ВУЗ: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Электроника
Добавлен: 23.10.2018
Просмотров: 8155
Скачиваний: 20
21
к другой, достаточно разделить энергии
W
и
kT
на элементар-
ный заряд.
Сделав такую замену в формулах (1.1), получим:
( )
3
*
2
2
3
2
2
уровней
;
В см
гр
qm
P
h
⎛
⎞
π
⎛
⎞
ϕ =
ϕ − ϕ
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
π
⎝
⎠
⎝
⎠
(1.2а)
( )
1
,
1
F
T
n
F
e
ϕ−ϕ
ϕ
ϕ =
+
(1.2б)
где
ϕ
— потенциал, характеризующий энергию уровня;
F
ϕ
—
уровень Ферми (потенциал Ферми) в вольтах;
T
ϕ
—
температурный потенциал
.
T
kT
q
ϕ =
(1.3)
Название «температурный потенциал» для величины
T
ϕ
вполне оправдано, в силу значительной зависимости от темпера-
туры.
Полезно запомнить значение
T
ϕ
, при температуре Т=300°К
(которую принято называть «комнатной») равен
(
)
300 K
25 мВ.
T
ϕ
°
=
На зонной диаграмме (рис. 1.9) функции
( )
P
ϕ
и
( )
n
F
ϕ
по-
казаны для собственного полупроводника. Дальнейшие выводы
будут справедливы и по отношению к примесным полупроводни-
кам. В невырожденных полупроводниках уровень Ферми
F
ϕ
всегда лежит в запрещенной зоне. Понятие невырожденный
полупроводник рассмотрим позже. Глубину залегания уровня
Ферми можно характеризовать «расстоянием» от одной из раз-
решенных зон, выраженным в единицах температурного потен-
циала.
Для невырожденных полупроводников чаще соблюдаются
неравенства:
;
с
F
T
ϕ − ϕ >> ϕ
(1.4а)
F
V
T
ϕ − ϕ >> ϕ
, (1.4б)
22
где
c
ϕ
и
V
ϕ — потенциалы «дна» зоны проводимости и «потол-
ка» валентной зоны соответственно.
С физической точки зрения температурный потенциал
есть выраженная в электрических единицах статистическая
температура или близкая к ней средняя кинетическая энер-
гия свободного электрона в электронном газе.
При температуре Т=0° К функция
( )
F
ϕ
(рис. 1.9) имеет
ступенчатый характер, это соответствует уже известным фактам:
валентная зона полностью заполнена (
1
Fn
=
), зона проводимости
пуста (
0
n
F
= ). При температуре
0
T
≠ °
К ступенька функции
( )
F
ϕ
сглаживается и получается конечная (хотя и крайне малая)
вероятность нахождения электронов в зоне проводимости.
Одновременно вероятность нахождения электронов в ва-
лентной зоне делается меньше единицы. В последнем случае
удобнее пользоваться вероятностью отсутствия электронов на
уровнях или, что то же самое, вероятностью наличия дырок. Из
рис. 1.9 следует, что максимальные концентрации электронов
в зоне проводимости и дырок в валентной зоне имеют место
на границах зон. Плотность состояний на границах зон равна ну-
лю и увеличивается в глубь разрешенных зон.
1
0,5
ϕ
V
ϕ
C
n
P
P
n
(ϕ
)
T
≠0
T=0
ϕ
F
Запрещенная
зона
Валентная зона
Зона проводимости
F
n
(ϕ
)
P
p
(ϕ
)
Рис. 1.9 — Плотность уровней энергии, функция вероятности
и концентрация носителей в собственном полупроводнике
1
1
.
1
F
T
p
n
F
F
e
ϕ −ϕ
ϕ
= −
=
+
(1.5)
23
Учитывая неравенство (1.4а), можно записать:
.
F
T
n
F
e
ϕ−ϕ
−
ϕ
=
(1.6а)
Аналогично, учитывая неравенство (1.4б), убеждаемся, что
и в валентной зоне, где
0
F
ϕ−ϕ < , экспонента в выражении (1.5)
много больше единицы
.
F
T
p
F
e
ϕ −ϕ
−
ϕ
≈
(1.6б)
Функции (1.6), которые являются частным случаем распре-
деления Ферми-Дирака (для области энергий, значительно пре-
вышающих
F
ϕ ), называются распределением Максвелла —
Больцмана.
Это распределение представляет собой основу теории
полупроводников, т. к. при этом существенно упрощается ко-
личественный анализ полупроводниковых материалов и
приборов на их основе.
Концентрация свободных электронов в зоне проводимости с
учетом проведенного выше анализа запишется в виде:
2
(
)
( )
c
c
n
n
P
F
d
∞
ϕ
=
ϕ − ϕ
ϕ ϕ
∫
,
где подынтегральное выражение есть количество заполненных
уровней в элементарном интервале энергии, а множитель 2 озна-
чает, что на каждом уровне могут (по принципу Паули) нахо-
диться два электрона. Подставив (1.2а) и (1.6а) под знак интегра-
ла, после преобразований получим:
3
2
2
;
2
2
,
c
F
T
c
n
T
n
N e
m q
Nc
h
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
π
ϕ
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
(1.7
а
)
где
c
N
—
эффективная
плотность
состояний
(
в
1
см
3
)
в
зоне
про
-
водимости
.
Из (1.7а) следует, что
c
N есть максимально воз-
можная концентрация электронов в невырожденном полу-
проводнике
.
24
Концентрация
свободных
дырок
в
валентной
зоне
определя
-
ется
выражением
:
2
[ (
)]
( )(
).
v
V
p
p
P
F
d
−∞
ϕ
=
− ϕ − ϕ
ϕ − ϕ
∫
Подставив
(1.2
а
)
и
(1.6
б
),
после
преобразований
получим
:
3
2
2
;
2
2
,
F
V
T
V
p
T
V
p
N e
m q
N
h
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
π
ϕ
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
(1.7
б
)
где
v
N
—
эффективная
плотность
состояний
в
валентной
зоне
.
Легко
убедиться
,
что
произведение
концентраций
np
не
за
-
висит
от
положения
уровня
Ферми
и
определяется
только
темпе
-
ратурой
и
шириной
запрещенной
зоны
:
,
З
T
C
V
np
N N e
ϕ
−
ϕ
=
(1.8)
где
з
с
v
ϕ = ϕ −ϕ
—
ширина
запрещенной
зоны
.
Из
выражения
(1.8)
следует
,
учитывая
,
что
эффективные
плотности
состояний
относительно
слабо
зависят
от
типа
полу
-
проводникового
материала
при
постоянной
температуре
,
произ
-
ведение
концентраций
зависит
в
основном
от
ширины
запрещен
-
ной
зоны
,
т
.
е
.
характеристики
полупроводника
.
Для
кремния
ширина
запрещенной
зоны
примерно
в
два
раза
больше
чем
у
германия
,
в
результате
чего
произведение
концентраций
элек
-
тронов
—
дырок
у
кремния
на
три
порядка
меньше
.
Следователь
-
но
,
электрические
параметры
и
характеристики
кремния
и
герма
-
ния
должны
существенно
отличаться
.
Из
формул
(1.7)
отношение
концентраций
получается
в
сле
-
дующем
виде
:
2(
)
;
,
2
E
F
T
C
V
c
v
E
N
n
e
p
N
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
ϕ + ϕ
ϕ =
(1.9
а
)
где
E
ϕ
—
потенциал
середины
запрещенной
зоны
,
который
ино
-
гда
называют
электростатическим
потенциалом
полупроводника
.
25
Если
принять
,
что
выполняется
условие
c
v
N
N
=
,
выражение
(1.9
а
),
можно
записать
в
виде
:
2(
)
.
E
F
T
n
e
p
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
(1.9
б
)
Анализируя
выражение
(1.9
а
),
можно
сделать
следующие
выводы
:
1.
Если
уровень
Ферми
совпадает
с
электростатическим
по
-
тенциалом
,
тогда
1
n
p
=
,
т
.
е
.
полупроводник
является
собственным
.
2.
При
выполнении
условия
F
E
ϕ > ϕ
1
n
p
>
,
т
.
е
.
полупро
-
водник
электронный
.
3.
При
выполнении
условия
F
E
ϕ < ϕ
1
n
p
<
,
т
.
е
.
полупро
-
водник
дырочный
.
4.
Из
выражения
(1.9
б
)
следует
,
что
изменение
уровня
Фер
-
ми
должно
приводить
к
изменению
концентрации
примесей
.
Фи
-
зически
можно
изменять
концентрацию
электронов
или
дырок
,
вводя
разное
количество
примесей
в
основной
полупроводник
,
а
уровень
Ферми
рассчитывать
.
1.6
Уровень
Ферми
При
анализах
,
которые
мы
провели
выше
,
считалось
,
что
уровень
Ферми
нам
известен
,
и
с
его
помощью
вычислялись
кон
-
центрации
свободных
носителей
заряда
.
На
самом
же
деле
уро
-
вень
Ферми
является
функцией
этих
концентраций
,
так
как
изме
-
нить
уровень
Ферми
можно
только
,
изменив
концентрацию
доно
-
ров
или
акцепторов
,
а
концентрации
носителей
оценить
из
тех
или
иных
соображений
или
условий
.
Используя
выражения
(1.2
б
)
и
(1.5),
интегралы
легко
приве
-
сти
к
виду
(
)
0
2
,
1
T
d
e
∞
χ
η− ϕ
η η
= ν
τ
+
∫
(1.10)