Файл: Проект по направлению Математика Объём и площадь геометрических фигур.docx

Кировское областное государственное общеобразовательное бюджетное учреждение

« Средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов г. Нолинска»

ПРОЕКТ

по направлению: Математика

Объём и площадь геометрических фигур

Тип проекта : исследовательский

Автор проекта: Обухов Александр Класс: 9д Руководитель: Куракина Галина Николаевна, учитель математики и геометрии

г. Нолинск 2023г

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Тема проекта и её актуальность:

В данной работе рассматриваются теоретические основы изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы, а именно, история возникновения и развития геометрических величин, роль и место величин, их измерений в процессе изучения, методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

Цель проекта:

Заключается в описании методики изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

Задачи:

1. Рассмотреть историю развития геометрических величин.

2. Охарактеризовать понятие геометрической величины.

3. Установить роль и место величин, их измерений в процессе

обучения.

4. Описать методику изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы.

---

Этапы работы над проектом:

1. 
   Выбор руководителя проекта.
   
2. 
   Выбор темы проекта.
   
3. 
   Разработка паспорта проекта.
   
4. 
   Анализ источников информации.
   
5. 
   Разработка проекта.
   
6. 
   Разработка заключения.
   
7. 
   Создание электронной презентации.
   
8. 
   Защита проекта.
   

РАЗДЕЛ I.

1 Теоретические основы изучения геометрических величин в средней школе

1.1 История возникновения и развития геометрических величин

Величина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

Задатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще 4—5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов (в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник).

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b , с, d (рис. 1) применялась формула

т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади S равнобедренного тpeyгольника АВС, в котором |АВ| = |АС| , египтяне пользовались приближенной формулой:

Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из А. Вот почему приближенная формула применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Понятие угла на протяжении веков не оставалось без изменений, оно обобщалось и расширялось под влиянием запросов практики и науки. Градусная система измерения углов

---

, в которой за единицу принят угол, равный части угла, соответствующего полному обороту одной стороны угла около его вершины, восходит к III- IIтысячелетиям до н. э., к периоду возникновения шестидесятеричной системы счисления в вавилонской математике.

Шестидесятеричное градусное измерение, как и шестидесятеричные дроби, проникло далеко за пределы ассиро-вавилонского царства и получило широкое распространение в странах Азии, Северной Африки и Западной Европы. Они применялись, в частности, в астрономии и связанной с ней тригонометрии.

Гиппарх, Птолемей и другие древнегреческие астрономы употребляли таблицы, в которых давались величины хорд, соответствующих данным дугам. Хорды (как и дуги) измерялись градусами, минутами и секундами, при этом один градус составлял обычно шестидесятую часть радиуса. Индийцы заимствовали через греков вавилонское градусное измерение дуг, но вместо хорд они измеряли линии синусов и косинусов. Градусным измерением пользовались и ученые стран Ближнего и Среднего Востока, внесшие большой вклад в развитие тригонометрии.

Выдающийся немецкий математик и астроном XVв. Региомонтан отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса, что позволило выражать синусы целыми числами, а не шестидесятеричными дробями. Аналогично поступали и многие последовавшие за ним европейские математики.

Во время буржуазной революции конца XVIII в. во Франции была введена наряду с метрической системой мер и центезимальная (сотенная) система измерения углов, в которой прямой угол делился на 100 градусов, градус- на 100 минут, минута — на 100 секунд. Эта система применяется и поныне в некоторых геодезических измерения, но всеобщего употребления пока не получила.

В связи с возникновением и развитием теории пределов и математического анализа с целью придать многим формулам возможно более простой вид в тригонометрии ввели радианное измерение дуг и углов. Термин «радиан» происходит от латинского radius — радиус.

Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов и площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

---

Среди замечательных греческих ученых V—IV вв. до н. э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.

Евклид не применяет термина «объем». Для него термин «куб», например, означает и объем куба. В XI книге «Начал» изложены среди других и теоремы, следующего содержания.

1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.
В процессе обучения геометрии, можно выделить некоторые конкретные направления использования измерений.

Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире.

Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величин или просто числами. Однако, как указывал академик А.Н. Колмогоров, "… более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии. "

Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время; оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, Н.Я. Виленкин замечает: «Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики». Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.

Между различными свойствами объектов и явлений окружающей действительности существуют определенные связи, часть из которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами.

---

Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т.е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно.

Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике.

Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира.

В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами.

Известно, что не каждое свойство объектов, явлений можно измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.). Иногда такие понятия также называют величинами, но в отличие от привычных — величинами латентными. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Если говорят, что этот человек более волевой, чем другой, то о степени качества «воля» судят только через систему поступков, поведение человека. В этих случаях говорят об условных значениях величии или об условных мерах. Оценивать такие величины числами представляется искусственным.

Сложение, вычитание и другие арифметические действия с латентными величинами производить нельзя, так как не может быть установлено взаимно-однозначное соответствие между их множеством и множеством действительных чисел.

На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение для формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.

Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о:

· понятии величины, способах ее измерения;

· роли и месте величин в познании природы;

· свойствах величины, ее видах;

· сути математической обработки результатов измерений и т.д.

Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения. Изучая величины, учащиеся знакомятся также с основными метрологическими понятиями: размер, значение, размерность величины, эталоны единиц измерения и т.д.

---