Компоненты дисперсии, синтез деноминатора

Некоторые модули в STATISTICA позволяют проводить анализ планов со случайными эффектами (смотрите Методы дисперсионного анализа). Модуль Компоненты дисперсии и смешанная модель ANOVA/ANCOVA содержит различные опции для оценок компонент дисперсии для случайных эффектов, а также для проведения приближенных F - тестов, основанных на обобщенном члене ошибки. Смотрите также Методы дисперсионного анализа для знакомства с различными опциями ANOVA/ANCOVA, доступных в STATISTICA.

Выводы

Экспериментальные методы находят все большее применение в промышленности для оптимизации производственных процессов. Целью этих методов является поиск оптимальных уровней факторов, определяющих течение процесса производства. В рассмотренных примерах мы познакомили вас с основными типами планов, обычно используемыми в промышленности: планами 2**(k-p) (двухуровневыми многофакторными планами), отсеивающими планами для большего числа факторов, планами 3**(k-p) (трехуровневыми многофакторными планами), смешанными 2-х и 3-х уровневыми планами, центральными композиционными планами (или планами поверхности отклика), планами на латинских квадратах, робастными планами Тагучи, планами для смесей, а также специальными процедурами для проведения экспериментов на поверхностях с ограничениями. Интересно, что многие из этих методов прошли путь от заводских цехов до кабинетов менеджеров и аналитиков, зарекомендовав себя в задачах планирование прибыли в бизнесе, управления финансовыми потоками в банковском деле и многих других (см., например, работу Йокиама и Тагучи (1975)).

Все эти методы подробно обсуждаются в следующих разделах:

1. Дробные 2**(k-p) факторные планы

2. Максимально несмешанные 2**(k-p) планы

3. Планы 3**(k-p), планы Бокса-Бенкена и смешанные 2-х и 3-х уровневые планы

4. Центральные композиционные планы и нефакторные планы поверхности отклика

5. Планы на латинских квадратах

6. Методы Тагучи: робастное планирование эксперимента

7. Планы для смесей и тернарные поверхности

8. Планы для поверхностей и смесей с ограничениями

9. D- и A- опттимальные планы для поверхностей и смесей

Дробные 2**(k-p) факторные планы

Основная идея

Во многих случаях достаточно рассмотреть всего два уровня факторов, влияющих на производственный процесс. Например, температура проведения химического процесса может быть установлена немного ниже или немного выше заданного уровня, количество растворителя при производстве красителя можно немного увеличить или уменьшить и так далее. Экспериментатор хотел бы установить, влияют ли какие-либо из этих изменений на результат производственного процесса. Наиболее очевидный подход в данном случае состоит в полном переборе комбинаций уровней интересующих факторов. Это отлично сработает, если бы число необходимых опытов в таком эксперименте не росло экспоненциально. Например, если вы хотите провести эксперимент с 7 факторами, то необходимое число опытов равно 2**7 = 128. Чтобы изучить 10 факторов вам потребуется 2**10 = 1,024 опытов. Поскольку для проведения каждого опыта нужна длительная и дорогостоящая перенастройка, то на практике часто нереально ставить столь большое число опытов. В этом случае при планировании эксперимента обычно используют дробные планы, отбрасывающие взаимодействия высокого порядка и уделяющие наибольшее внимание главным эффектам.

---

Построение плана

Подробное описание того, как строятся дробные факторные планы, выходит за пределы данного введения. Много интересного о 2**(k-p) планах можно найти, например, в работах Бейна и Рубина (1986), Бокса и Дрейпера (1987), Бокса, Хантера и Хантера (1978), Даниела (1976), Деминга и Моргана (1993), Мейсона, Ганста и Гесса (1989), Райана (1989), а также Монтгомери (1991) и многих других. В общем случае, программа успешно использует  взаимодействия наивысших порядков для генерации новых факторов. В качестве примера рассмотрим следующий план, включающий 11 факторов, но требующий проведения только 16 опытов (наблюдений).

Design: 2**(11-7), Resolution III
Run	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1	1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1	1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1	1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1	1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1	1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1	1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1	1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1	1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1	1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1	1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

Чтение плана. План, представленный в таблице, интерпретируется следующим образом. Каждый столбец таблицы содержит +1 или -1 для обозначения уровня соответствующего фактора (верхнего или нижнего, соответственно). Так, например, в первом опыте эксперимента все факторы от A до K установлены на верхнем уровне (+1); во втором опыте факторы A, B, и C - на верхнем уровне, а фактор D - на нижнем и так далее. Отметим также, что имеется множество опций для отображения плана на экране и сохранения в файле с использованием обозначений, отличных от ± 1 для уровней факторов. Например, можно использовать реальные значения факторов (например, 90° C и 100° C) или текстовые метки (Низкая температура, Высокая температура).

---

Рандомизация опытов. Поскольку многие условия проведения эксперимента могут измениться от опыта к опыту то, чтобы не возникали систематические смещения, следует рандомизировать порядок проведения опытов (модуль Планирование эксперимента позволяет случайно выбрать порядок их проведения).

Разрешение плана

План в приведенной выше таблице описывается как 2**(11-7) план разрешения III (три). Это означает, что изучается k = 11 факторов (первая цифра в скобках), однако p = 7 из этих факторов (вторая цифра в скобках) порождены взаимодействиями полного факторного плана 2**[(11-7) = 4]. В результате план не обеспечивает полного разрешения, т.е. имеются эффекты взаимодействий, которые смешиваются с другими эффектами (идентичны им). Вообще, план называется планом разрешения R, если в нем ни одно взаимодействие порядка l = 1,…,[(r+1)/2] не смешивается с каким-либо взаимодействием порядка меньше R-l. В данном примере, R равно 3. Ни одно из взаимодействий порядка l = 1 (то есть ни один главный эффект) не смешивается здесь с каким-либо другим взаимодействием порядка меньше R-l = 3-1 = 2. Главные эффекты в этом плане смешиваются со взаимодействиями 2-го порядка и, следовательно, все взаимодействия более высоких порядков также смешаны. Если провести 64 опыта по плану 2**(11-5), полученное разрешение равнялось бы четырем (R = IV). Для того чтобы сделать такой вывод достаточно убедиться, что взаимодействия порядка (l=1) (главные эффекты) не смешиваются со взаимодействиями порядка меньше R-l = 4-1 = 3, а взаимодействия второго порядка (l=2) не смешиваются со взаимодействиями порядка меньшего, чем R-l = 4-2 = 2. Это приводит к тому, что некоторые взаимодействия второго порядка в данном плане смешаны друг с другом.

Планы Плакетта - Бермана (матрица Адамара) для отсеивания

Если необходимо просеять большое число факторов, которые могут быть потенциально важными (т. е. связаны с интересующей нас зависимой переменной), хотелось бы использовать план, который бы позволил тестировать наибольшее число главных эффектов при наименьшем числе наблюдений, то есть построить план разрешения III с наименьшим числом наблюдений. Один из способов планирования такого эксперимента состоит в смешивании всех взаимодействий с “новыми” главными эффектами. Такие планы часто называют насыщенными, поскольку вся информация в них используется для оценки параметров, не оставляя степеней свободы для оценки эффекта (члена) ошибок ДА. Поскольку дополнительные факторы создаются приравниванием (“присвоением псевдонимов”, смотрите ниже) “новых факторов” к взаимодействиям в полной факторной модели, то эти планы всегда будут состоять из 2**k опытов, (то есть, 4, 8, 16, 32 и так далее опытов). Плакетт и Берман (Plackett и Burman, 1946) показали, как полная факторная модель может быть разбита так, чтобы получить насыщенные планы, в которых число опытов кратно 4, а не степени 2. Такие планы иногда называют планами с матрицей Адамара. Конечно, вы не обязаны использовать все имеющиеся факторы в этих планах, и фактически, иногда вам хотелось бы сгенерировать насыщенный план для еще одного фактора сверх тех, которые вы бы хотели тестировать. Это позволит оценить изменчивость случайных эффектов и тестировать оценки параметров на статистическую значимость.

---

Усиление разрешения плана методом инверсии

Одним из способов, с помощью которых разрешение III плана может быть усилено до разрешения IV, является метод инверсии (например, смотрите Box и Draper, 1987, Deming и Morgan, 1993). Предположим, что имеется 7-факторный план с 8 опытами:

Design: 2**(7-4) design
Run	A	B	C	D	E	F	G
1 2 3 4 5 6 7 8	1 1 1 1 -1 -1 -1 -1	1 1 -1 -1 1 1 -1 -1	1 -1 1 -1 1 -1 1 -1	1 1 -1 -1 -1 -1 1 1	1 -1 1 -1 -1 1 -1 1	1 -1 -1 1 1 -1 -1 1	1 -1 -1 1 -1 1 1 -1

---

Это план с разрешением III, в нем 2-х факторные взаимодействия смешаны с главными эффектами. Вы можете преобразовать его в план разрешения IV с помощью опции Инверсия (усиление разрешения). При инверсии весь план копируется и добавляется в конец исходного плана с обращением всех знаков (заменой на противоположные):

Design: 2**(7-4) design (+Foldover)
Run	A	B	C	D	E	F	G	New: H
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1	1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1	1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1	1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1	1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1	1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1	1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1	1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Исходный опыт номер 1 был -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1; новый опыт номер 9 (первый опыт в “загнутой” порции) имеет все знаки, обратные знакам опыта 1: 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1. Кроме того, для усиления разрешения плана добавочно получили 8-ой фактор (фактор H), который содержит все +1 для первых восьми опытов и –1 для загнутой порции нового плана. Заметим, что полученный план действительно является планом 2**(8-4) разрешения IV (смотрите также Box и Draper, 1987, стр. 160).

Псевдонимы для взаимодействий: генераторы плана

Вернемся к плану разрешения R = III. Теперь вы знаете, что главные эффекты плана смешаны с взаимодействиями 2-го порядка, и можете поставить вопрос: “Какие взаимодействия и какие главные эффекты смешаны?” Модуль Планирование эксперимента генерирует следующую таблицу.

Factor	Fractional Design Generators 2**(11-7) design (Factors are denoted by numbers) Alias
5   6   7   8   9 10 11	123   234   134   124 1234     12     13

Генераторы плана. Генераторы плана в таблице, являются “ключами”, показывающими, что факторы от 5 до 11 порождаются отождествлением их с конкретными   взаимодействиями первых 4 факторов в полном факторном плане 2**4. В частности, фактор 5 идентичен взаимодействию 123 (фактора 1, фактора 2 и фактора 3). Фактор 6 идентичен взаимодействию 234 и т. д. Помните, что план имеет разрешение III (три), и вы ожидаете, что некоторые главные эффекты смешаны с некоторыми взаимодействиями 2-го порядка: в самом деле, фактор 10 (десять) идентичен взаимодействию 12 (фактор 1 на фактор 2) и фактор 11 (одиннадцать) идентичен взаимодействию 13 (фактор 1 на фактор 3). Другой способ выражения этих тождеств состоит в высказывании, что главный эффект фактора 10 (десять) является псевдонимом взаимодействия факторов 1 и 2.

---

Смотрите также файлы

• ТАЛАНТ БЕК.doc

• Т-03-Л-совокупный спрос и предложение.pdf

• сопромат.doc

• Сильные стороны.docx

• Сильные стороны.docx