Файл: Metod_2_text.doc

ЗМІСТ

ВСТУП 4

ОСНОВНІ ПИТАННЯ ПРОГРАМИ ДИСЦИПЛІНИ ЗА ТЕМОЮ

«АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА В ПРОСТОРІ» 4

ОРІЄНТОВНИЙ ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДСУМКОВОГО

КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ 5

1. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ 5

1.1. Декартова прямокутна система координат на площині 5

1.2. Полярна система координат 7

1.3. Пряма лінія на площині 8

1.4. Криві другого порядку 10

2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ 13

2.1. Площина у просторі 13

2.2. Пряма у просторі 15

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ 18

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 20

Додаток

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ЗА ТЕМОЮ

«АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА В ПРОСТОРІ» 21

Вступ

Методичні вказівки відповідають програмі курсу «Вища математика» для студентів технологічних спеціальностей та можуть бути використані при виконанні індивідуальних завдань за темою «Аналітична геометрія на площині та в просторі».

Особливістю видання є наявність завдань для тетраместрових індивідуальних робіт у кількості, достатній для академічних груп.

Дані методичні вказівки є довідковим матеріалом. Вони містять визначення, формули, деякі теоретичні відомості. Мета роботи – надати в невеликому за обсягом довіднику деякі відомості з вищої математики, необхідні при вивченні теми «Елементи аналітичної геометрії на площині та у просторі».

Слід мати на увазі, що це – не навчальна книга, не конспект лекцій, а короткий довідковий матеріал, який не може замінити вивчення лекційного матеріалу та навчальної літератури.

Кожен розділ видання, охоплюючи ту чи іншу тему, містить необхідні теоретичні положення.

Перед розв’язуванням задач необхідно вивчити відповідні розділи теоретичного матеріалу.

Основні питання Програми дисципліни за темою «Аналітична геометрія на площині та в просторі»

ОРІЄНТОВНИЙ ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДЛЯ ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

1. Декартова прямокутна та полярна системи координат. Зв'язок між ними.

2. Перетворення координат.

3. Відстань між двома точками на площині. Поділ відрізка в заданому відношенні.

4. Способи завдання прямої лінії на площині.

5. Загальне рівняння прямої, його дослідження. Пряма, що проходить через дві точки. Рівняння прямої у відрізках.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Пучок прямих. Нормальне рівняння прямої.

7. Кут між прямими на площині, умови паралельності та перпендикулярності прямих.

8. Відстань від точки до прямої.

9. Полярні параметри прямої. Нормальне рівняння прямої.

10. Коло. Рівняння кола.

11. Еліпс. Канонічне рівняння еліпса.

12. Канонічне рівняння гіперболи. Асимптоти гіперболи. Рівнобічна гіпербола.

13. Канонічне рівняння параболи.

14. Ексцентриситет і фокальні радіуси еліпса та гіперболи. Загальна властивість кривих другого порядку.

15. Загальне рівняння площини. Кут між площинами. Умова паралельності та перпендикулярності площин.

16. Нормальне рівняння площини. Рівняння площини, що проходить через три точки.

17. Відстань від точки до площини. Рівняння пучка площин.

18. Канонічне рівняння прямої в просторі. Кут між прямими. Умова паралельності та перпендикулярності прямих у просторі.

19. Кут між прямою та площиною. Умова паралельності та перпендикулярності прямої та площини.

1. аналітична геометрія на площині

1.1. Декартова прямокутна система координат на площині

Координатами точки називаються числа, взяті в певному порядку, які визначають положення точки на прямій, на площині, у просторі або на поверхні. Найчастіше використовують декартові координати.

Декартова прямокутна система координат на площині – це дві взаємно перпендикулярні координатні осі і з обраною одиницею масштабу. Положення точки в системі задається парою чисел ,  .

	Відстань між двома точками і :
М	Поділ відрізка в заданому відношенні : ; . Координати середини відрізка (при ): ;
	Площа трикутника , де , і – координати його вершин:

1.2. Полярна система координат

Найважливішою після прямокутної системи координат є полярна система координат. Вона задається точкою , яка називається полюсом, і променем , що має початок у полюсі та називається полярною віссю. Задаються також одиниці масштабу: лінійна – для вимірювання довжин відрізків і кутова – для вимірювання кутів.

Розглянемо полярну систему координат і візьмемо на площині довільну точку . Припустимо, що – відстань від точки до точки і – кут, на який треба повернути полярну вісь проти годинникової стрілки, щоб сумістити її з вектором .

Полярними координатами точки називаються числа і . При цьому число вважається першою координатою і називається полярним радіусом, а число – другою координатою і називається полярним кутом. Точка з полярними координатами позначається так: . Очевидно, полярний радіус може набувати довільних невід'ємних значень , полярний кут вважається таким, що змінюється в межах .

Зв’язок між прямокутними декартовими та полярними координатами

Виразимо декартові координати точки через полярні. Вважатимемо, що початок прямокутної системи збігається з полюсом, а вісь – з полярною віссю . Якщо точка має декартові координати і ( ) та полярні і ( ), тоді:

формули переходу від полярних координат до декартових: , , формули переходу від декартових координат до полярних: , .

Зауваження: остання формула дає два значення кута , оскільки він змінюється від до . Із цих двох значень кута треба взяти те, якому задовольняють декартові координати та .

1.3. Пряма лінія на площині

Відстань від точки до прямої:

Взаємне розташування двох прямих на площині

Загальне рівняння	Канонічне рівняння	Рівняння з кутовим коефіцієнтом
:	:	:
:	:	:
1. Умова паралельності двох прямих:
2. Умова перпендикулярності двох прямих:
3. Кут між двома прямими: