ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.01.2020
Просмотров: 561
Скачиваний: 5
Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)
Для того чтобы квадратичная форма (х) = хТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:
М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.
Критерий отрицательной определенности
Для того чтобы квадратичная форма (х) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:
М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0.
ПРИМЕР 3.
При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?
(х1, х2, x3) =
Решение.
Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.
М1 = 1 > 0,
= а – 1 > 0 а > 1.
= ав – а – в > 0 в > .
Ответ: а > 1, в > .
ПРИМЕР 4.
При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?
(х1, х2, x3) =
Решение.
М1 = –1 < 0,
= –а – 1 > 0 а < –1.
= –ав – а – в < 0 в > – .
Ответ: а < –1, в > –.
ПРИМЕР 5.
Доказать, что квадратичная форма (х1, х2, x3) = положительно определена.
Решение.
Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.
М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 = А = 162 > 0
(х1, х2, x3) положительно определенная квадратичная форма.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
-
Какое множество точек на плоскости определяет уравнение х2 + у2 –
– 4х + 10у + 29 = 0? -
Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением х2 – 6х + у2 + 12у + 36 = 0.
-
Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .
-
Найти фокусы и эксцентриситет эллипса 3х2 + 4у2 = 12.
-
Какую линию определяет уравнение 9х2 – 4у2 = 36. Найти фокусы и эксцентриситет.
-
Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением 5х2 – 4у2 = 20.
-
Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 4х2 – 9у2 = 36.
-
Большая ось эллипса равна 12, а директрисами его служат прямые
х = 18. Составить уравнение эллипса. -
Найти полуоси, составить уравнения асимптот и директрис гиперболы 3х2 – 4у2 = 12.
-
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2 = 8х.
-
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 = 4у. Вычислить расстояние от точки М(6; 9) до фокуса.
-
Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директрисами равно 4, а расстояние между фокусами 16.
-
Найти координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот
и директрис гиперболы 9х2 – 16у2 = 144. -
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2 = 12х. определить расстояние от точки М(3; 6) до фокуса.
-
Записать матрицу квадратичной формы (х1, х2, x3) = .
-
Определить знакоопределенность квадратичных форм.
а)
(х1,
х2,
x3)
=
,
б)
(х1,
х2,
x3)
=
.
ОТВЕТЫ
-
Точка М (2; -5).
-
М (3; -6), R = 3.
-
F1 (-1; 0), F2 (1; 0), = 0,5.
-
а = 2, в = , F1 (-3; 0), F2 (3; 0), = 1,5.
-
а = 2, в = ,
-
F (2; 0), х = -2.
-
F (0; 2), у = -2, r = 10.
-
F1 (-5; 0), F2 (5; 0), = ,
-
F (3; 0), х = -3, r = 6.
-
а) положительно определена,
б) квадратичная форма не является знакоопределенной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция 1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3
1. Окружность. Эллипс 3
2. Гипербола 6
3. Парабола 9
Лекция 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 14
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи 15
2. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии положительной и отрицательной определенностей 16
Задачи и упражнения 20
Ответы 21
Литература 21
Учебное издание
МИНЧЕНКОВ Юрий Владимирович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Кривые второго порядка
Учебно-методическое пособие
Ответственный за выпуск И. В. Лаврик
Компьютерный набор Л. В. Чернуха, С. Л. Дудко
Компьютерная верстка С. Л. Дудко
Подписано к печати 10.11.2006 г. Формат 60841/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».
Отпечатано способом ризографии в авторской редакции.
Усл. печ. л. 1,22. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 500 экз. Зак. 150.
Издатель и полиграфическое исполнение:
Учреждение образования
«Частный институт управления и предпринимательства».
220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Л ицензия ЛИ 02330/0133342 от 29.06.2004 г.