Файл: Е.Е. Дадонова Решение уравнений средствами Excel.pdf

Существуют и другие модификации метода Ньютона.

1.5. Уточнение корней методом простой итерации

Другим представителем итерационных методов является метод про-

стой итерации.

Здесь уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением x=ϕ(x) и строится последовательность значений

Xn+1 = ϕ (Xn) , n=0,1,2,... .

Если функция ϕ(x) определена и дифференцируема на некотором интервале, причем ϕ /(x) < 1, то эта последовательность сходится к корню уравнения x=ϕ(x) на этом интервале.

Геометрическая интерпретация процесса представлена на рис. 7. Здесь первые два рисунка (а, б) демонстрируют одностороннее и двустороннее приближение к корню, третий же (в) выступает иллюстрацией расходящего-

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Если f /(x)>0, то подбор равносильного уравнения можно свести к замене x=x−λ f(x), т.е. к выбору ϕ(x)= x−λ f(x), где λ>0 подбирается так, чтобы в окрестности корня 0 < ϕ / (x)=1− λ f /(x) ≤ 1. Отсюда может быть построен итерационный процесс

7

f ( X n ) , n = 0,1, 2,... , M

где M ≥ max f /(x) (в случае f /(x)< 0 возьмите функцию f(x) с противоположным знаком).

Возьмем для примера уравнение x3 + x -1000 = 0. Очевидно, что корень данного уравнения несколько меньше 10. Если переписать это уравнение в виде x =1000 - x3 и начать итерационный процесс при x0=10, то из первых же приближений очевидна его расходимость. Если же учесть f /(x)=3 x2+1>0 и принять за приближенное значение максимума f /(x) M=300, то можно построить сходящийся итерационный процесс на основе представления

Заметим, что существуют и другие методы (наискорейшего спуска, Эйткена-Стеффенсена, Вегстейна, Рыбакова и т.д.) уточнения корней, обладающие высокой скоростью сходимости.

2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ EXCEL

2.1.Циклические ссылки

Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно – через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей ситуации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как циклические ссылки порождают бесконечное количество вычисле-

8

ний. Есть два выхода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисления по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторений цикла должно быть конечным).

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона с использованием циклических ссылок. Возьмем для примера квадратное уравнение: х2 – 5х+6=0, графическое представление которого приведено на рис. 8. Найти корень этого (и любого другого) уравнения можно, используя всего одну ячейку Excel.

Для включения режима циклических вычислений в меню Сер-

вис/Параметры/вкладка Вычисления включаем флажок Итерации, при не-

обходимости изменяем число повторений цикла в поле Предельное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответственно). Кроме этих установок выбираем вариант ведения вычислений: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный результат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат каждой итерации.

9

чальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке Х и равного нулю. А как получить второй корень? Обычно это можно сделать изменением начального приближения. Решать проблему задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Мы продемонстрируем один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. С целью повышения наглядности вычислений ячейкам были присвоены содержательные имена (рис. 9).

•В ячейку Хнач (В4) заносим начальное приближение – 5.

•В ячейку Хтекущ (С4) записываем формулу:

=ЕСЛИ(Хтекущ=0;Хнач; Хтекущ-(Хтекущ^2-5*Хтекущ+6)/(2*Хтекущ-5)).

•В ячейку D4 помещаем формулу, задающую вычисление значения функции в точке Хтекущ, что позволит следить за процессом решения.

•Заметьте, что на первом шаге вычислений в ячейку Хтекущ будет помещено начальное значение, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах.

•Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Хнач и запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного значе-

ния. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Хтекущ, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно для редактирования выбрать ячейку, содержащую формулу,

дважды щелкнув мышью на ней (при этом содержимое ячейки отобразится в строке формул). Щелчок по кнопке (нажатие клавиши) Enter запустит вычисления с новым начальным приближением.

10 2.2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х2–5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

• В ячейку С3 (рис. 10) введем формулу для вычисления значения функции, стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е.

=С2^2-5*C2+6.

• В окне диалога Подбор параметра (рис. 10) в поле Установить в ячейке

введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение – ожидаемый

будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

•После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите

кнопку Отмена.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сер-

11

вис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить – для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Опять возникает вопрос: как получить второй корень? Как и в предыдущем случае необходимо задать начальное приближение. Это можно сделать следующим образом (рис. 11,а):

•В ячейку С4 поместим формулу, задающую вычисление значения функции, стоящей в левой части исходного уравнения, в точке Хi.

•После этого выбираем команду Подбор параметра, где в качестве изменяемой ячейки при-

бнимаем ячейку С2. Результат вычислений изо-

Однако все это можно сделать и несколько проще. Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения (рис. 10) в ячейку C2 поместить константу 5 и после этого запустить процесс

Подбор параметра.

2.3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного