Подводя итоги, заметим, что коль скоро вы хотели бы включить меньше наблюдений (опытов) в ваш эксперимент, чем это требуется полным факторным планом 2**k, вы “жертвуете” эффектами взаимодействия и приписываете их некоторым уровням факторов. Получающийся план не является больше полным факторным, а становится дробным факторным.

Фундаментальное тождество. Другой способ описания генератора плана состоит в простом уравнении. Именно, если, например, фактор 5 в дробном факторном плане идентичен взаимодействию 123 (фактор 1 и фактор 2 и фактор 3), тогда, умножая кодированные значения взаимодействия 123 на кодированные значения фактора 5, мы получим в результате +1 (если все уровни факторов закодированы +1) или:

I = 1235

где символ I заменяет +1 (используя стандартные обозначения как, например, в Box и Draper, 1987). Так, мы знаем, что фактор 1 смешан с взаимодействием 235 , фактор 2 смешан с взаимодействием 123 , а фактор 3 смешан с взаимодействием 125, поскольку в каждом случае их произведение должно равняться 1. Смешанность взаимодействий 2-го порядка также определяется этим уравнением, поскольку взаимодействие 12, будучи умножено на взаимодействие 35, должно дать в результате 1 и, следовательно, они идентичны или смешаны. Поэтому можно суммировать все смешанные в плане эффекты с помощью подобного тождества, называемого фундаментальным тождеством.

Разбиение на блоки

В некоторых производственных процессах изделия производятся “партиями” или блоками. Вам хотелось бы быть уверенными в том, что эти блоки не сдвинут (не сместят) оценки главных эффектов. Например, вы имеете печь для обжига специальной керамики, однако ее размеры ограничены, так что вы не можете проводить все опыты сразу. В этом случае вы разбиваете эксперимент на блоки. Однако вы не хотели бы опыты с положительными установками факторов проводить в одном блоке, а с отрицательными – в другом. Иначе случайные отличия между блоками будут систематически воздействовать на оценки главных эффектов интересующих нас факторов (другими словами, сместят их). В действительности вам хотелось бы так разбить опыты на блоки, чтобы любые различия между блоками (то есть блоковый фактор) не повлияли бы на результаты интересующих вас факторов. Это осуществляется введением блокового фактора как дополнительного фактора в плане эксперимента. Следовательно, вы “теряете” еще один эффект взаимодействия с блоковым фактором и получающийся план становится планом с меньшим разрешением. Однако такие планы часто имеют преимущество в мощности, т. к. позволяют оценивать и контролировать изменчивость производственного процесса, обусловленную различиями между блоками.

---

Повторение плана

Иногда желательно повторить (реплицировать) план, то есть провести опыт с каждой фиксированной комбинацией уровней факторов более одного раза. Это позволит оценить так называемую чистую ошибку эксперимента. Заметим, что при повторении плана можно вычислить изменчивость (изменчивость) измерений на каждой конкретной комбинации уровней факторов. Эта изменчивость даст представление о случайной ошибке измерений, (например, обусловленной неконтролируемыми факторами, ненадежностью инструментов измерений и так далее), поскольку повторные наблюдения совершаются при одинаковых условиях (установках уровней факторов). Такая оценка чистых ошибок может быть использована для оценки величины и статистической значимости вариации, обусловленной контролируемыми факторами.

Частные реплики. Если невозможно или нецелесообразно повторять все комбинации уровней (то есть проводить еще раз весь полный план), то можно все же получить оценку чистой ошибки при повторе только некоторых опытов. Однако нужно быть осторожным при рассмотрении смещений, потенциально возникающих при выборочном повторении только некоторых опытов. Если повторяются только те опыты, которые повторить легко, (например, собрать информацию в точках, где это дешевле всего), то можно случайно выбрать только те комбинации уровней факторов, в которых имеется очень маленькая (или очень большая) вариация, что приводит к недооценке (или переоценке) истинной величины чистой ошибки. Таким образом, нужно тщательно рассматривать, обычно основываясь на вашем представлении об изучаемом процессе, какие опыты следует повторять, то есть какие опыты дадут хорошую (несмещенную) оценку чистой ошибки.

Добавление центральных точек (центроидов)

Планирование эксперимента для факторов, установленных на двух уровнях неявно предполагает, что их воздействие на зависимую переменную (например, на прочность ткани) линейно. При этом невозможно проверить, имеется ли нелинейная компонента (например, квадратичная) в соотношении между фактором A и зависимой переменной, коль скоро A оценивается только в двух точках (например, нижнем и верхнем уровнях). Если предполагается, что соотношение между факторами и зависимой переменной, скорее всего, нелинейно, то необходим один или несколько опытов, где все (непрерывные) факторы установлены в промежуточных (средних) точках. Такие опыты принято называть опытами в центральных точках (или просто в центрах), поскольку они в некотором смысле находятся в центре плана (смотрите график).

---

Позднее при анализе (смотрите ниже) можно сравнить измерения зависимой переменной в центральной точке со средним в остальных точках плана. Это дает возможность проверить нелинейность зависимостей (смотрите Box и Draper, 1987): Если среднее зависимой переменной в центре плана значительно отличается от общего среднего по всем остальным точкам плана, то это является основанием считать, что простое предположение о линейности связи факторов с зависимой переменной не выполняется.

Анализ результатов эксперимента 2**(k-p)

Дисперсионный анализ. Далее необходимо точно определить, какие факторы достоверно воздействуют на зависимую переменную. Например, в исследовании, приведенном Box и Draper (1987, стр. 115), хотелось бы знать, какие факторы, участвующие в производстве красителя, влияют на устойчивость краски. В этом примере, факторы 1 (Polysulfide – Полисульфид), 4 (Time – Время) и 6 (Temperature – Температура) значимо влияют на прочность ткани. Влияние остальных факторов незначимо. Заметим, что для простоты в таблице, приведенной ниже, показаны только главные эффекты.

ANOVA; Var.:STRENGTH; R-sqr = .60614; Adj:.56469 (fabrico.sta)
	2**(6-0) design; MS Residual = 3.62509 DV: STRENGTH
	SS	df	MS	F	p
(1)POLYSUFD (2)REFLUX (3)MOLES (4)TIME (5)SOLVENT (6)TEMPERTR Error Total SS	48.8252 7.9102 .1702 142.5039 2.7639 115.8314 206.6302 524.6348	1 1 1 1 1 1 57 63	48.8252 7.9102 .1702 142.5039 2.7639 115.8314 3.6251	13.46867 2.18206 .04694 39.31044 .76244 31.95269	.000536 .145132 .829252 .000000 .386230 .000001

Чистая ошибка и потеря согласия. Если план эксперимента, по крайней мере, частично повторен (реплицирован), то можно оценить изменчивость ошибок эксперимента. Поскольку измерения сделаны при одинаковых условиях, то есть при идентичных установках уровней факторов, оценка вариабельности ошибок на основании этих опытов не зависит от того, является ли “истинная модель” линейной или нелинейной по природе или же включает взаимодействия высоких порядков. Так оцененная изменчивость ошибки представляет чистую ошибку, то есть ошибку, всецело обусловленную ненадежностью измерений зависимой переменной. Если оценка чистой ошибки получена, то ее можно использовать в критерии значимости для остаточной дисперсии, то есть остающейся изменчивости (вариабельности), которая не может быть обусловлена факторами и их взаимодействиями, присутствующими в текущей модели. Если на самом деле остаточная изменчивость значительно больше вариабельности чистой ошибки, можно сделать вывод, что остающаяся вариация обусловлена различием между группами и, следовательно, имеется потеря согласия модели с данными.

---

ANOVA; Var.:STRENGTH; R-sqr = .58547; Adj:.56475 (fabrico.sta)
	2**(3-0) design; MS Pure Error = 3.594844 DV: STRENGTH
	SS	df	MS	F	p
(1)POLYSUFD (2)TIME (3)TEMPERTR Lack of Fit Pure Error Total SS	48.8252 142.5039 115.8314 16.1631 201.3113 524.6348	1 1 1 4 56 63	48.8252 142.5039 115.8314 4.0408 3.5948	13.58200 39.64120 32.22154 1.12405	.000517 .000000 .000001 .354464

Например, таблица, приведенная выше, показывает результаты эксперимента для трех факторов, которые мы ранее идентифицировали, как наиболее важные по их воздействию на прочность краски (остальные факторы проигнорированы). Как видите в строке Lack of Fit – Потеря согласия, - остаточная вариация модели (после удаления трех главных эффектов) сравнима с чистыми ошибками, оцениваемыми из внутригрупповой вариации, - результирующее значение F-критерия не является статистически значимым. Следовательно, этот результат также подтверждает вывод, что, на самом деле, факторы Polysulfide - Полисульфид, Time – Время и Temperature – Температура достоверно влияют на окончательную прочность ткани аддитивным образом (без взаимодействий). Другими словами, все различия между средними, полученные в различных экспериментальных условиях, могут быть полностью объяснены простой аддитивной моделью с тремя переменными.

Параметры или оценки эффектов. Теперь посмотрим на то, как количественно факторы влияют на прочность окраски ткани.

	Effect	Std.Err.	t (57)	p
Mean/Interc. (1)POLYSUFD (2)REFLUX (3)MOLES (4)TIME (5)SOLVENT (6)TEMPERTR	11.12344 1.74688 .70313 .10313 2.98438 -.41562 2.69062	.237996 .475992 .475992 .475992 .475992 .475992 .475992	46.73794 3.66997 1.47718 .21665 6.26980 -.87318 5.65267	.000000 .000536 .145132 .829252 .000000 .386230 .000001

Числа в этой таблице являются эффектами или оценками параметров. За исключением общего Mean/Intercept – Среднего/Свободного члена, эти оценки являются deviations – отклонениями среднего отрицательных установок от среднего положительных для каждого соответствующего фактора. Например, если вы измените установку фактора Time - Время с low – нижний на high - верхний, можете ожидать увеличение Strength – Прочности на 2.98; если вы установите значение фактора Polysulfd - Полисульфид на верхний уровень, то можете ожидать дальнейшее увеличение на 1.75 и так далее.

---

Как видите, те же самые три фактора, которые были статистически значимыми, показывают наивысшие оценки параметров; так что установки этих трех факторов наиболее важны для окончательной прочности ткани.

Для анализа, включающего взаимодействия, интерпретация параметров эффектов несколько более сложная. Параметры двухуровневых взаимодействий определяются как полуразность между главными эффектами одного фактора на двух уровнях второго фактора (смотрите Mason, Gunst и Hess, 1989, стр. 127); подобным же образом, параметры трехфакторных взаимодействий определяются как полуразности между эффектами двухфакторного взаимодействия на двух уровнях третьего фактора и так далее.

Регрессионные коэффициенты. Можно также взглянуть на параметры модели регрессии (смотрите Множественная регрессия, том I). Чтобы продолжить пример, рассмотрим следующее уравнение прогноза:

Strength = const + b₁ *x₁ +... + b₆ *x₆

Здесь x₁ до x₆ обозначают 6 анализируемых факторов. Таблица Effect Estimates - Оценки эффектов, показанная ранее, также содержит эти оценки параметров:

	Coeff.	Std.Err. Coeff.	-95.% Cnf.Limt	+95.% Cnf.Limt
Mean/Interc. (1)POLYSUFD (2)REFLUX (3)MOLES (4)TIME (5)SOLVENT (6)TEMPERTR	11.12344 .87344 .35156 .05156 1.49219 -.20781 1.34531	.237996 .237996 .237996 .237996 .237996 .237996 .237996	10.64686 .39686 -.12502 -.42502 1.01561 -.68439 .86873	11.60002 1.35002 .82814 .52814 1.96877 .26877 1.82189

На самом деле эти оценки содержат весьма мало “новой” информации, поскольку они просто равны половине значений параметров, показанных ранее (кроме оценок для Mean/Intercept - Среднего/Свободного члена). Это теперь приобретает новый смысл, если интерпретировать коэффициент как отклонение (зависимой переменной) при высокой установке соответствующего фактора от значения в центре. Заметим, однако, такая интерпретация верна только для случая, когда уровни факторов закодированы как -1 и +1, соответственно. Другими словами, кодировка факторов влияет на значения оценок параметров. В примере из монографии Box и Draper (1987, стр. 115), значения различных факторов измерялись в весьма разных шкалах:

data file: FABRICO.STA [ 64 cases with 9 variables ] 2**(6-0) Design, Box & Draper, p. 117
	POLYSUFD	REFLUX	MOLES	TIME	SOLVENT	TEMPERTR	STRENGTH	HUE	BRIGTHNS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 . . .	6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 . . .	150 150 170 170 150 150 170 170 150 150 170 170 150 150 170 . . .	1.8 1.8 1.8 1.8 2.4 2.4 2.4 2.4 1.8 1.8 1.8 1.8 2.4 2.4 2.4 . . .	24 24 24 24 24 24 24 24 36 36 36 36 36 36 36 . . .	30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 . . .	120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 . . .	3.4   9.7   7.4 10.6   6.5   7.9 10.3   9.5 14.3 10.5   7.8 17.2   9.4 12.1   9.5 . . .	15.0   5.0 23.0   8.0 20.0   9.0 13.0   5.0 23.0   1.0 11.0   5.0 15.0   8.0 15.0 . . .	36.0 35.0 37.0 34.0 30.0 32.0 28.0 38.0 40.0 32.0 32.0 28.0 34.0 26.0 30.0 . . .

---

Смотрите также файлы

• ТАЛАНТ БЕК.doc

• Т-03-Л-совокупный спрос и предложение.pdf

• сопромат.doc

• Сильные стороны.docx

• Сильные стороны.docx