Файл: Б.Л. Герике Законы распределения результатов измерений.pdf

1

1. Цель работы

Научиться обрабатывать результаты многократных измерений: находить оценки измеряемой величины, определять доверительный интервал, в котором находится ее истинное значение, идентифицировать закон распределения результатов измерений. Научиться находить и исключать грубые погрешности измерений.

2. Теоретические положения

Главным при многократном измерении является эффективное использование апостериорной информации. Анализ ее начинается с выдвижения и проверки гипотез относительно закона распределения вероятности результата измерения. Гипотезы выдвигаются с учетом априорной информации либо на основании рассмотрения гистограммы.

Иногда по виду гистограммы можно с большой уверенностью заключить, что результат измерения подчиняется (или не подчиняется) нормальному (или другому) закону распределения вероятности (рис. 1). Однако любые заключения, сделанные по виду гистограммы, могут иметь лишь рекомендательный характер и служат руководством к действию в редких случаях.

Основной причиной этого является наличие грубых погрешностей измерений, приводящих к значительным искажениям гистограммы и значений оценок измеряемой величины.

Грубая погрешность, или промах, — это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:

1)неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

2)неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например, гирь;

3)хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.

Корректная статистическая обработка выборки возможна только при ее однородности, т.е. в том случае, когда все ее члены принадлежат к одной и той же генеральной совокупности. В противном случае обработка данных бессмысленна.

3

тов наблюдений играет проверка статистической гипотезы о нормальности распределения полученных результатов. Эта задача представляет собой частный случай более общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, наилучшим образом согласующейся с опытными данными.

3. Построение гистограммы результатов измерения

Наглядность и адекватность отображения гистограммой закона распределения вероятности результатов измерения зависит от соблюдения следующих правил при ее построении.

Интервалы, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми (при необходимости интервалы могут иметь различную ширину).

Число интервалов r следует выбирать в соответствии со следующими рекомендациями:

rmin = 0,55n0,4 ,

rmax =1,25n0,4 .

Число интервалов должно выбираться из рассчитанного диапазона и быть нечетным. Ширина интервала составит

h = xmax −xmin .

m

Значение ширины интервала всегда округляют в большую сторону, чтобы последняя точка не выпала из последнего интервала.

Если гистограмма распределения явно двухмодальная, то число интервалов увеличивается в 1,5-2 раза.

Определяются интервалы группирования экспериментальных данных в виде

∆k = (xmin +h(k −1), xmin +hk), k =1,2,...,m.

Подсчитываются вероятности попадания результатов измерения в каждый интервал

pk = nn∆k .

Полученные значения вероятностей в принятом масштабе откладываются на гистограмме. Масштаб гистограммы следует выбирать так, чтобы ее высота относилась к основанию примерно как 5 к 8.

4

4. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения результатов измерения

В промышленных условиях редко удается накопить обширный и качественный статистический материал, поэтому наиболее распространенным является случай средних выборок, когда их объем лежит в диапазоне 15 < n < 50. В таком случае используется составной критерий

(ГОСТ 8.207-76).

Сначала рассчитывается статистика

1 ∑n (Xi −X)2 n i=1

и проверяется выполнение условия

dmin ≤ d ≤ dmax ,

где dmin и dmax зависят от принятой доверительной вероятности α и объема выборки n (табл. 1).

Если это условие соблюдается, то гипотеза о нормальности распределения принимается, если не более m разностей Xi −X превосхо-

дят уровеньS z1+α' , где z1+α – квантиль интегральной функции норми-

2 2

рованного нормального распределения, определяемый по данным табл. 2 при значении

Величина α' находится при заданном уровне значимости q = α-1 по данным табл. 3.

Несоблюдение хотя бы одного из двух условий достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения была отвергнута. В противном случае гипотеза принимается с вероятностью Р ≥ α+α'–1.

При n < 15 гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, не проверяется. Решение принимается на основании анализа априорной информации.

5

5. Исключение грубых погрешностей измерения

Вопрос о том, содержит ли данный результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Одним из распространенных методов является цензурирование по критерию Романовского.

Цензурирование проводится по следующему алгоритму.

По измеренным значениям определяют характеристики распределения: среднее значение X и среднеквадратическое отклонение S.

Задаются доверительной вероятностью α или уровнем значимости q. По табл. 4 определяют граничное значение критерия να.

Для оценки i-го элемента выборки рассчитывают значение

Сомнительным может быть в первую очередь наибольший Хmax или наименьший Хmin из результатов наблюдений. Поэтому целесообразнее начать с их оценки.

Для измеренных значений, лежащих вне доверительного интерва-

ла, для которых

νi > να,

отвергаем гипотезу об их принадлежности данной генеральной совокупности, так как вероятность появления таких значений мала. Эти значения рассматриваются как грубая погрешность. После исключения

грубой погрешности рассчитываются исправленные оценки X и S.

6. Порядок выполнения работы

1.По полученным данным построить гистограмму результатов измерения и вынести суждение о типе закона распределения.

2.Проверить выборку на наличие грубых погрешностей измерения и исключить их, если имеются.

3.Проверить гипотезу о нормальности закона распределения данных результатов измерения.

6

Таблица 2

Таблица значений нормированной функции нормального распределения