правых; 
−  переходя из области 1 в область 2 хотя бы один корень стал отрицательным и тогда имеем (k-1) - 

правых корней; 

−  из 2 → 1 снова  k-правых корней; 
−  из 1 → 3    k+1 -правых корней. 
Итак, наименьшее число правых корней имеет область 2, но будут ли все корни левыми? Для этого 

задаются  простейшим  (в  смысле  вычисления)  параметром 

τ

  из  области  2  и  по  любому  другому 

критерию определяют устойчивость. В результате чего можем получить два ответа: 

1.  Система неустойчива, тогда изменением параметра 

τ

 нельзя добиться устойчивости системы и 

необходимо добиваться устойчивости изменением (если это возможно) другого параметра. 

2.  Система устойчива, тогда при любом 

τ

 из области 2 система будет устойчива. Это положение 

широко используется при наладке САУ. 

 
 
 

Качество регулирования

 

 
Устойчивость  САУ  является  необходимым,  но  далеко  не  достаточным  условием  технической 

пригодности  систем.  Помимо  устойчивости  к  САУ  предъявляются  и  качественные  показатели 
переходных процессов. Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирования 
можно разделить на две группы: 

1.  Прямые методы анализа – непосредственное решение дифференциальных уравнений системы и 

построение по нему графиков переходных процессов. 

2.  Косвенные методы: 

2.1. нахождение корней характеристического уравнения системы; 
2.2. интегральный метод; 
2.3. частотный метод (наиболее распространён). 

Рассмотрим  качество регулирования с двух точек зрения: 
1.  Точность работы системы в установившемся режиме (статический режим). 
2.  Динамические показатели системы (методы определения качества переходных процессов). 
 
 
 

Анализ статических режимов

 

 
В  реальных  САУ  не  удаётся  поддерживать  точные  значения  выходных  величин  в  соответствии  с 

заданным  входным  воздействием  и  имеет  место  ошибка,  обусловленная  как  погрешностями  самой 
системы,  так  и  действием  возмущений.  Выведем  выражение  для  определения  ошибки  в  многомерной 
системе для следующей структуры (рис.85). 

y

V

рис.85

E

k

U

B

D

F

x

x(0)

x

C

А

 

При 

0

)

0

(

,

0

=

=

x

t

 

48


background image



=

+

=

=

=

,

,

,

,

Cx

y

DF

BU

Ax

x

kE

U

y

V

E

&

 

где  

l

m

m

m

n

R

F

R

y

R

V

R

U

R

x

,

,

,

,

,

dim

,

dim

,

dim

,

dim

l

n

D

n

m

C

m

n

B

n

n

A

×

=

×

=

×

=

×

=

 

dim

k m m

= ×

 – матрица коэффициентов усиления регулятора. 

 
 

Решим  данную  систему  для  определения  ошибки  в  установившемся  режиме,  для  чего  полагаем 

&

x

= 0

V

const

=

F const

=

x( )

0

0

=

.

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

DF

CA

Bk

CA

I

V

Bk

CA

I

E

DF

CA

V

E

I

Bk

CA

DF

CA

BkE

CA

E

V

DF

CA

BkE

CA

y

DF

A

BkE

A

y

C

DF

A

BkE

A

x

DF

BkE

Ax

=

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

 

В  полученном  выражении  первое  слагаемое  отражает  влияние  задающих  воздействий  на  статику 

многомерной системы, а второе – влияние возмущений. 

 
 

Анализ статических режимов скалярных систем 

 

 
Имеем САУ со структурной схемой (рис.86). 

рис. 86

y(p)

V(p)

W

1

(p)

E(p)

W

2

(p)

W

3

(p)

x

1

(p)

F(p)

x

2

(p)

x

3

(p)

 

Запишем систему уравнений из структуры 

 

)

1

(

).

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

3

3

2

3

2

1

2

1

1



=

=

=

=

=

p

W

p

x

p

y

p

F

p

x

p

x

p

W

p

x

p

x

p

W

p

E

p

x

p

y

p

V

p

E

 

Решаем систему (1) совместно относительно ошибки E, сигнала 

управления V и возмущения F, получим 

 
 
 

E p

W

V p

W

W

F p

p

p

( )

( )

( )

=

+

+

+

1

1

1

3

(2) 

где 

W

W W W

p

=

1

2

3

  – передаточная функция разомкнутой системы. 

Обозначим: 

E p

W

V p

y

p

( )

( )

=

+

1

1

  –  ошибка  от  закона  регулирования  или  ошибка  от 

управляющего сигнала. 

 

E

p

W

W

F p

F

p

( )

( )

=

+

3

1

  – ошибка от возмущающего воздействия. 

 
1. Ошибка от закона регулирования. 

E p

W

V p

y

p

( )

( )

=

+

1

1

(1) 

Рассмотрим случаи, когда 

W p

p

( )

 имеет различный вид: 

1.1. 

W p

b p

b

p

b

a p

a

p

a

B p

A p

p

m

m

m

m

n

n

n

n

( )

( )
( )

=

+

+

+

+

+

+

=

1

1

0

1

1

0

Κ

Κ

(2) 

В установившемся режиме при  

t

→ ∞

, оператор 

p

d

dt

=

= 0

, тогда 

 

49