Файл: М.А. Тынкевич Лабораторный практикум по курсу Численные методы анализа.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.06.2024

Просмотров: 54

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

М.А.Тынкевич

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

по курсу

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА”

для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике»

Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 2 от 27. 09 . 2001 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 1 от 27. 09 . 2001

Кемерово 2001

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

1

Лабораторная работа 1 Действия над приближенными величинами

Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение.

Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами.

Пример.

1. F=(a2+b3)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001

Абсолютные погрешности исходных данных:

a=0.02 , b=0.01, t=0.0001.

Относительные погрешности исходных данных:

δa=0.02 / 28.3=0.00071, δb=0.01 / 7.45= 0.00135, δt=0.0001/ 0.7854=0.00013.

Находим оценки с учетом, что

δ(xy)~δ(x/y)<δx+δy, (x±y)<x+y, δ(x±y)<max(δx,δy) и f(x)~f’(x) x:

a2

=800.9

{ δ a2=2 δa=0.00142 ;

a2 =809.9 0.00142=1.15006 } ;

b3

=413.5

{ δ b3=3 δb=0.00405;

b3=413.5 0.00405=1.67468 };

a2+ b3=1214.4 { (a2+b3)= a2+b3=2.82474;

 

 

δ (a2+b3)= 2.82474/1214.4=0.00233};

Cos(t)=0.7071 {(Cos(t))= (Cos(t))′∆t=Sin(t) t ~0.00007 ;

 

 

δ (Cos(t))=d/dt(lnCos(t)) t=Sin(t)/Cos(t) t ~0.0001 };

F=(a2+b3)/Cos(t) = 1214.4 / 0.7071 =

1717.44 ,

δF~0.00233+0.0001~0.0024(~0.24%); F~ 1717.44 0.0024~4.12.

Воспользуемся универсальными оценками для функции u(X) нескольких переменных:

F a

u = ∑

 

 

u

 

 

x i ,

δu =

 

 

ln( u)

 

x i

x i

 

i

 

 

 

 

i

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

= 2a

 

 

 

 

=80.05;

F

 

= 3b

2

=235.48;

F

= −

a 2 +b3

sin( t ) =1717.4;

cos( t )

b

 

cos( t )

 

t

cos 2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F =

 

F

 

a +

 

F

 

 

b +

 

 

F

 

t =4.1275; δF=F /F =0.0024 (~0.25 %).

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как F =4 < 0.5 10n-m+1 (m - число верных знаков, n=3 – поря-

док числа 1717.4 ) = 0.5 103-m+1 =0.5 104-m =5 103-m при m3, то m=3

(к такому же выводу можно прийти непосредственно из значения δF) и F=172 101 (общая погрешность=погрешности исходных данных


2

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

(F) + погрешность округления (|1717.44-1720| )= 4+3=7).

2. F=(a2+b3) / Cos(t) , a~28.3 , b~7.45 , t~0.7854 , m=5.

Находим a2 =800.9, b3 =413.5, Cos(t)=0.7071, a2+ b3=800.9+ 413.5 =1214.4, F=(a2+b3)/Cos(t) =1214.4 / 0.7071 =1717.4 (полагаем все эти

5 цифр верными).

Относительная погрешность δF=10-(m-1)/(2a1)=10-4/(2×1) =0.00005,

абсолютная погрешность F=F× δF=1714.4× 0.00005=0.008572.

Для использования принципа равных влияний

x

=

 

 

xi

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

x F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i x

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

находим a×(dF/da)=2a2/cos(t)=1601.9 / 0.7071=2265.45, b×(dF/db)=2b3/cos(t)= 827.0 / 0.7071=1169. 57,

t×(dF/dt)=t×(a2+b3)/cos2(t)×sin(t)=0.7071×1214.4/ 0.7071=1214.4,

знаменатель ~2265.45+1169.57+1214.4=4649.4 ;

отсюда допустимая погрешность исходных параметров равна:

a=28.3 × 0.008572 / 4649.4=0.00005 ; b=7.45 × 0.008572 / 4649.4= 0.00001; t=0.7071×0.008572/4649.4= 0.000001.

Варианты заданий

 

F(a,b,c)

 

 

 

 

a

b

c

m

1

1

 

ab

( a +b ) sin( 3c )

 

2456

0.00078

0.008

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 c

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

2

 

a+b

 

 

 

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

5

 

 

 

ab arcsin( c )

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

0.2456

0.20078

0.008

 

 

 

[( a+b )c

]

ln( 1 + c )

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

2

 

c3

( a b )7 cos( ac )

 

0.02456

0.007823

0.8348

5

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

ab

( a3 +b )sin2( c )

0.12456

0. 0078

0.008

 

 

 

 

 

 

 

3 c

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

2

 

a+b

 

 

 

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

ab arctg( c )

 

 

4

1

( a+b )c

3

2

)

0.2456

0.20078

0.008

 

 

 

 

ab

2

 

ln( 1 +c

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

3

 

2

 

 

c2

( a b )3 cos( ac2 )

0.02456

0.007823

0.8348

5

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

ab

 

 

( a +b )2 Sin( c )

0.12456

0.078

0.2468

 

 

 

3 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.0003

±0.00013

 

 

2

 

 

a+b2

 

arccos( c )

 

 

 

 

0.02456

0.007823

0.835

4

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0.2456

0.20078

0.008

 

 

 

[( aa+bb)c ]

ln( 1 +c )

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

2

 

 

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

5

 

 

 

 

 

( a b )

cos( a

 

c )

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

7

1

 

 

a2b

( 1 +b )Sin( 2c )

 

 

2456

0.00078

0.008

 

 

 

 

 

3 c

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a+b

 

ln( 1 + ac )

 

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

 

ab

 

 

 

 

8

1

[( a+b )c

]

ln 2 ( 1 +c )

 

 

0.2456

0.20078

0.008

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

2

 

 

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

 

 

 

( a b )

cos( ac )

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

9

1

 

 

ab

 

 

( a +b )Sin( c )

 

 

0.12456

0. 0078

0.008

 

 

 

3 1+c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.00013

 

 

2

 

 

a+b

arctg( ac )

 

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

 

ab

 

 

 

 

10

1

 

 

( a+b2 )c

2

ln( 1 + ac2 )

0.2556

0.50078

0. 8

 

 

 

 

 

 

ab

2

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

c2

( a b )cos( 1 + ac

2

)

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

1

 

 

ab

2

 

 

( a b )Sin( cb )

 

 

0.2456

0.0078

8

 

 

 

 

 

3 c

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±1.23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

( a+b )2

arcsin( ac )

 

 

 

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

1

 

 

a+b

 

( a

2

+b )ln( 3 +c )

0.12456

0.12078

0.08

 

 

 

 

 

3 ab

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

2

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.02456

0.01823

0.0348

5

 

 

 

ab arccos( c )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

1

 

 

ab

2

 

 

Sin( cb ) +cb

 

 

 

 

0.2456

0.078

8

 

 

 

 

 

3 c

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.003

±1.25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

c( a+b )2

+ arcsin( ac )

 

0.02456

0.007823

0.8348

4

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

1

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

3 ab a

ln( a +c )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 


 

4

 

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a+b

 

arccos( a +c )

0.02456

0.01823

0.0348

5

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

1

 

 

a+b

( a

b ) ln( a +c )

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

( ab )2

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

2

 

 

a+b

( 1

+c +

c4

)lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

5

 

 

 

 

 

 

ab

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

1

 

 

a+b2

a ln( a +c )

0.1245

0.120

2.08

 

 

 

 

 

 

 

3 ab

±0.0005

±0.0003

±0.015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

a +

a+b

 

lg( ac )

 

0.02456

0.01823

3.0148

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

3 ab a ln( 2a +c )

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

2

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2456

0.1823

0.0348

5

 

 

 

 

 

ab2 arcsin( a +c )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

1

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

ab a ln(πc )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

2

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.02456

0.01823

0.0348

5

 

 

 

 

 

ab lg(arccos( a +c ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

1

 

 

a+b

 

( a

2

b )

ln( a +c )

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

( ab )2

 

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

2

 

 

a+b

( 1

+ a +

c4

)lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

5

 

 

 

 

 

 

ab

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

1

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

( ab )2 | sin(ln( a +c )) |

 

 

 

 

 

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

2

 

 

a+c

( 1

+c )lg( bc )

0.02456

0.01823

2. 348

4

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

1

 

 

a2 +b

 

ln

2

( a +c )

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

 

 

( ab )2

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a2 +b

( 1

+bc )lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

3

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

1

 

 

a3 b2

 

ln( a +c )

0.22456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

 

 

( ab )2

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a+b2

( 1

+c )lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

3

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

1

 

 

a2 b2

 

arctg(ln( a +c ))

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

 

 

( ab )2

 

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.12456

0.01823

2. 08

4

 

 

 

 

 

ab arctg(ln( a +c ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

1

 

 

a4 b4

ln(sin( a +c ))

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

 

 

( ab )2

 

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a+b

 

 

0.02456

0.01823

0. 348

5

 

 

 

ab ln(sin( a +c ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

1

 

ln( a+b )

( a b ) ln( ac )

0.12456

0.12078

2.08

 

 

 

 

 

 

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

 

 

 

 

2

 

ln( a+b )

( 1 +c )ln( ac )

0.12456

0.11823

2. 08

5

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

P.S. Если трансцендентные функции (sin, ln и т.п.) вычисляются с помощью библиотек компьютерных сред (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или калькулятора, погрешностью метода можно пренебречь (но не погрешностью исходных данных или округления).

Лабораторная работа 2

Пределы последовательностей и степенные ряды

Задание 1. Найдите оценки пределов последовательностей {an},{bn}, если они существуют, с точностью ε.=10-2 и соответствующие порядковые номера N(ε). Изобразите графически характер поведения этих последовательностей. Найдите аналитическим путем истинное значение предела и порядок сходимости.

Задание 2. Выберите любую из приведенных последовательностей c нулевым пределом и найдите сумму соответствующего ряда при n=1,2,... с точностью ε.=10-4 (или покажите, что ряд расходится) .

Варианты заданий

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

1

 

3n /( 3 +

1

)n

 

(-1)n (1-

14

1 sin( 1 )

 

 

 

1n

nn +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

cos(1/n))

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

)

 

 

 

n

2

+1)

 

 

15

( 2π )n n!

 

 

 

 

2

+1/n)

 

arctg(n

 

(-1) n/(n

 

 

 

 

( 2n )!

 

arctg(n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1 /( 1 +

n

)

( 1 ) ( n n 1)

16

1 /( 1 + n )

 

 

 

3 n6 +2

 

 

 

 

 

6 n 2 + 5

 

 

 

 

n

 

 

1/n

 

1

 

 

 

1

cos(

1

(

1 )

n

)

4

 

 

 

 

 

 

 

(-1)

(1-2 )

 

 

17

 

n ln(πn )

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3 +1

 

 

 

 

 

 

n

n

 

5

 

arctg(n2+1)

 

 

( 1 )n+1

 

18

( 1 )n+1e2n2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2n1 )

2

 

 

 

 

( 2n1 )( 2n1 )!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ln n+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

( 1 )n+1 5n

 

6

 

 

 

 

 

1

sin

(1)n

 

19

 

ln( n )

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

n!