информационные технологии.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Методичка

Дисциплина: Информатика

Добавлена: 19.10.2018

Просмотров: 658

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.







Методические указания к выполнению

контрольной работы дисциплины

«информационные технологии»

ГР. АХ-14-ЗП



































Задание 1. Решение задач линейного программирования в MS Excel.


Задачи линейного программирования (ЛП) являются математическими моделями многих практических задач, возникающих в экономике, планировании, управлении и других областях. Кроме того, в ряде случаев решение задачи линейного программирования является этапом решения более сложной задачи оптимизации (например, задачи целочисленного линейного программирования) [1,3,6,7].

Под задачей линейного программирования понимается задача поиска решения , которое удовлетворяет системе линейных равенств или неравенств и на котором достигается максимальное или минимальное значение линейной целевой функции f(x).

Общая постановка задачи ЛП:



где под знаком “#” понимается любой из знаков “≤”, “≥” и “=”, причем в одной задаче ЛП могут встречаться знаки всех трех типов.

Классическим примером содержательной задачи, математической моделью

которой является задача линейного программирования, служит задача оптимального планирования производства.

Для решения задач ЛП малой и средней размерности (десятки и сотни переменных) используются стандартные программные продукты. Для решения задач ЛП большой размерности (тысячи переменных) требуется разработка специального программного обеспечения.

Далее рассмотрим решение задач ЛП в пакетах MathCAD [5] и MS Excel [4] на примере задачи с двумя переменными, которые, без ограничения общности, будем обозначать x и y.


Решение задачи линейного программирования в Microsoft Excel. Рассмотрим решение задачи ЛП

Требуется найти максимум целевой функции


f (x) = 4x + 2y max,


2x + 3y ≤ 18,

-x + 3y ≤ 9,

2x - y ≤ 10,

x 0, y 0.


Сначала выделим ячейки под значения под значения переменных x и y, например, ячейки С3 и С4. Далее в ячейку С6 введем целевую функцию


= 4*С3 + 2*С4.


В ячейки В9 : В11 введем левые части ограничений


= 2*C3 + 3*C4,

= - 1*C3 + 3*C4,

= 2*C3 - 1*C4,


а в ячейки С9 : С11 – правые части ограничений (см. рис.2).


Рис. 2. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения.

После этого выберем в главном меню команду Сервис, Поиск решения. Если в меню Сервис этого пункта нет, нужно установить надстройку. Для этого выберем в меню Сервис пункт Надстройки. В диало­говом окне "Надстройки" нужно найти в списке надстроек "Поиск решения" и установить слева от него флажок. Загрузится Решатель. В дальнейшем при за­пуске Ехсеl Решатель будет загружаться автоматически, пока не будет снят фла­жок в окне "Надстройки".

Заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 3.



Рис. 3. Диалоговое окно Поиск решений.


После нажатия на кнопку Выполнить открывается окно Результаты поиска решения, которое сообщает, что ре­шение найдено (рис. 4).




Рис.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения.


Оптимальное решение находится в ячейках C3 и C4, а оптимальное значение целевой функции – в ячейке C6 (рис. 5).



Рис.5. Результаты решения.


Задачи ЛП в общем случае решаются аналогично в обоих пакетах.


Варианты заданий. Решить задачи ЛП в MS Excel.



1) 3x1 + 4x2max

6x1 + 11x2 ≤ 50

12x1 + 6x2 ≤ 54

6x1 − 3x2 ≥ 15

28x1 + 56x2 ≥ 112

x1, x2 ≥ 0.



2) 8x1 + 2x2max

22x1 + 7x2 ≤ 77

4x1 + 9x2 ≥ 18

15x1 + 10x2 ≤ 60

4x1 + 8x2 ≤ 16

x1, x2 ≥ 0.


3) 15x1 +13x2max

12x1 + 6x2 ≤ 32

8x1 ≤ 9

6x1 +14x2 ≤ 39

4x1 +15x2 ≤ 18

x1, x2 ≥ 0.



4) 12x1 + 4x2max

11x1 + 5x2 ≤ 31

7x1 7

2x1 −16x2 ≥ 6

9x1 + 3x2 ≤ 38

x1, x2 ≥ 0.


5) 7x1 + 6x2max


16x1 − 2x2 ≤ 18

8x1 + 4x2 ≤ 20

13x1 + 3x2 4

x1, x2 ≥ 0.


6) 7x1 + 5x2 → max


4x1 + 4x2 ≤ 26

3x1 − 16x2 ≥ −18

14x1 − 2x2 ≤ 10

18x1 + 16x2 8

x1, x2 ≥ 0.


  1. x1 + 3x2max


3x1 + 16x2 ≤ 32

5x1 + 6x2 ≤ 17

14x1 + 5x2 ≤ 30

4x1 + 4x2 5

x1, x2 ≥ 0.


8) −2x1 → max

5x1 + 5x2 ≤ 39

2x1 + 14x2 ≤ 5

2x1 − 12x2 6

x1 + 10x2 6

x1, x2 ≥ 0.



  1. 4x1 + 7x2max


5x1 + 15x2 ≤ 16

2x1 + 3x2 ≥ −1

x1 + 14x2 ≤ 7

x1 + 4x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0.


  1. 9x1 + 2x2max


11x1 +2x2 ≤ 42

2x1 + 8x2 ≤ 19

14x1 + 6x2 ≤ 38

13x1 + 2x2 ≤ 26

x1, x2 ≥ 0.



11) 3x1 + 5x2max

15x1 + 10x2 ≤ 60

2x1 − 3x2 ≥ 1

28x1 + 56x2 ≥ 112

10x1 + 15x2 ≤ 45

x1, x2 ≥ 0.



12) 2x1 + 11x2max


16x1 + x2 ≤ 19

13x1 + 20x2 ≤ 14

10x1 + 6x2 ≤ 13

6x1 − 3x2 6

x1, x2 ≥ 0.


13) 13x1 + 8x2max


9x1 + 3x2 ≤ 28

9x1 + 8x2 ≤ 35

x1 + 8x2 ≤ 40

2x1 + 7x2 ≤ 20

x1, x2 ≥ 0.



14) 5x1 + 9x2max

8x1 − 5x2 ≤ −3

3x1 + 12x2 ≤ 42

2x1 + x2 ≤ 44

5x2 ≤ 11

x1, x2 ≥ 0.




15) x1 + 6x2max


14x1 + 21x2 ≤ 28

20x1 + 35x2 ≤ 70

12x1 − 9x2 ≥ 12

21x1 + 15x2 ≤ 75

x1, x2 ≥ 0.


16) 2x1 + 3x2max

8x1 + 9x2 ≤ 36

10x1 +14x2 ≥ 12

4x1 + 8x2 ≤ 16

6x1 − 3x2 9

x1, x2 ≥ 0.


17) 2x1 + x2max

14x1 + 10x2 ≤ 23

2x1 + 8x2 ≤ 25

15x1 + 6x2 ≤ 32

18x1 − 5x2 ≤ 26

x1, x2 ≥ 0.


18) 5x1 + 6x2max

13x1 + 5x2 ≤ 18

3x1 + x2 ≤ 4

4x1 + 8x2 ≤ 10

2x1 +11x2 ≥ 6

x1, x2 ≥ 0.


19) 4x1 + x2max

x1 + 5x2 ≤ 6

16x1 + 4x2 ≤ 12

10x1 + x2 ≤ 6

3x1 − 3x2 ≤ 43

x1, x2 ≥ 0.


20) 4x1 + 5x2 → max

9x1 ≤ 15

15x2 ≤ 6

2x1 + 13x2 ≤ 31

2x1 + 3x2 ≤ 39

x1, x2 ≥ 0.



21) 7x1 + 2x2min

3x1 + 12x2 ≤ 30

10x1 + 3x2 ≤ 24

9x1 − 2x2 ≥ 12

11x1 + 24x2 ≥ 48

x1, x2 ≥ 0.


22) 3x1 + 2x2min

2x1 + 7x2 ≤ 17

4x1 + x2 ≥ 8

5x1 + 10x2 ≤ 20

3x1 + 5x2 ≤ 15

x1, x2 ≥ 0.


23) 5x1 + 7x2max

2x1 + 8x2 ≤ 24

6x1 ≤ 9

3x1 +10x2 30

4x1 +12x2 35

x1, x2 ≥ 0.


24) 9x1 + 4x2max

13x1 + 2x2 ≤ 22

4x1 7

4x1 −10x2 5

7x1 + 13x2 ≤ 38

x1, x2 ≥ 0.




25) 2x1 + 6x2max


11x1 − 4x2 ≤ 22

6x1 + 4x2 ≤ 21

3x1 + x2 ≤ 14

x1, x2 ≥ 0.



26) 3x1 + 2x2max


5x1 + 4x2 ≤ 16

3x1 − 10x2 ≥ −11

4x1 − 5x2 ≤ 10

3x1 + 10x2 8

x1, x2 ≥ 0.


27) x1 + 7x2max


2x1 + 13x2 ≤ 26

4x1 + 9x2 ≤ 28

12x1 + 5x2 ≤ 32

x1 + 2x2 5

x1, x2 ≥ 0.


28) 3x1 → max

7x1 + 5x2 ≤ 29

4x1 + 12x2 ≤ 5

2x1 − 9 x2 6

x1 + 13x2 7

x1, x2 ≥ 0.


29) 4x1 + 7x2max


5x1 + 15x2 ≤ 16

2x1 + 3x2 ≥ −1

x1 + 14x2 ≤ 7

x1 + 4x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0.


30) 3x1 + 2x2max


12x1 +7x2 32

4x1 + 8x2 ≤ 15

12x1 + 6x2 ≤ 38

10x1 + 2x2 ≤ 26

x1, x2 ≥ 0.




















Задание 2. Решение транспортной задачи в пакете MS Excel.



Транспортная задача – это задача о минимизации транспортных расходов, связанных с обеспечением пунктов потребления определенным количеством однородной продукции, производимой в нескольких пунктах производства [1, 3, 7]. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом.

Однородный продукт, сосредоточенный в пунктах производства, необходимо распределить между пунктами потребления. Стоимость перевозки единицы продукции известна для всех маршрутов. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были бы минимальными.

Примем следующие обозначения: i – номер пункта производства, j –номер пункта потребления, – количество продукта, имеющееся в i-ом пункте производства, – количество продукта, необходимое для j-го пункта потребления, – стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта производства в j-й пункт потребления, – количество груза, планируемого к перевозке из i-го пункта производства в j-й пункт потребления, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Математическая модель транспортной задачи будет выглядеть следующим образом:


Условия задачи удобно записывать в виде таблицы, которая называется матрицей планирования:

с11 с12 с1n

. . .

сm1 сm2 сmn


a1

am

b1 b2 bn



Рассмотрим решение транспортной задачи в табличном процессоре MS Excel. Так как транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования, то эту задачу можно решать так, как описано выше. Однако благодаря свойствам задачи, ее можно записать в более компактной форме.

Рассмотрим транспортную задачу, матрица планирования которой имеет вид:

Bj

Ai

B1

B2

B3

B4

B5


A1

14

25

18

19

23

33

A2

2

17

16

24

2

25

A3

29

3

7

15

22

25

A4

5

20

17

23

10

17


33

11

11

11

34

bj ai


Для решения транспортной задачи введем данные, как показано на рис.6.



Рис.6. Исходные данные транспортной задачи.


В ячейки B2 : F5 введем стоимость перевозок. Ячейки B8 : F11 отведены под значения объемов перевозок, пока не­известные. В ячейки H8 : H11 введены объемы производства, а в ячейки B13 : F13 - потребности (спрос) в продукции в пунктах потребления.

В ячейку G12 вводится целевая функция



= СУММПРОИЗВ (B2 : F5; B8 : F11) .


В ячейки B12 : F12 вводятся формулы


= СУММ (B8 : B11),

= СУММ (C8 : C11),

= СУММ (D8 : D11),

= СУММ (E8 : E11),

= СУММ (F8 : F11),

определяющие объем продукции, ввозимой в пункты потребления. В ячейки

G8 : G11 введены формулы


= СУММ (B8 : F8),

= СУММ (B9 : F9),

= СУММ (B10 : F10),

= СУММ (B11 : F11),

характеризующие объем продукции, вывозимой из пунктов производства.

Далее выбираем команду Сервис, Поиск решения и заполняем открывшееся диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис.7.