Файл: Лекция_3.3.Статистические оценки параметров распределения.doc

Тема 3.3. Статистические оценки параметров распределения

План лекции:

1. Понятие оценки

2. Свойства статистических оценок

3. Методы нахождения точечных оценок

4. Интервальное оценивание параметров

5. Доверительный интервал для математического ожидании при известной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности.

6. Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента.

7. Доверительный интервал для математического ожидании случайные величины, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии.

8. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Список литературы:

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.

3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

П.1. Понятие оценки

Такие распределения, как биномиальное, показательное, нормальное, являются семействами распределений, зависящими от одного или нескольких параметров. Например, показательное распределение с плотностью вероятностей , зависит от одного параметра λ, нормальное распределение- от двух параметровm и σ. Из условий исследуемой задачи, как правило, ясно, о каком семействе распределений идёт речь. Однако остаются неизвестными конкретные значения параметров этого распределения, входящие в выражения интересующих нас характеристик распределения. Поэтому необходимо знать хотя бы приближённое значение этих величин.

Пусть закон распределения генеральной совокупности определён с точностью до значений входящих в его распределение параметров , часть из которых может быть известна. Одной из задач математической статистики является нахождение оценок неизвестных параметров по выборке наблюденийиз генеральной совокупности. Оценка неизвестных параметров заключается в построении функцииот случайной выборки, такой, что значение этой функции приближённо равно оцениваемому неизвестному параметруθ. Функция называетсястатистикой параметра θ.

---

Статистической оценкой (в дальнейшем просто оценкой) параметраθ теоретического распределения называется его приближённое значение, зависящего от данных выбора.

Оценка является случайной величиной, т.к. является функцией независимых случайных величин; если произвести другую выборку, то функция примет, вообще говоря, другое значение.

Существует два вида оценок – точечные и интервальные.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать их, используют интервальные оценки.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, в котором с заданной вероятностью заключена оцениваемая величина θ.

П. 2 Свойства статистических оценок

Величину называютточностью оценки. Чем меньше , тем лучше, точнее определён неизвестный параметр.

К оценке любого параметра предъявляется ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть «близкой» к истинному значению параметра, т.е. быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой. Качество оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещённости, эффективности и состоятельности.

Оценка параметраθ называется несмещённой (без систематических ошибок), если математическое ожидание оценки совпадает с истинным значением θ:

. (1)

Если равенство (1) не имеет места, то оценка называетсясмещённой (с систематическими ошибками). Это смещение может быть связано с ошибками измерения, счёта или неслучайным характером выборки. Систематические ошибки приводят к завышению или занижению оценки.

Для некоторых задач математической статистики может существовать несколько несмещённых оценок. Обычно предпочтение отдают той, которая обладает наименьшим рассеянием (дисперсией).

---

Оценка называетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра θ.

Пусть D() – минимальная дисперсия, а– дисперсия любой другой несмещённой оценкипараметраθ. Тогда эффективность оценки равна

. (2)

Ясно, что . Чем ближек 1, тем эффективнее оценка. Еслипри, то оценка называетсяасимптотически эффективной.

Замечание: Если оценка смещённая, то малости её дисперсии ещё не говорит о малости её погрешности. Взяв, например, в качестве оценки параметраθ некоторое число , получим оценку даже с нулевой дисперсией. Однако в этом случае ошибка (погрешность)может быть сколь угодно большой.

Оценка называетсясостоятельной, если с увеличением объема выборки () оценка сходится по вероятности к точному значению параметраθ, т.е. если для любого

. (3)

Состоятельность оценки параметраθ означает, что с ростом n объема выборки качество оценки улучшается.

---

Теорема 1. Выборочная средняя является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания.

Теорема 2. Исправленная выборочная дисперсия является несмещённой и состоятельной оценкой дисперсии.

Теорема 3. Эмпирическая функция распределения выборки является несмещённой и состоятельной оценкой функции распределения случайной величины.

---

П. 3 Методы нахождения точечных оценок

Универсального метода нахождения точечных оценок не существует. Имеется несколько хорошо зарекомендовавших себя методов нахождения этих оценок. Рассмотрим некоторые из них.

1. Метод моментов (Пирсона). Пусть известен закон распределения случайной величины X, содержащий неизвестные параметры . Произведём выборку объемаn этой случайной величины. По методу моментов k выборочных моментов приравниваются к k первым моментам случайной величины X. Из полученной системы уравнений и находим оценки параметров.

Так, если распределение зависит от одного параметра θ (например, задан вид плотности распределения ), то для нахождения его оценки надо решить относительноθ одно уравнение:

. (4)

(есть функция отθ).

Если распределение зависит от двух параметров (например, вид плотности распределения ), то надо решить относительноθ₁ и θ₂ систему уравнений:

(5)

И, наконец, если надо оценить n параметров - надо решить одну из систем вида:

или (6)

Метод моментов является наиболее простым методом оценки параметров. Он был предложен в 1894 г. английским математиком К. Пирсоном. Оценки методом моментов, как правило, состоятельны, однако их эффективность часто значительно меньше единицы.

2. Метод максимального правдоподобия (МП-метод). Этот метод разработан английским математиком Р.Э. Фишером. Оценки, получаемые с его помощью, как правило, являются наиболее надёжными и особенно предпочтительны в случае малого числа наблюдений.

---