Файл: Двойные углы 3 Sin2X Рассмотрим выражение sin2x представим его аргумент в виде 2xxx и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов.docx

2) Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:AC = xb - xa; BC = yb - ya.
Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB: AB = √AC2 + BC2.

Вопрос 10

Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 числа A и B одновременно не равны нулю.

2). Уравнение прямой с угловым коэффициентом y - yo = k (x - xo),

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo, yo ) - некоторая точка, принадлежащая прямой
3). Уравнение прямой в отрезках x/a + y/b = 1 где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4). Уравнение прямой, проходящей через две данные точки -A(x1, y1) и B(x2, y2): .

5). Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) параллельно данному вектору a(m, n)

6). Нормальное уравнение прямой rnо - р = 0 где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, nо - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Вопрос 12

1)Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле:

2) Прямые, заданные общими уравнениями:

взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда

3) Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M

_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	\|A·M_x + B·M_y + C\|
	√A² + B²

Вопрос 13

Кривой второго порядка называется геометрическое место точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени с двумя неизвестными:

Вопрос 14

1)Дано: эллипс с фокусами и , – большая полуось, – половина расстояния между фокусами.
Возьмем за ось абсцисс прямую , а точку поместим на середине отрезка . Пусть – произвольная точка плоскости. Пусть , .
По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда . (7)
Координаты фокусов равны соответственно , , следовательно

.

Подставим и в (7):

= . (8)

(8) – уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду

и возведем в квадрат обе части уравнения:

;

; возведем в квадрат еще раз:

;

.

Обозначим , получим

.
После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:

. (9)
Эллипс, определяемый уравнением

, симметричен относительно и . - центр эллипса, и - большая и малая полуоси эллипса. При получаем - уравнение окружности.
Определение. Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси: . (10)
Так как , следовательно < 1. , следовательно,

.
Определение. Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называется директрисами эллипса. Их уравнения: и . Так как , следовательно, .
2) 1. Эллипс – фигура ограниченная. Координаты точек эллипса ограничены неравенствами:

. Это означает, что фигура эллипс есть ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами

.

Если точка эллипса принадлежит оси

, то она имеет координаты

. Если точка эллипса принадлежит оси

, то она имеет координаты

. Значит, неравенства, определяющие эллипс, имеют вид:

.

2.Эллипс – фигура симметричная. В уравнение входят только чётные степени координат. Значит, эллипс есть линия, симметричная относительно осей координат и начала координат. Ось, проходящая через фокусы эллипса, называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии. Поэтому для исследования эллипса его достаточно рассмотреть в I четверти.
Для I четверти получаем, что