Файл: Двойные углы 3 Sin2X Рассмотрим выражение sin2x представим его аргумент в виде 2xxx и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов.docx

 – полуоси эллипса, причём  – большие полуоси;   – малые полуоси.
4. Когда фокусы эллипса расположены на оси  , имеем, что  . Когда фокусы располагаются на оси  ,  , тогда  .
Определение 9.3. Фокальными радиусами точки  , принадлежащей эллипсу, называются отрезки, соединяющие эту точку с фокусами   и  . Для каждой точки эллипса существует два фокальных радиуса. Обозначаются:  ,
.

---

Вопрос 15

ведем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы гиперболы
лежат на оси Ох, причем  - середина отрезка  , тогда т. е. Пусть – произвольная точка гиперболы. Величины –фокальные радиусыточки М гиперболы.(чертеж 17.)

По определению гиперболы: , отсюда где

Следовательно, уравнение  имеет вид: (7)

Умножим равенство (7) на  , получим:

Сложим уравнения (7) и (8), получим: (9)

Возведем (9) в квадрат: следовательно, имеем:

Пусть  так как

---

, отсюда имеем уравнение:  (10) где (10) каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

Соответственно, уравнение   где  каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы

4)Исследование свойств гиперболы по ее уравнению 1) Пересечение гиперболы с осями координат:
Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей: правой и левой, простирающихся в бесконечность.
В уравнении (12) положим, что y=0, получим:  отсюда . Следовательно, точки являются точками пересечения гиперболы с осью (чертеж 18.).

Положим, что в уравнении (12) х=0, и получим:  , следовательно, уравнение гиперболы не пересекает ось .

ЗАМЕЧАНИЕ: Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с осью (OY), то уравнение гиперболы имеет вид:  . [1.С.107-108]
Определение 3.2. Гиперболы, заданные уравнениями   и 

---

, называются сопряженными гиперболами.

Определение 3.3. Если a=b, гипербола называется равносторонней.

2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:

Пусть  принадлежит гиперболе, то есть верное равенство. Точка симметрична точке относительно оси ОХ:



- верное равенство. Следовательно,  принадлежит гиперболе, следовательно, гипербола симметрична относительно ОХ.

Точка  симметрична точке относительно оси ОУ, следовательно, гипербола симметрична относительно оси ОУ.

Точка  симметрична точке относительно О (центра), отсюда следует, что гипербола симметрична относительно начала координат. [1.С.108]

---

Вопрос 16

Асимптота: Текущая точка гиперболы при движении по ней в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, которая называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения: и  ,

Пусть  текущая точка гиперболы, ее проекция на ось абсцисс. Прямая пересекает прямую , заданную указанным уравнением в точке . Докажем: что при .

Доказательство: .Расстояние  это ордината точки , лежащей на прямой . Она равна . Расстояние э
то ордината точки гиперболы, которую находим из её канонического уравнения: Тогда
Умножим и разделим равенство (13) на ( ),следовательно, получим:

При  знаменатель дроби неограниченно увеличивается, следовательно, дробь стремится к нулю.

- уравнение гиперболы,
в которой  а

---