Файл: А.В. Бирюков Дифференциальная геометрия.pdf

6

где r - радиус-вектор точки на поверхности.

Если переменные u, v сами являются функциями некоторого параметра t, то есть u = u(t), v = v(t), то векторное уравнение

r =r [ u(t), v(t),]

определяет кривую линию, лежащую на поверхности.

В частности, если фиксировать значение v = v0, то изменению u будет соответствовать линия на поверхности, называемая координатной u -линией. Если же u = u0, то получим аналогичную координатную v-линию. Семейство таких линий образует криволинейную систему координат на поверхности. При этом через каждую точку поверхности A(u,v) проходит ровно две координатных линии.

Касательные к координатным линиям в точке A направляют век-

торы

r1 = ∂∂ur , r2 = ∂∂vr ,

равные частным производным от r по параметрам.

Любая кривая линия, принадлежащая поверхности и проходящая через точку A, имеет касательную в этой точке, расположенную в

плоскости векторов r 1 и r 2 . Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке A. Прямая линия, проходящая через точку касания A и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к плоскости в точке A. Единичный вектор нормали равен

n = ,

d r = r1 du + r2 dv ,

7

при этом d r = dS , где S - длина дуги кривой.

Обозначим скалярные произведения векторов r1 r1 , r1 r2 , r 2 r2 соответственно через E(u,v),F(u,v),G(u,v), т.е.

E(u,v) = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2;∂u ∂u ∂u

F(u,v) = ∂∂ux ∂∂vx +∂∂uy ∂∂vy +∂∂uz ∂∂vz ;

где символ ∂ обозначает частные производные. Поскольку скалярный

квадрат вектора d r равен квадрату его модуля, то

(dS)2 = E(du)2 +2Fdudv +G(dv)2.

Это основная квадратичная формула поверхности. Её коэффициенты E, F, G полностью определяют метрику на поверхности. Так, например, площадь некоторой области на поверхности с замкнутой границей равна двойному интегралу

∫∫ EG − F 2 dudv.

Плоскость, проходящая через нормаль к поверхности в точке A, пересекает поверхность по плоской кривой, называемой нормальным сечением поверхности. Вращая эту плоскость вокруг нормали, получим бесконечно много нормальных сечений с некоторыми значениями кри-

Если K1K2>0 в точке A, то эта точка называется эллиптической. Если в точке поверхности K1K2<0, то точка называется гиперболической.

8

Если же одна из главных кривизн равна нулю, то соответствующая точка называется параболической.

Например, все точки эллипсоида или, в частности, сферы являются эллиптическими, а все точки так называемой псевдосферы – гиперболическими. Если поверхность является линейчатой (однополостный гиперболоид вращения), то все её точки параболические.

Составитель Альберт Васильевич Бирюков

Дифференциальная геометрия

Методические указания к изучению соответствующего раздела программы курса математики для студентов всех направлений

ГУ Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография ГУ Кузбасский государственный технический университет. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.