ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.06.2024
Просмотров: 41
Скачиваний: 0
6
Аналогичным образом решается задача для M выборок с объемами N . В этом случае решение дает статистика
C = |
12 (D12 + ... DM2 ) |
− 3(MN +1). |
MN 2 (MN +1) |
Если найденное значение статистики меньше критического (табл. 9), то все выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности.
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
M −1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
C |
6,0 |
7,8 |
9,5 |
11 |
13 |
14 |
M −1 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
C |
16 |
17 |
18 |
20 |
21 |
22 |
M −1 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
C |
24 |
25 |
26 |
28 |
29 |
30 |
M −1 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
C |
31 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
Приведем пример сравнения двух выборок по критерию Вилкоксона. Имеются выборки: 1) 1, 1, 3, 4, 5; 2) 1, 2, 6, 7, 8. Элементы объединенной совокупности
1, 1, 1`, 2`, 3, 4, 5, 6`, 7`, 8` |
|
имеют ранги 2, 2, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. При этом C1 =18 , |
C2 = 7 . Иско- |
мая статистика C = 7 больше критического значения, |
которое при |
N = 5 равно 4. Следовательно, обе данные выборки принадлежат одной генеральной совокупности.
3. КОРРЕЛЯЦИЯ
Рассмотрим две случайные величины X и Z , которые из некоторых априорных соображений будем считать связанными друг с другом. Отвлекаясь от истинного характера этой взаимосвязи, остановимся лишь на близости этой зависимости к линейной, называемой корреляцией.
3.1. Коэффициент корреляции
Пусть имеются результаты одновременного наблюдения за двумя случайными величинами
7
(X k , Z k ), k =1,2,...N .
Вычислим статистику
C = (XZ − X Z )S 1 S 2 ,
называемую выборочным коэффициентом корреляции. Здесь XZ - среднее произведение, а S1 и S2 – выборочные стандарты.
Эта статистика может принимать значения в интервале от -1 до +1. Если найденное значение превосходит критическое (табл. 10), то корреляция между случайными величинами значима.
N |
|
|
|
|
Таблица 10 |
6 |
8 |
10 |
15 |
20 |
|
C |
0,71 |
0,63 |
0,58 |
0,48 |
0,42 |
N |
30 |
40 |
50 |
70 |
90 |
C |
0,35 |
0,30 |
0,27 |
0,23 |
0,20 |
3.2. Ранговая корреляция
Пусть, как и прежде, имеются пары наблюдений
(X k , Zk ), k =1,2,...N .
Значения Xk и Zk независимо друг от друга расположим по воз-
растанию и ранжируем, приписывая ранги 1, 2, 3 и т.д. в порядке возрастания элементов выборок. Разность рангов у соответствующих друг
другу элементов Xk и Zk обозначим через Ek . Далее вычислим статистику Спирмена
C = 1 − 6(E12 + ... + EN2 )N (N 2 −1).
Корреляция признается значимой, если найденное значение статистики превосходит критическое (табл. 11).
N |
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
C |
0,77 |
0,60 |
0,55 |
0,50 |
0,46 |
0,42 |
N |
18 |
20 |
22 |
24 |
26 |
28 |
C |
0,40 |
0,38 |
0,36 |
0,34 |
0,33 |
0,32 |
8
3.3. Адекватность регрессии
Если при проверке гипотезы о корреляции оказалось, что корреляция значима, то правомерно искать линейную зависимость между X и Z , называемую регрессией или регрессионной моделью. Используя метод наименьших квадратов, найдем эту модель в виде
Z = Z +W (X − X ),
где угловой коэффициент регрессии равен
W = (XZ − X Z )(X 2 − X 2 ).
Здесь X , Z – выборочные средние; XZ - среднее произведение;
X 2 – средний квадрат; X 2 – квадрат среднего.
Для проверке адекватности найденной модели необходимо найти две дисперсии – остаточную дисперсию S 2 , характеризующую точ-
ность модели, и дисперсию воспроизводимости S02 , характеризующую
уровень шума, т.е. совокупное влияние случайных факторов. Для вычисления последней необходимо иметь дублирующие (параллельные) наблюдения, т.е. значения Z при фиксированном значении X . Диспер-
сия параллельных наблюдений равна S02 .
Для вычисления остаточной дисперсии найдем сумму квадратов разностей между экспериментальными и вычисленными по модели
значениями Z . Разделив эту сумму на N −2 , где N – число пар на-
блюдений (объем выработки), получим остаточную дисперсию S 2 . Если при сравнении по какому-либо критерию (Пиллаи или Фи-
шера) окажется, что различие между дисперсиями S 2 и S02 незначимо, то найденная регрессионная модель адекватна.
4. ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим некоторый сложный процесс с выходным параметром X . Таким процессом является, например, работа какого-либо предприятия, эффективность которой характеризуется выходным параметром – себестоимостью выпускаемой продукции.
На вариацию значений выходного параметра влияет множество различных факторов. Из некоторых априорных соображений (напри-
9
мер, из предыдущего опыта) выделим из множества факторов основную группу, подлежащую изучению. Ограничимся случаем, когда основная группа состоит из двух факторов F , G . Кроме них на выходной параметр оказывает влияние множество случайных факторов. Поэтому общая дисперсия значений выходного параметра является суммой факторных дисперсий и дисперсии случайности, т.е.
S 2 = S12 + S 22 + S 02 .
Задача факторного анализа состоит в представлении общей дисперсии в виде такой суммы, а также в оценке силы влияния каждого фактора. Рассмотрим последовательно факторный анализ с одним и двумя основными факторами.
4.1. Однофакторный анализ
Для конкретности допустим, что фактор F варьируется на трех уровнях и на каждом уровне имеется по три параллельных на-
блюдения. Тогда соответствующая матрица значений выходного параметра имеет вид
X11 |
X 21 |
X 31 |
X12 |
X 22 |
X 32 |
X13 |
X 23 |
X 33 |
Здесь первый индекс у элемента матрицы соответствует уровню фактора. Введем следующие обозначения:
U1 ,U2 ,U3 – сумма элементов в столбцах матрицы;
Q – сумма квадратов всех элементов матрицы;
Q1 = (U12 +U 22 +U 32 )3 ;
P – квадрат суммы всех элементов матрицы, деленный на 9; SF2 – вспомогательная дисперсия.
Тогда имеют место следующие формулы:
S02 =(Q −Q1 ) 6 ; |
SF2 =(Q1 −P) 2. |
Если различие между дисперсиями SF2 и S02 , проверяемое по како- му-либо критерию, оказывается значимым, то исследуемый фактор