Файл: Тема 12.doc

Наибольшие касательные напряжения возникают также в наиболее удаленных точках поперечного сечения D и К. Для определения максимальных касательных напряжений воспользуемся формулой (11.32):

. (12.38)

Таким образом, при изгибе с кручением в поперечных сечениях в одной и той же точке, наиболее удаленной от центра тяжести сечения, одновременно возникают максимальные нормальные и максимальные касательные напряжения. На рис.12.28,г показано, как действуют эти напряжения в точке D, на рис.12.28,д – то же для точки К.

Напряженное состояние приведенное на рисунках 12.28,в и 12.28,д является сложным. Принцип простого суммирования напряжений в этом случае неприменим. Поэтому изгиб с кручением и относится ко второй группе видов сложного сопротивления. Для оценки прочности в случае возникновения сложного напряженного состояния применяются теории прочности.

В данном случае при изгибе с кручением в опасном поперечном сечении С возникает плоское напряженное состояния. Применим для оценки прочности третью теорию прочности – теорию наибольших касательных напряжений. Расчетные или эквивалентные напряжения вычислим по формуле (10.33):

Подставим в приведенную формулу максимальные нормальные и касательные напряжения (12.37), 12.38). Получим:

. (12.39)

При выводе формулы (12.39) принималось для круглого сечения . Это условие после несложных преобразований можно получить из условия инвариантности суммы моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей (4.34).

Буквой в формуле (12.39) обозначен так называемый приведенный момент, который в соответствии с третьей теорией прочности имеет вид:

. (12.40)

В соответствии с четвертой (энергетической) теорией прочности приведенный момент записывается следующим образом:

. (12.40)

Следует отметить, что сложение моментов под корнем при вычислении приведенного момента не несет никакого физического смысла. Это все лишь результат применения той или иной теории прочности.

Рассмотрим несколько примеров расчета элементов конструкций, испытывающих изгиб с кручением.

Пример 12.10. Полый стальной вал, внутренний диаметр которого составляет 0,6 наружного , в опасном сечении подвергается действию изгибающего момента кНм и крутящего момента кНм. Определить наружный и внутренний диаметры вала при допускаемом напряжении МПа. Использовать теорию наибольших касательных напряжений.

Решение:

1. По формуле (12.39) найдем приведенный момент по третьей теории прочности:

кНм.

2. Из условия прочности (12.38) определяем требуемый момент сопротивления сечения:

см³.

3. Обозначим отношение внутреннего диаметра к внешнему буквой и составим выражение для осевого момента сопротивления поперечного сечения вала:

Откуда находим внешний диаметр сечения

см мм.

4. Определяем внутренний диаметр вала мм.

Пример 12.11. Определить наибольшее расчетное напряжение в стальном стержне АВ круглого поперечного сечения диаметром мм, нагруженном двумя одинаковыми грузами кН, приложенными, как указано на рис. 12.29,а. Чему будет равно наибольшее расчетное напряжение в стержне, если один из грузов будет снят? Использовать четвертую теорию прочности.

Рис.12.29

Решение:

1. Найдем расчетные напряжения в стержне АВ для случая, когда оба груза действуют на стержень. Для этого составим расчетную схему. Грузы одинаковые и симметрично приложены, действуют в одном направлении. Следовательно, стержень АВ испытывает плоский поперечный изгиб. Расчетная схема стержня приведена на рис.12.29,б. Эпюра изгибающих моментов приведена на рис.12.29,в, из которой видно, что опасным сечением является сечение В. Максимальное напряжение в этом сечении найдем по формуле

МПа.

Это напряжение и будет расчетным.

2. Снимем левый груз (Рис.12.30,а). В этом случае стержень АВ будет изгибаться силой кН и одновременно скручиваться моментом кНм. Расчетная схема представлениа на рис.12.30,б.

Раскладываем сложный вид деформации на два простых. Вначале нагружаем стержень АВ силой (Рис.12.30,в) и строим эпюру изгибающих моментов (Рис.12.30,г). Затем нагружаем стержень АВ внешним моментом и строим эпюру крутящих моментов (Рис.12.30,е).

3. Анализируя эпюры изгибающих моментов и крутящих моментов, устанавливаем опасное сечение. Таким сечением является сечение В: кНм; кНм

Рис.12.30

4. Определяем приведенный момент, используя четвертую теорию прочности:

кНм

и определяем расчетные напряжения

МПа.

Пример 12.12. Из условия прочности по теории наибольших касательных напряжений определить наибольшую допускаемую величину груза , которую можно поднять при помощи ворота (Рис.12.31,а). Вал ворота круглого поперечного сечения диаметром мм. Допускаемое напряжение для материала вала МПа.

Решение:

1. Составим расчетную схему (Рис.12.31,б). Из расчетной схемы следует, что вал испытывает деформацию изгиба от силы и кручение от момента . В связи с этим раскладываем сложный вид сопротивления на два простых – плоский поперечный изгиб и кручение.

2. Изображаем вал как балку (Рис.12.31,в), нагружаем ее силой посредине пролета и строим эпюру изгибающих моментов (Рис.12.31,г). Максимальный изгибающий момент возникает в сечении В.

Рис.12.31

3. Изображаем вал и нагружаем его только внешними моментами (Рис.12.31,д) и строим эпюру крутящих моментов (Рис.12.31,е). Крутящий момент имеет постоянную величину и действует только на участке вала АВ.

4. Определяем опасное сечение. Из эпюр изгибающих и крутящих моментов следует, что опасным сечением является сечение В: ; .

5. Вычисляем приведенный момент для опасного сечения, используя третью теорию прочности:

6. Из условия прочности по третьей теории находим максимальную допускаемую величину груза :

, откуда кН.

12.9. Кручение с растяжением. Общий случай изгиба, растяжения и кручения

При этом виде сложного сопротивления также возникает в опасных точках сечения элементов конструкций сложное напряженное состояние. В связи с этим этот вид деформации можно также отнести ко второй группе видов сложного сопротивления. Так же, как и при изгибе с кручением оценку прочности производят с применением теорий прочности. Однако, в отличие от изгиба с кручением при кручении с растяжением приведенный момент не вычисляют, так как нормальные напряжения, возникающие в сечении элемента конструкции, вычисляются по иной формуле ( ). В связи с этим несколько меняется методика определения расчетных напряжений. Так же, как при изгибе с кручением, сложный вид деформации раскладывается на ряд простых – растяжение и кручение. Для каждого из этих видов деформации строятся эпюры распределения внутренних силовых факторов, отыскивается опасное сечение и для опасных точек сечения находятся нормальные и касательные напряжения от каждого внутреннего силового фактора в отдельности и подставляются непосредственно в выражения для расчетных напряжений. Например, при использовании теории наибольших касательных напряжений формула для расчетных напряжений принимает вид:

. (12.41)

По четвертой теории прочности эта формула имеет вид:

. (12.41)

Приведенные выше формулы удобно использовать при решении задачи проверки напряжений, когда известны значения внутренних силовых факторов и . Решение задачи проектировочного расчета, когда размеры поперечного сечения неизвестны, приходится либо заранее задаваться значениями размеров сечения при известной его форме, либо поступать так, как поступают при внецентренном растяжении или сжатии: пренебрегают влиянием одного из внутренних силовых факторов, например, продольной силы. Затем вычисляют размеры поперечного сечения, берут несколько завышенные результаты, а затем по формулам (12.40), (12.41) выполняют проверку напряжений.

Еще сложнее является задача определение величины допускаемой нагрузки, так как в отличие от изгиба с кручением при этом виде деформации внутренние силовые факторы вызываются разными внешними силами.

Таким образом, мы рассмотрели расчет элементов конструкций и деталей машин, испытывающих сложное сопротивление различных видов, принадлежащих двум группам: первой группе, когда в опасных точках поперечного сечения возникает линейное напряженное состояние и применим принцип прямого суммирования напряжений, вызванных разными силовыми факторами (пространственный и косой изгиб, изгиб с растяжением и сжатием, внецентренное растяжение и сжатие), и второй, когда в опасных точках сечения возникает сложное напряженное состояние, и для оценки прочности необходимо применять теории прочности (изгиб с кручением, кручение с растяжением). В обоих случаях сложный вид деформации раскладывается на ряд простых, в обоих случаях строятся эпюры распределения внутренних силовых факторов и находится опасное сечение, определяются опасные точки и напряжения в этих точках от каждого из внутренних силовых факторов в отдельности. И только на последнем этапе получения расчетных напряжений методики расчета отличаются способом оценки прочности.

Кроме рассмотренных выше видов сложного сопротивления существует общий случай совместного действия изгиба, растяжения и кручения, когда в поперечных сечениях элемента конструкции возникают все шесть внутренних силовых факторов. Опасных точек в этом случае может быть несколько (Рис.12.32).

Рис.12.32

На рис.12.32,а приведен общий случай изгиба, растяжения и кручения стержня прямоугольного поперечного сечения. Опасных точек здесь две: точка А и точка С. В точке А возникает линейное напряженное состояние (Рис.12.32,б). Условие прочности принимает вид (12.6).

В точке С возникают плоское напряженное состояние (Рис.12.32,в). Максимальные касательные напряжения действуют в точке С и могут быть найдены с помощью формулы (11.44), нормальные напряжения в точке С можно определить с помощью формулы (12.2). Оценку прочности в точке С можно выполнить с применением теории наибольших касательных напряжений и энергетической теории, подставляя найденные в точке С нормальные и касательные напряжения непосредственно в формулы (12.41) или (12.42).

12.10. Тесты к теме №12 “Сложное сопротивление”»

№	Вопрос	Время на ответ, сек
1	Какой вид деформации в сопротивлении материалов називается сложным?	30
	1. Сложным с точки зрения расчетной процедуры.
	2. Сложный с точки зрения создания расчетной схемы.
	3. Сложный с точки зрения собирания нагрузок.
	4. Сложный с точки зрения комбинации разных простых видов деформации.
2	Какой из перечисленных видов деформации является простым?	30
	1. Изгиб с кручением.
	2. Внецентренное растяжение.
	3. Косой изгиб.
	4. Растяжение (сжатие).
	5. Растяжение с изгибом.
3	Какой принцип используют при расчете элементов конструкций и деталей машин при сложном сопротивлении?	30
	1. Принцип Сен-Венана.
	2. Принцип Даламбера.
	3. Принцип суперпозиции.
	4. Принцип возможных перермещений.
4	Какой вид деформации называется пространственным изгибом? Если силы и моменты, действующие на балку:	30
	1. Лежат в плоскости симметрии балки.
	2. Лежат в одной силовой плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей.
	3. Лежат в разных плоскостях, проходящих через ось балки.
	4. Лежат в плоскости, не проходящей через ось балки.
5	Що определяют при пространственном изгибе с помощью формулы	30
	1. Касательные напряжения.
	2. Относительные деформации.
	3. Нормальные напряжения.
	4. Перемещения.
6	Что при пространственном изгибе представляет собой выражение:	30
	1. Уравнение Эйлера.
	2. Уравнение Ламе.
	3. Уравнение Лапласа.
	4. Уравнение нулевой линии.
7	Какой вид деформации называется плоским косым изгибом? Если силы и моменты, действующие на балку:	30
	1. Лежат в разных плоскостях, не проходящих через ось балки.
	2. Лежат в плоскости, не проходящей через ось балки.
	3. Лежат в плоскости симметрии балки, проходящей через ось балки.
	4. Лежат в одной силовой плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей.
8	Через какие из четвертей поперечного сечения пройдет нулевая линия для сечения, изображенного на рисунке:	30
	1. Первую и третью четверти (1-3).
	2. Вторую и четвертую четверти (2-4).
	3. Вторую и третью четверти (2-3).
	4. Первую и четвертую четверти (1-4).
9	Какое из уравнений следует использовать при косом изгибе для определения положения нулевой линии?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
10	Что определяют при плоском косом изгибе с помощью формулы:	30
	1. Касательные напряжения
	2. Нормальные напряжения.
	3. Перемещения сечений.
	4. Деформации.
11	Что в определении для нулевой линии при плоском косом изгибе является неправильным?	30
	1. Нулевая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения.
	2. Нулевая линия является прямой линией.
	3. Нулевая линия никогда не проходит через те четверти координат, которым принадлежит след силовой плоскости.
	4. Нулевая линия всегда перпендикулярна следу силовой плоскости.
12	При какой форме поперечного сечения балка не испытывает деформации изгиба ?	30
	1. Прямоугольное сечение.
	2. Двутавровое сечение.
	3. Квадратное сечение.
	4. Корытное сечение.
13	Определить положение нулевой линии (найти угол в градусах) для поперечного сечения, изображенного на рисунке при плоском косом изгибе.	240
14	Определить нормальное напряжение (в МПа) в точке А поперечного сечения балки при косом изгибе, если изгибающий момент кНм. Координаты точки А: см; см.	300
15	Что определяют при косом изгибе с помощью выражения?	40
	1. Нормальное напряжение.
	2. Полное перемещение сечения балки.
	3. Проекцию полного вектора перемещений сечения на ось .
	4. Проекцию полного вектора перемещений сечения на ось .
16	Что определяют при косом изгибе с помощью выражения?	40
	1. Нормальное напряжение.
	2. Полное перемещение сечения балки.
	3. Проекцию полного вектора перемещений сечения на ось .
	4. Проекцию полного вектора перемещений сечения на ось .
17	Каким образом ориентирован след плоскости изгиба по отношению к нулевой линии поперечного сечения при плоском косом изгибе при ?	30
	1. Совпадает с нулевой линией.
	2. Составляет с нулевой линией тупой угол.
	3. Составляет с нулевой линией прямой угол.
	4. Составляет с нулевой линией острый угол.
18	С помощью какого из выражений можно определить при плоскому косом изгибе угол наклона следа плоскости изгиба к оси ?	40
	1.
	2.
	3.
	4.
19	В результате изгиба балки центр тяжести сечения переместился в указанном направлении ( с осью ). Определить положение плоскости действия внешних сил (угол с осью ).	300
20	Определить полный прогиб (в см) балки в сечении А при плоском косом изгибе. Материал балки – сталь с модулем упругости МПа. Размеры поперечного сечения і угол наклона силовой плоскости приведены на рисунке.	360
21	Какой вид деформации называется внецентренным растяжением (сжатием)? Если равнодействующая сил, приложенных к стержню:	30
	1. Совпадает с продольной осью стержня.
	2. Действует параллельно продольной оси стержня.
	3. Пересекает продольную ось стержня под острым углом.
	4. Пересекает продольную ось стержня под прямым углом.
22	Какое напряженное состояние возникает при внецентренном растяжении (сжатии)?	30
	1. Плоское.
	2. Линейное.
	3. Объемное.
23	Какой вид деформации возникает при внецентренном растяжении (сжатии)?	30
	1. Чисты сдвиг.
	2. Чистый изгиб.
	3. Изгиб с растяжением.
	4. Изгиб с кручением.
	5. Растяжение с кручением.
24	Что определяют при внецентренном растяжении (сжатии) с помощью выражения:	30
	1. Потенциальную энергию деформации.
	2. Перемещения поперечных сечений.
	3. Нормальные напряжения в точках поперечного сечения.
	4. Касательные напряжения в точках поперечного сечения.
25	Что в определении нулевой линии при внецентренном растяжении (сжатии) является неверным?	30
	1. Нулевая линия – прямая линия.
	2. Нулевая линия не проходит через центр тяжести поперечного сечения. .
	3. Нулевая линия никогда не проходит через четверть координат, которой принадлежит точка приложения равнодействующей внешних сил.
	4. Нулевая линия всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения.
26	Какой вид принимает нулевая линия сечения при внецентренном растяжении (сжатии)?	40
	1.
	2.
	3.
	4.
27	Як должна пройти нулевая линия при внецентренном растяжении поперечного сечения, изображенного на рисунке? Растягивающая сила, приложена в точке А.	60
	1.
	2.
	3.
	4.
28	Как пройдет нулевая линия при внецентренном растяжении, если растягивающая сила, лежит в точке А на оси ?	40
	1. Через центр тяжести сечения.
	2. Под острым углом к оси .
	3. Параллельно осі .
	4. Параллельно осі .
29	Для каких фигур при внецентренном растяжении (сжатии) удобно использовать условие прочности в виде:	40
	1. Для фигури произвольной формы.
	2. Для фигури, которая вписывается в треугольник.
	3. Для фигуры с круглым поперечным сечением.
	4. Для фигуры, которая вписывается в прямоугольник.
30	Две одинаковые по величине силы приложены в точках А и B сечения, приведенного на рисунке. Как изменятся максимальные напряжения в сечении, если одну из этих сил убрать?	300
	1. Не изменятся.
	2. Увеличатся в 2 раза.
	3. Увеличатся в 4 раза.
	4. Уменьшатся в 2 раза.
	5. Уменьшатся в 4 раза.
31	Нормальное напряжение в точке А сжатого бруса равно 10МПа (растяжение), а напряжения в точкен В равно нулю. Чему равно напряжение в точке С?	240
32	Что такое ядро сечений при внецентренном растяжении и сжатии?	30
	1. Зона решительных действий.
	2. Зона вокруг точки приложения растягивающей или сжимающей силы.
	3. Зона вокруг центра тяжести поперечного сечения стержня.
	4. Зона вокруг точки, в которой якій действуют максимальные напряжения.
33	Что означает принадлежность растягивающей или сжимающей силы ядру сечений при внецентренном растяжении и сжатии?
	1. Равенство нулю напряжений в поперечном сечении.
	2. Равенство знака напряжений в пределах всего поперечного сечения.
	3. Отличие знаков напряжений в пределах поперечного сечения.
	4. Оязательное равенство напряжений в сечении.
34	Как ведет себя нулевая линия при внецентренном растяжении и сжатии, если сила находиться в середине ядра сечения?	30
	1. Проходит через центр тяжести сечения.
	2. Находиться вне сечения.
	3. Пересекает сечение.
	4. Касается сечения.
35	Как ведет себя нулевая линия при внецентренном растяжении и сжатии, если точка приложения силы лежит на границе ядра сечения?	30
	1. Проходит через центр тяжести сечения.
	2. Находиться вне сечения.
	3. Пересекает сечение.
	4. Касается сечения.
36	Какой вид приобретает ядро сечения для поперечного сечения прямоугольной формы?	40
	1.
	2.
	3.
	4.
37	Какие внутренние силовые факторы возникают при изгибе с кручением?	30
	1. Поперечная сила и изгибающий момент.
	2. Крутящий момент и прдольная сила.
	3. Поперечная сила и продольная сила.
	4. Крутящий момент и изгибающий момент.
38	Какое напряженное состояние возникает при изгибе с кручением?	30
	1. Плоское.
	2. Объемное.
	3. Линейное.
39	Какой из элементов приведенной на рисунке конструкции испытывает деформацию изгиба с кручением?	90
	1. Элемент конструкции ВС.
	2. Элемент конструкции АВ.
	3. Элемент конструкции СD.
40	Какой метод при изгибе с кручением используют для создания расчетной схемы?	30
	1. Метод моментных точек.
	2. Метод независимости действия сил.
	3. Метод сил.
	4. Метод Мора-Симпсона.
41	Какая из теорий прочности была использована при формулировке условия прочности при изгибе с кручением для валов?	30
	1. Теория наибольших касательных напряжений.
	2. Теория наибольших линейных деформаций.
	3. Энергетическая теория прочности.
	4. Теория наибольших нормальных напряжений.
42	Какая из теорий прочности была использована при формулировке условия прочности при изгибе с кручением для валов?	30
	1. Теория наибольших касательных напряжений.
	2. Теория наибольших линейных деформаций.
	3. Энергетическая теория прочности.
	4.Теория прочности Мора.
43	С помощью какой из теорий прочности при изгибе с кручением валов определяется приведенный момент в виде	40
	1. Теория наибольших касательных напряжений.
	2. Теория наибольших линейных деформаций.
	3. Энергетическая теория прочности.
	4.Теория прочности Мора.
44	В сколько раз изменится наибольшее расчетное напряжение в стержне АВ круглого поперечного сечения диаметром см, если один из грузов снять? Использовать III теорию прочности.	300

Смотрите также файлы

Тема 11.doc

1 тест.docx

Все в одном тест 2.docx

Ответы к 2 тесту.docx

Ответы к 1 тесту.docx

Файл: Тема 12.doc

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно