ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.07.2024
Просмотров: 16
Скачиваний: 0
Лабораторная работа № 16
Решение дифференциальных уравнений и систем
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.
Задание к работе:
К работе допущен:
Работу выполнил:
Работу защитил:
Теоретическая часть
Решение дифференциальных уравнений и систем
Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность из решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что также позволяет MathCad. Для решения задач такого класса можно использовать ряд функций:
Odesolve(x,b,[step]) - возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x - переменная интегрирования, действительное число
b - конечная точка отрезка интегрирования
step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)
Rkadapt(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n;
rkfixed(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n.
Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и является его заключительным ключевым словом.
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью функции Rkfixed.
На рис.2 приведен пример применения функции rkfixed для решения дифференциального уравнения, описывающего процесс свободных затухающих колебаний величины электрического заряда q (К) на конденсаторе с емкостью С (Ф), включенного в замкнутый контур, содержащий также сопротивление R (Ом) и индуктивность L (Гн).
Этот процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка
где
=d2q/dt2
– ускорение изменения заряда, К/с2;
=dq/dt
– скорость изменения заряда, К/с;
b
– коэффициент затухания, 1/с,
;
wc–
круговая частота собственных колебаний
контура, 1/с,
Исходные данные к решению задачи:
Начальное условие: t=0, Vq=0, q=q0.
-
Номер
варианта
R, Ом
L, Гн
C, Ф
q0, K
1
2
3
4
5
1
3
4
6
8
5
15
25
40
55
0,0050
0,0035
0,0040
0,0075
0,0070
1
2
3
4
5
Процесс затухания колебаний рассчитать до tk
Исходное дифференциальное уравнение второго порядка может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Для этого введем подстановки:
q0=q
q1=
Дифференциальное уравнение второго порядка преобразуем в систему дифференциальных уравнений первого порядка:
Правые части системы дифференциальных уравнений записываются в вектор правых частей системы уравнений D(t,q).
Матрица
Z
размерности n
строк по числу точек вывода результатов
решения и m+1
столбцов, равным числу уравнений в
системе. В столбцах матрицы содержатся
значения переменных соответственно t,
,
.
На рис.2 представлен график изменения
заряда от времени.
Практическая часть.
1
Найти частное решение y(x)
дифференциального уравнения для своего
варианта при произвольных начальных
условиях и построить график решения.
2
Решите систему дифференциальных
уравнений для своего варианта на отрезке
[0,3]. Выведите значения искомых функций
и их производных в точке с координатой
х=1.5
3 Решить задачу, рассмотренную в пункте 8 с учетом данных своего варианта. Для вариантов 1 – 5: tk=45с, для вариантов 6 – 10: tk=40с, для вариантов 11 – 15: tk=50с, для вариантов 16 – 20: tk=55с, для вариантов 21 – 25: tk=35с, для вариантов 26 – 30: tk=30с.
Заключение
Я научился решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.