Файл: Начало открытий 3 Первые математические работы 9.docx

Содержание

Введение

Сэр Исаак Ньютон (1642 — 1727) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.

Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного фермера, родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир), в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился преждевременно, был болезненным, поэтому его долго не решались крестить. И всё же он выжил, был крещён, и назван Исааком в честь покойного отца. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы. Несмотря на слабое здоровье в младенчестве, он прожил 84 года.

В детстве Ньютон, по отзывам современников, был молчалив, замкнут и обособлен, любил читать и мастерить технические игрушки: солнечные и водяные часы, мельницу и т. п. Всю жизнь он чувствовал себя одиноким. В июне 1661 года 18-летний Ньютон приехал в Кембридж. Согласно уставу, ему устроили экзамен на знание латинского языка, после чего сообщили, что он принят в Тринити-колледж Кембриджского университета. С этим учебным заведением связаны более 30 лет жизни Ньютона. В эти годы окончательно сложился характер Ньютона — стремление дойти до сути, нетерпимость к обману, клевете и угнетению, равнодушие к публичной славе. У него по-прежнему не было друзей.

Начало открытий

В 23 года Ньютон уже свободно владел базовыми методами дифференциального и интегрального исчислений, включая разложение функций в ряды и то, что впоследствии было названо формулой Ньютона-Лейбница. Проведя ряд остроумных оптических экспериментов, он доказал, что белый цвет есть смесь цветов спектра. Позже Ньютон вспоминал об этих годах: «В начале 1665 года я нашёл метод приближённых рядов и правило превращения любой степени двучлена в такой ряд в ноябре получил прямой метод флюксий; в январе следующего года я получил теорию цветов, а в мае приступил к обратному методу флюксий. В это время я переживал лучшую пору своей юности и больше интересовался математикой и философией, чем когда бы то ни было впоследствии».

---

Но самым значительным его открытием в эти годы стал закон всемирного тяготения. Позднее, в 1686 году, Ньютон писал Галлею: «В бумагах, написанных более 15 лет тому назад (точно привести дату я не могу, но, во всяком случае, это было перед началом моей переписки с Ольденбургом), я выразил обратную квадратичную пропорциональность тяготения планет к Солнцу в зависимости от расстояния и вычислил правильное отношение земной тяжести. Луны к центру Земли, хотя и не совсем точно». Неточность, упомянутая Ньютоном, вызвана тем, что размеры Земли и величину ускорения свободного падения Ньютон взял из «Механики» Галилея, где они приведены со значительной погрешностью. Позднее Ньютон получил более точные данные Пикара и окончательно убедился в истинности своей теории.

Общеизвестна легенда о том, что закон тяготения Ньютон открыл, наблюдая падение яблока с ветки дерева. Впервые «яблоко Ньютона» мельком упомянул биограф Ньютона Уильям Стьюкли (книга «Воспоминания о жизни Ньютона», 1752 год): «После обеда установилась тёплая погода, мы вышли в сад и пили чай в тени яблонь. Он (Ньютон) сказал мне, что мысль о гравитации пришла ему в голову, когда он точно так же сидел под деревом. Он находился в созерцательном настроении, когда неожиданно с ветки упало яблоко. «Почему яблоки всегда падают перпендикулярно земле?» — подумал он. Популярной легенда стала благодаря Вольтеру. В действительности, как видно по рабочим тетрадям Ньютона, его теория всеобщего тяготения развивалась постепенно. Другой биограф, Генри Пембертон, приводит рассуждения Ньютона (без упоминания яблока) более подробно: «сравнивая периоды нескольких планет и их расстояния до Солнца, он обнаружил, что эта сила должна снижаться в квадратичной пропорциональности с увеличением расстояния». Другими словами, Ньютон обнаружил, что из третьего закона Кеплера, связывающего периоды обращения планет с расстоянием до Солнца, следует именно «формула обратных квадратов» для закона тяготения (в приближении круговых орбит). Окончательную формулировку закона тяготения, вошедшую в учебники, Ньютон выписал позднее, после того, как ему стали ясны законы механики. Эти открытия, а также многие из позднейших, были опубликованы на 20-40 лет позже, чем были сделаны. Ньютон не гнался за славой. Он писал: «Я не вижу ничего желательного в славе, даже если бы я был способен заслужить её. Это, возможно, увеличило бы число моих знакомых, но это как раз то, чего я больше всего стараюсь избегать». Свой первый научный труд (октябрь 1666), излагавший основы анализа, он не стал публиковать; его нашли лишь спустя 300 лет.

---

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИСААКА НЬЮТОНА

Математические дарования, подобно музыкальным, нередко врожденны, проявляются рано и органически определяют склад ума данного человека. Ньютон был таким врожденным математиком.

"Для того чтобы научиться математике, - говорил Фонтенелль в похвальном слове памяти Ньютона в l727 г., - Ньютон не изучал Эвклида, который казался ему слишком ясным, слишком простым, не стоящим затраты времени; он знал его в некотором смысле раньше, чем его прочитал; один взгляд на текст теорем мгновенно создавал и доказательство. Он перешел сразу к таким книгам, как «Геометрия» Декарта и «Оптика» Кеплера. По отношению к Ньютону можно бы применить то, что Лукиан сказал о Ниле, истоки которого были неизвестны древним: «Человеку не позволено видеть Нил слабым и рождающимся»".

В этой пышной фразе XVIII в. есть, конечно, преувеличение и даже ошибки.

Именно Эвклид, классический геометрический метод древних, был основным орудием математических изысканий Ньютона; Ньютон мыслил геометрически, а на полях экземпляра геометрии Декарта сохранилась собственноручная пометка Ньютона: "Это не геометрия". Недавно найден ньютоновский Эвклид, поля которого испещрены заметками и чертежами Ньютона (Приложение 2)

Все основные математические работы Ньютона фактически выполнены до того поворотного периода в девяностых годах, о котором говорилось в предыдущей главе, но в печати появились только после переселения Ньютона в Лондон. При этом опубликование математических работ у Ньютона почти во всех случаях было вынужденным главным образом спорами о приоритете с Лейбницем. Это обстоятельство весьма знаменательно. Становится ясным, что математическая работа для Ньютона имела главным образом вспомогательное значение орудия при физических изысканиях.

Выше упоминалось, что в эпоху создания "Начал" Ньютон охотно называл себя "математиком". Но при этом, надо думать, имелась цель главным образом отграничить физику принципов от физики гипотез. Физика принципов с формальной стороны подобна геометрии и построена чисто математически; физика гипотез, по крайней мере во времена Ньютона (Декарт, Гук), была совершенно далека от математической стройности, и только Гюйгенс в своем "Трактате о свете" сделал первый опыт математической обработки гипотезы (волновая гипотеза). Математика в руках Ньютона была могучим средством синтетического исследования природы. Характерно, что даже самая терминология нового исчисления бесконечно малых, введенная Ньютоном: "флюксия", "флюента" (от слова текущий), "момент", взята из механических образов и в этом смысле значительно конкретнее "дифференциалов" и "интегралов" Лейбница. Характерно также, что в своей "Универсальной арифметике" (Arithmetica Universalis), поясняя текст, Ньютон дает иногда чисто физические задачи. Одна из них вошла во все задачники по физике, хотя происхождение ее и мало кому известно: 

---

"Камень падает в колодец; определить глубину колодца по звуку, происходящему при ударе камня о дно".

Служебная практическая роль математики в руках Ньютона не умаляет, конечно, значения его великих открытий в этой области. Новые запросы физики требовали и новой математики, новых методов. Анализ бесконечно малых был совершенно необходим для разрешения задач новой механики. Физика и математика всегда помогали одна другой, и развитие их часто неразделимо. При этом иногда физика опережала математику, ставя перед ней новые задачи, иногда, наоборот, в математике создавались целые большие разделы и главы "впрок". Физика пользовалась ими, в некоторых случаях много позднее их создания. Так, в XIX в. параллельно теории электромагнитного поля развиваются векторный анализ и теория кватернионов; в наше время, в связи с теорией относительности, стимулы к дальнейшему развитию получили тензорное исчисление и неэвклидова геометрия. Ряд задач оптики, теории газов и т.д. настойчиво требует развития теории интегральных уравнений. Для интерпретации квантовых явлений применена математическая теория групп и т.д. В наше время труд дифференцировался. Физики ставят задачи, математики дают методы их решения. Ньютон одновременно делал и то и другое.

Открытие исчисления бесконечно малых является бесспорно важнейшим фактом в истории математики и человеческой мысли вообще. Классический метод Эвклида, Архимеда, Аполлония и других геометров древности дает возможность устанавливать количественные соотношения между различными переменными величинами в некоторых даже весьма сложных случаях. Однако приемы решения почти в каждой задаче различные; нужно было обладать особым геометрическим гением Архимеда, Ньютона, Пуансо с их неисчерпаемой изобретательностью, чтобы проводить геометрический метод систематически. Великое дело Декарта - создание аналитической геометрии - перекинуло мост между алгеброй и геометрией; одно и то же соотношение при помощи метода координат стало возможным изображать аналитически (в виде формулы) или геометрически. Для решения геометрических задач открылся новый путь и обратно: геометрические задачи можно было свести к аналитическим.

В 1669 г. Ньютон передал на просмотр Барроу мемуар "De analysi per aequationes numero terminorum infinitas" (Об анализе уравнениями бесконечных рядов); главный его предмет - квадратуры. Ньютон вычисляет площадь, описываемую кривой, выражающейся уравнением,

---

y = ax^m/n                 

и находит для площади выражение

an x ^{(m + n)/n} / (m + n)

Квадратура сложных кривых сводится Ньютоном к квадратуре слагаемых; указываются приемы предварительной обработки уравнений сложных кривых путем разложения дробей и корней в степенные ряды и т.д.

Первые математические работы

В 1669 году в Европе стали появляться математические работы, использующие разложения в бесконечные ряды. Хотя по глубине эти открытия не шли ни в какое сравнение с ньютоновскими, Барроу настоял на том, чтобы его ученик зафиксировал свой приоритет в этом вопросе. Ньютон написал краткий, но достаточно полный конспект этой части своих открытий, который назвал «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов». «Анализ» распространился среди специалистов и получил некоторую известность в Англии и за её пределами. В конце 1669 года 26-летний Ньютон был избран профессором математики и оптики Тринити-колледжа, в этот период Ньютон всерьёз увлёкся алхимией, провел массу химических опытов.

Математическими открытиями Ньютона заинтересовался Лейбниц, известный на тот момент как философ и изобретатель. Получив труд Ньютона 1669 года по бесконечным рядам и глубоко его изучив, он далее самостоятельно начинает развивать свою версию анализа. В 1676 году Ньютон и Лейбниц обменялись письмами, в которых Ньютон разъяснил ряд своих методов, ответил на вопросы Лейбница и намекнул на существование ещё более общих методов, пока не опубликованных (имелось в виду общее дифференциальное и интегральное исчисление). Секретарь Королевского общества Генри Ольденбург настойчиво просил Ньютона во славу Англии опубликовать свои математические открытия по анализу, но Ньютон ответил, что уже пять лет как занимается другой темой и не хочет отвлекаться. На очередное письмо Лейбница Ньютон не ответил. Первая краткая публикация по ньютоновскому варианту анализа появилась только в 1693 году, когда вариант Лейбница уже широко распространился по Европе.

Конец 1670-х годов был печален для Ньютона. В мае 1677 года неожиданно умер 47-летний Барроу. Зимой этого же года в доме Ньютона возник сильный пожар, и часть рукописного архива Ньютона сгорела. В сентябре 1677 года умер благоволивший Ньютону секретарь Королевского Общества Ольденбург, и новым секретарём стал Гук, относившийся к Ньютону неприязненно. В 1679 году тяжело заболела мать Анна; Ньютон, оставив все дела, приехал к ней, принимал активное участие в уходе за больной, но состояние матери быстро ухудшалось, и она умерла. Мать и Барроу были в числе немногих людей, скрашивавших одиночество Ньютона.

---