Файл: Шпоры переделан.docx

Сечения дерева специально выбирать не надо. Уравнения для сечений получаются из М-матрицы, для построе­ния которой сечения не привлекаются.

Количество топологических уравнений равно количеству вет­вей эквивалентной схемы.

15. Метод конечных элементов

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом от­ношении метод относится к группе вариационно-разност­ных. Строгое доказательство таких важных свойств, как устойчивость, сходимость и точность метода, проводится в соответствующих разделах математики и часто пред­ставляет собой непростую проблему.

Тем не менее МКЭ активно развивается, с его помощью без строгого математиче­ского обоснования используемых приемов успешно решаются слож­ные технические проблемы. Пра­вильность же работы созданных алгоритмов и программ, реализу­ющих МКЭ, проверяют на извест­ных точных решениях. Начав раз­виваться как метод решения задач строительной механики, МКЭ быстро завоевал такие сферы ин­женерной деятельности, как про­ектирование самолетов и автомобилей, космических ракет, тепловых и электродвигате­лем, турбин, теплообменных аппаратов и др.

К основным преимуществам МКЭ относят доступ­ность и простоту его понимания и применимость метода для задач с произвольной формой области решения, возможность создания на основе метода высококаче­ственных универсальных программ для ЭВМ.

В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравно­мерной, на отдельные подобласти — конечные элементы. Искомая непрерывная функция аппроксимируется ку­сочно-непрерывной, определенной на множестве конеч­ных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей ис­пользуются полиномы, которые подбираются так, чтобы Обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов.

16. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей исторически начал развиваться раньше МКЭ и является старейшим методом решения краевых задач.

Алгоритм МКР состоит из этапов, традиционных для метода сеток:

Этап 1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка, задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются приближенные значения φ_h искомой функции φ. Совокупность узловых значений φ_h называют сеточной функцией.

Этап 2. Замена дифференциального оператора в исходном дифференциальном уравнении разностным аналогом L_h , построенным по одной из схем рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция φ аппроксимируется сеточной функцией φ_h.

Этап 3. Решение полученной системы алгебраиче­ских уравнений.

При кажущейся простоте алгоритма МКР его прак­тическая реализация наталкивается на ряд трудностей. Для выяснения их природы целесообразно рассмотреть основные этапы МКР более подробно.

Построение сетки в заданной области. В МКР используются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Примеры построения сеток в МКР даны на рис. 1.15. Для одномерных областей построение сетки мало чем отличается от аналогичной процедуры в МКЭ. Отрезок длиной L разбивается на N частей (рис. 1.15, а). Расстояние между двумя соседними узлами называется шагом сетки при i=l, 2, ..., N.

При регулярной сетке шаг h_i — постоянная вели­чина, равная 1/(N—1), где N — количество узлов сетки.

17. Метод граничных элементов

Метод Граничных Элементов  - это вычислительный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, которые формулируются в виде интегральных уравнениях (граничных интегральных уравнений). Он применяется во многих областях инженерии и науки, включая механику жидкости и газа, акустику, электромагнетизм. МГЭ в определенных случаях оказывается более эффективным в смысле вычислительных ресурсов, чем другие методы, включая Метод Конечных Элементов (МКЭ). В МГЭ рассматривают систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области. Схема дискретизации требует разбиения лишь поверхности, а не всей области (отсюда и название метода), так что область становится одним сложным большим “элементом” (в смысле МКЭ). Очевидно, что дискретизация границы порождает меньшую систему общих уравнений задачи, чем дискретизация всего тела. Таким образом, МГЭ уменьшает размерность исходной задачи на единицу, т. е. для трехмерных задач получаются двумерные граничные элементы на поверхности. Применение МГЭ обычно приводит к плотно заполненным матрицам. Это означает, что требования к ресурсам памяти и время вычисления будут расти пропорционально квадрату размера задачи. В то время как, матрицы в МКЭ более разряжены, так как элементы соединены только локально, и требования к ресурсам памяти растут линейно с ростом размера задач. Техники компрессии, например мультипольное разложение (Быстрый Метод Мультиполей, БММ) могут быть использованы для решения этой проблемы, правда ценой повышения сложности программирования. В Центре МГЭ применяется для развития эффективных вычислительных методов и средств для прямого математического моделирования дисперсных систем. Ускорение вычислений МГЭ достигается применением БММ и использованием графических процессоров. Развиваемые программные продукты способны производить прямое моделирование десятков тысяч капель в потоке эмульсии.

18. Аналогии компонентных уравнений

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:

A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразование энергии в тепловую.

Б. Элемент типа С.

B. Элемент типа L.

На элементах типа С и L происходит накопление по­тенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также ис­точников фазовых переменных может быть получена ММ технического объекта практически любой сложности.

Рассмотрим основные физические подсистемы с точ­ки зрения аналогий компонентных уравнений.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выра­жающих их уравнений оказывается одинаковой.

Электрическая подсистема. Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряже­ния U. Запишем уравнения трех типов простейших эле­ментов:

A. Уравнение сопротивления (закон Ома) I=U/R, где R - электрическое сопротивление.

Б. Уравнение емкости I=C(dU/dt), где С - электри­ческая емкость.

B. Уравнение индуктивности U=L(dI/dt), где L - электрическая индуктивность.

Механическая поступательная подсистема. Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений.

Механическая вращательная подсистема. Фазовые переменные этой подсистемы - моменты сил М и угло­вые скорости ω- соответственно аналоги токов и на­пряжений.

Гидравлическая (пневматическая) подсистема. Фа­зовые переменные гидравлической подсистемы - массо­вые расходы Q_m и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений

Тепловая подсистема. Фазовые переменные этой под­системы - тепловые потоки Ф и температура Т - соот­ветственно аналоги токов и напряжений.

19. Аналогии топологических уравнений

Топологические уравнения в большинстве физиче­ских подсистем базируются на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Рассмотрим аналогии топологических уравнений в различных физических подсистемах по отношению к электрической подсистеме.

Электрическая подсистема. Связи между отдельны­ми элементами этой подсистемы устанавливаются на ос­нове законов Кирхгофа.

Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схе­мы, т. е. = 0 (уравнение равновесия), гдеI_k – ток k-й ветви; р - множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгофа видно, что сумма падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному контуру равна нулю, т. е. = 0 (уравнение непрерывности), гдеj - номер ветви; Uj - падение напряжения на j-й ветви схе­мы, входящей в контур; q здесь и далее - множество но­меров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Механическая поступательная подсистема. Анало­гом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна ну­лю, т. е. = 0, где F_k - сила, приложенная к телу.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа будет уравнение принципа сложения ско­ростей: абсолютная скорость является суммой относи­тельной и переносных скоростей, или же сумма этих трех скоростей равна нулю (переносных скоростей может быть несколько: с первого тела на второе, со второго на третье и т. д.), т. е.

Для механических плоскостных и пространственных систем рассмотренные принципы применимы, если Fk и Vj представить в виде векторных величин, когда приве­денные выше уравнения справедливы для каждой коор­динатной оси, например для пространственных систем

=0; =0;=0;=0;=0;=0;

где F_kx, F_ky, F_kz - соответственно проекции сил на оси х, у, z; V_jx, V_jy, V_jz - соответственно проекции скорости на оси х, у, z.

Механическая вращательная подсистема. Анало­гом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера для враща­тельных подсистем, т. е. = 0, где М_k - момент силы, действующий относительно оси вращения, включая момент, вызванный моментом инерции.