ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1420
Скачиваний: 4
Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе
Чаще всего в практических расчетах используется критерий Найквиста в логарифмических
масштабах из-за значительной простоты и удобства расчетов. Рассмотрим его применение на примере
(рис.79).
рис. 79
x
g
T
1
p+1
ε
W
1
W
2
W
3
k
1
p
k
3
T
2
p+1
k
2
Разрываем контур обратной связи и определим ПФ разомкнутой системы
W
p
W
W W W
k k k
T p
T p
p
k
T p
T p
p
p
p
=
=
+
+
=
+
+
1
2
3
1 2 3
1
2
1
2
1
1
1
1
(
)(
)
(
)(
(1)
)
,
где
k
k k k
p
=
1 2 3
– коэффициент усиления (всегда величина безразмерная) разомкнутой системы.
Как видно из (1) структура состоит из 4-х типовых звеньев: усилительного
, интегрирующего
k
p
1
p
и двух апериодических
1
1
1
T p
+
и
1
1
2
T p
+
.
ЛАХ:
20
20
20
1
20
1
1
20
1
1
1
2
lg
( )
lg
lg
lg
lg
A
k
j
jT
p
p
ω
ω
ω
=
+
+
+
+
+ jT
ω
(2)
ЛФХ:
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
p
W
W
=
+
+
1
2
(3)
W
3
lg
ω
ω
ср
ω
1
1
=1/T ω
2
2
=1/T
10
-45
°
-90
°
-180
°
-220
°
-270
°
20
30
20lgk
p
-20 дб
/дек.
-20 дб
/дек.
-20 дб
/дек.
-20 дб
/дек.
-40
дб/д
ек.
-60
дб
/де
к.
Рис.80
20lgA
p
20
lgA
(
)
p
ω
−ϕ
°
ϕ
W1
ϕ
W2
ϕ
P
ϕ
W3
-20lg
1
1+jT
1
ω
-20lg
1
1+jT
2
ω
-20lg 1
j
ω
45
ω
1
1
1
=
T
– частота сопряжения для звена
1
1
1
T p
+
;
ω
2
1
1
=
T
– частота сопряжения для звена
1
1
2
T p
+
,
ϕ
ω
W
arctgT
1
1
= −
;
ϕ
ω
W
arctgT
2
2
= −
;
ϕ
π
W
3
2
= −
.
Пересечение результирующей ЛАХ разомкнутой системы с осью частот называется частотой среза
ω
cp
: при
ω ω
<
>
cp
p
A
,
ω ω
>
<
cp
p
A
,
1
1
; при
.
В критерии Найквиста критическими величинами являются
и
ϕ
p
= −180
ο
A
M
p
=
= 1
или в
логарифмическом масштабе
20
20 1 0
lg
lg
A
p
=
=
.
Смотрим, чему равна фаза
ϕ
p
при
20
0
lg A
p
=
:
ϕ
p
= −220
ο
и амплитуда (модуль) при
:
ϕ
p
= −180
ο
20
8
lg A
p
≈
или
.
A
p
> 1
Следовательно, рассматриваемая в примере система в замкнутом состоянии неустойчива.
Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе: Для устойчивой системы в замкнутом
состоянии необходимо и достаточно, чтобы логарифмические характеристики разомкнутой системы
имели:
1. при
,
;
ϕ
p
= −180
ο
20
0
lg A
p
<
2. при
20
0
lg A
p
=
,
.
ϕ
p
0
180
> −
ο
lg
ω
ω
с
-180
°
40
Рис.81
20lgA
p
−ϕ
°
∆ϕ
a -
запас по модулю
запас по фазе
Запасы устойчивости по
фазе и амплитуде опреде-
ляются
для
устойчивой
системы как показано на
рис.81.
Примеры:
Дать заключение об устойчивости и нарисовать графики частотных и переходных характеристик.
x
g
Tp+1
k
p
1
1.
при
k
> 0
и
T
> 0
x
g
p
2
1
2.
46
x
g
0,1p+1
1
3.
x
g
p
3
1
4.
x
g
p
2
1
5.
p
1
Рис.82
Д - разбиение
Это частотный метод, который позволяет для исследуемой системы определить значения
параметров, соответствующих устойчивой работе системы.
Если изменяемый параметр один, то используется Д-разбиение в плоскости одного параметра.
Д-разбиение в плоскости одного параметра
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:
a p
a
p
a
p
a
n
n
n
n
n
n
+
′
+
+
+
−
−
−
−
τ
1
1
2
2
0
0
Κ
=
,
(1)
где
τ
– варьируемый параметр, который характеризует устойчивость системы.
Рассмотрим комплексную плоскость корней уравнения (1).
p
1
Im
Re
Рис.83
p
2
При изменении параметра
τ
корни начинают перемещаться в
комплексной плоскости (рис.83). Мнимая ось, являющаяся
границей устойчивости, при каком-то определенном
τ
оказывается пройденной.
В методе Д-разбиения мнимая ось отображается в
комплексной плоскости параметра
τ
.
Для этого решаем (1) относительно
τ
:
τ
( )
p
a p
a
p
a
a
p
n
n
n
n
n
n
=
−
−
−
−
′
−
−
−
−
2
2
0
1
1
Κ
,
(2)
Подставляя в (2)
p
j
=
ω
, получим
τ ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
j
a j
a
j
a
a
j
P
jQ
n
n
n
n
n
n
=
−
−
−
−
′
=
+
−
−
−
−
2
2
0
1
1
Κ
,
(3)
где
P( )
ω
– вещественная часть комплексного числа
τ ω
(
)
j
;
Q( )
ω
– мнимая часть комплексного числа
τ ω
(
)
j
.
Задаваясь частотой от
− ∞
до
+ ∞
, строим кривую
τ ω
(
)
j
, которая есть отображение мнимой оси
на комплексной плоскости параметра
τ ω
(
)
j
– кривая Д-разбиения (рис.84).
Т.к.
частотные
характеристики
симметричны
относительно вещественной оси, кривую Д-разбиения можно
строить в пределах
0
≤ ≤ +∞
ω
, а затем дополнить её
зеркальным отображением относительно вещественной оси.
После этого надо наметить предполагаемую область
устойчивости. Для этого применяется правило штриховки,
основанное на том, что границей в плоскости корней
является мнимая ось комплексной плоскости корней
характеристического уравнения, и при движении по ней от
ω
= −∞
до
ω
= +∞
, область корней
устойчивой системы располагается слева. Аналогично на Д-кривой заштриховывается левая часть
кривой по направлению от
− ∞
до
+ ∞
(рис.84).
Re
ω−
>+
∞
ω−>
−∞
Рис.84
Im
1
2
1
3
Выделим область, претендующую на устойчивость, т.е. ту, которой соответствует наименьшее
число правых корней. Если в последующем установим, что их число равно 0, то тем самым выделим
область устойчивости.
47
Допустим, изменяя параметр
τ
мы двигаемся вдоль вещественной оси в положительном
направлении из области 1
→ 2 → 1 → 3. Тогда:
− полагаем, что в области 1 из n-корней имеется k-правых;
− переходя из области 1 в область 2 хотя бы один корень стал отрицательным и тогда имеем (k-1) -
правых корней;
− из 2 → 1 снова k-правых корней;
− из 1 → 3 k+1 -правых корней.
Итак, наименьшее число правых корней имеет область 2, но будут ли все корни левыми? Для этого
задаются простейшим (в смысле вычисления) параметром
τ
из области 2 и по любому другому
критерию определяют устойчивость. В результате чего можем получить два ответа:
1. Система неустойчива, тогда изменением параметра
τ
нельзя добиться устойчивости системы и
необходимо добиваться устойчивости изменением (если это возможно) другого параметра.
2. Система устойчива, тогда при любом
τ
из области 2 система будет устойчива. Это положение
широко используется при наладке САУ.
Качество регулирования
Устойчивость САУ является необходимым, но далеко не достаточным условием технической
пригодности систем. Помимо устойчивости к САУ предъявляются и качественные показатели
переходных процессов. Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирования
можно разделить на две группы:
1. Прямые методы анализа – непосредственное решение дифференциальных уравнений системы и
построение по нему графиков переходных процессов.
2. Косвенные методы:
2.1. нахождение корней характеристического уравнения системы;
2.2. интегральный метод;
2.3. частотный метод (наиболее распространён).
Рассмотрим качество регулирования с двух точек зрения:
1. Точность работы системы в установившемся режиме (статический режим).
2. Динамические показатели системы (методы определения качества переходных процессов).
Анализ статических режимов
В реальных САУ не удаётся поддерживать точные значения выходных величин в соответствии с
заданным входным воздействием и имеет место ошибка, обусловленная как погрешностями самой
системы, так и действием возмущений. Выведем выражение для определения ошибки в многомерной
системе для следующей структуры (рис.85).
y
V
рис.85
E
k
U
B
D
F
x
x(0)
x
C
А
⌠
⌡
При
;
0
)
0
(
,
0
=
=
x
t
48
=
−
+
=
=
−
=
,
,
,
,
Cx
y
DF
BU
Ax
x
kE
U
y
V
E
&
где
,
l
m
m
m
n
R
F
R
y
R
V
R
U
R
x
∈
∈
∈
∈
∈
,
,
,
,
,
dim
,
dim
,
dim
,
dim
l
n
D
n
m
C
m
n
B
n
n
A
×
=
×
=
×
=
×
=
dim
k m m
= ×
– матрица коэффициентов усиления регулятора.
Решим данную систему для определения ошибки в установившемся режиме, для чего полагаем
&
x
= 0
,
V
,
,
const
=
F const
=
x( )
0
0
=
.
.
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
DF
CA
Bk
CA
I
V
Bk
CA
I
E
DF
CA
V
E
I
Bk
CA
DF
CA
BkE
CA
E
V
DF
CA
BkE
CA
y
DF
A
BkE
A
y
C
DF
A
BkE
A
x
DF
BkE
Ax
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
⇒
−
=
+
−
⇒
⇒
+
−
=
−
⇒
+
−
=
⇒
⇒
+
−
=
⇒
+
−
=
⇒
−
+
=
В полученном выражении первое слагаемое отражает влияние задающих воздействий на статику
многомерной системы, а второе – влияние возмущений.
Анализ статических режимов скалярных систем
Имеем САУ со структурной схемой (рис.86).
рис. 86
y(p)
V(p)
W
1
(p)
E(p)
W
2
(p)
W
3
(p)
x
1
(p)
F(p)
x
2
(p)
x
3
(p)
Запишем систему уравнений из структуры
)
1
(
).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
3
3
2
3
2
1
2
1
1
=
−
=
=
=
−
=
p
W
p
x
p
y
p
F
p
x
p
x
p
W
p
x
p
x
p
W
p
E
p
x
p
y
p
V
p
E
Решаем систему (1) совместно относительно ошибки E, сигнала
управления V и возмущения F, получим
E p
W
V p
W
W
F p
p
p
( )
( )
( )
=
+
+
+
1
1
1
3
,
(2)
где
W
W W W
p
=
1
2
3
– передаточная функция разомкнутой системы.
Обозначим:
E p
W
V p
y
p
( )
( )
=
+
1
1
– ошибка от закона регулирования или ошибка от
управляющего сигнала.
E
p
W
W
F p
F
p
( )
( )
=
+
3
1
– ошибка от возмущающего воздействия.
1. Ошибка от закона регулирования.
E p
W
V p
y
p
( )
( )
=
+
1
1
.
(1)
Рассмотрим случаи, когда
W p
p
( )
имеет различный вид:
1.1.
W p
b p
b
p
b
a p
a
p
a
B p
A p
p
m
m
m
m
n
n
n
n
( )
( )
( )
=
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
1
1
0
1
1
0
Κ
Κ
.
(2)
В установившемся режиме при
t
→ ∞
, оператор
p
d
dt
=
= 0
, тогда
49