Задача 1. Обработка результатов наблюдений

Задана выборка значений случайной величины (признака) Х, полученных в результате проведения в одних и тех же условиях п взаимно независимых опытов. Требуется выполнить обработку результатов наблюдений случайной величины Х :

1. Построить вариационный (статистический) ряд.

2. Построить для полученного вариационного ряда гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

3. Определить выборочные оценки числовых характеристик случайной величины: выборочную среднюю, медиану, моду, дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса.

4. Оценить точность выборки.

5. Провести выравнивание статистического ряда с помощью нормального закона распределения, в качестве параметров использовать выборочные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Показать на одной диаграмме гистограмму эмпирических частот и теоретическую нормальную кривую.

6. Проверить согласованность теоретического и статистического распределений, используя критерий Пирсона.

---

Результаты обследования стажа работы 100 сотрудников одного предприятия приведены в таблице (Х, год):

10,7	3,6	9,0	7,2	6,7	8,5	1,8	3,6	1,9	10,2
2,8	10,4	8,8	3,4	7,5	7,2	3,5	5,2	9,2	8,7
8,4	10,1	0,2	8,1	8,0	1,5	3,9	1,9	15,0	11,7
4,2	7,5	6,5	5,3	9,6	13,2	11,5	10,3	7,4	6,2
5,3	7,1	12,0	7,6	2,7	7,0	10,8	8,3	6,1	10,6
7,1	12,6	13,0	5,3	7,2	12,2	6,8	8,7	7,3	2,9
3,4	8,0	12,1	16,8	5,9	4,1	7,5	13,9	3,2	15,3
8,1	8,9	5,9	9,4	2,6	6,6	10,4	11,0	9,3	5,1
9,1	7,6	17,3	12,0	11,2	5,6	5,6	10,4	5,1	1,8
3,5	12,4	10,2	11,4	8,5	8,2	7,0	10,2	8,6	10,8

Решение:

Построить вариационный (статистический) ряд:

1. Для построения вариационного (статистического) ряда предварительно по формуле Стерджесса определим рекомендуемое число интервалов (целочисленное значение)

_{n=1+3, 3221*lg100=7, 6 (будем использовать приблизительное значение 8).}

2. Найдем наименьшее и наибольшее значения величины Х в выборке (функции МИН и МАКС), размах выборки

_{=17, 3-0, 2=17, 1.}

3. Величина каждого интервала группировки составит =17,1/8=2,1 (с целью выбора удобного, по возможности целочисленного значения длины интервалов допускается расширение границ выборки с увеличением ее размаха до 5%).

4. Прибавляя к минимальному значению признака (в данном случае 0,2) найденное значение длины интервала, получим верхнюю границу первой группы: 0,2 + 2 = 2,2. Прибавляя далее величину к верхней границе первой группы, получаем верхнюю границу второй группы и т.д. В результате определим границы интервалов группировки.

5. Используем диапазон верхних границ (bi) интервалов группировки (интервал карманов) и с помощью сервиса Данные / Анализ данных / Гистограмма получим частоты вариационного ряда.

№ интервала	ai	bi	Частота ni
1	0,2	2,2	6
2	2,2	4,2	14
3	4,2	6,2	12
4	6,2	8,2	23
5	8,2	10,2	19
6	10,2	12,2	17
7	12,2	14,2	5
8	14,2	16,2	2
9	16,2	18,2	2
		Еще	0

Построенный вариационный ряд показывает, что стаж работы сотрудников одного предприятия, изменяется в интервале от 2,2 до 18,2 лет.

Построить для полученного вариационного ряда гистограмму и эмпирическую функцию распределения:

Установим в диалоговом окне программы Гистограмма дополнительно флажки «Интегральный процент» для построения эмпирической функции распределения и «Вывод графика» для построения гистограммы частот. Получим:

---

Гистограмма частот наглядно отражает особенности интервального вариационного ряда, в частности позволяет предположить, что величина Х (стаж работы) распределена по нормальному закону.

Эмпирическая функция распределения (интегральный процент) показывает, какова доля сотрудников, стаж работы которых оказался меньше указанной величины («карман»). Так, например, для 5% сотрудников стаж работы менее 2,2 лет; для 80% сотрудников – менее 10,2 лет.

Определить выборочные оценки числовых характеристик случайной величины: выборочную среднюю, медиану, моду, дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса.

Для определения числовых характеристик случайной величины Х воспользуемся сервисом Данные / Анализ данных / Описательная статистика (использование программы требует размещения исходных данных в одном столбце). Для получения результатов следует установить флажок «Итоговая статистика».

В результате получим:

Коэффициент вариации определим по формуле = 0,358. Средние величины (среднее, медиана, мода) характеризуют значение признака, вокруг которого концентрируются наблюдения – центральную тенденцию распределения:

• средняя величина стажа работ по организации составила = 7,856 лет.;

• медиана, равная 7,8 лет показывает стаж работ сотрудников: для 50% сотрудников стаж работ не больше, чем 7,856 лет, а для 50% – не меньше, чем 7,856 лет;

• мода равна 3,6

Наиболее важными показателями вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средней величины являются дисперсия выборки S² = 12,86; выборочное среднее квадратическое (стандартное) отклонение S = 3,5; коэффициент вариации  = 35,8%. Невысокая величина коэффициента вариации свидетельствует об однородности значений признака Х (стаж работы).

Коэффициент асимметрии составил –0,1.

Коэффициент эксцесса равен -0,1. Близкое к нулю значение говорит о том, что рассматриваемое распределение по крутости приближается к нормальной кривой.

Оценить точность выборки.

Примем уровень значимости . С помощью функции ДОВЕРИТ определим ошибку выборки – размах доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности:  = 0,7.

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности равны соответственно =7,8-0,7=7,1 и =7,8+0,7=8,5. Таким образом, с надежностью 95% средняя величина стажа работ по организации заключена в границах от 7,1 до 8,5 лет.

Для оценки точности выборки рассчитаем относительную ошибку = 0,7/7,8=8% и сделаем вывод в соответствии со схемой:

На уровне значимости точность выборки следует признать удовлетворительной.

Провести выравнивание статистического ряда с помощью нормального закона распределения, в качестве параметров использовать выборочные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Показать на одной диаграмме гистограмму эмпирических частот и теоретическую нормальную кривую.

---

Для проведения вычислений подготовим таблицу. Занесем в нее границы a_i и b_i интервалов группировки, середины x_i этих интервалов, соответствующие частоты n_i.

Построим интегральную функцию нормального распределения с параметрами и . Используем функцию НОРМРАСП; для каждого интервала в качестве значения, для которого строится распределение, укажем верхнюю границу b_i. Для последнего интервала занесем в таблицу значение .

Определим теоретические вероятности попадания нормально распределенной величины в i-ый интервал группировки (для первого интервала укажем ).

Рассчитаем теоретические частоты , соответствующие интервалам группировки. Проверим выполнение условия .

ai	bi	xi	ni	Ф(х)	рi теор	ni теор
0,2	2,2	1,2	6	0,05744	0,05744	5,743985
2,2	4,2	3,2	14	0,154072	0,096632	9,66318
4,2	6,2	5,2	12	0,322178	0,168106	16,81063
6,2	8,2	7,2	23	0,538197	0,216019	21,60187
8,2	10,2	9,2	19	0,743251	0,205054	20,50542
10,2	12,2	11,2	17	0,887035	0,143784	14,3784
12,2	14,2	13,2	5	0,961504	0,07447	7,446962
14,2	16,2	15,2	2	0,989989	0,028484	2,848433
16,2	18,2	17,2	2	0,998033	0,008044	0,804443
суммы			100			100

Покажем на одной диаграмме гистограмму частот и нормальную кривую:

Диаграмма показывает соответствие гистограммы частот и нормальной кривой с параметрами и .

Проверить согласованность теоретического и статистического распределений, используя критерий Пирсона.

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических и теоретических частот. Для его использования необходимо, чтобы в каждом интервале группировки было достаточное количество данных. В случае малочисленных эмпирических частот (n_iэмп< 5) следует объединить соседние интервалы, в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также складываются. При этом необходимо следить за правильностью расчета значений функции нормального распределения, теоретических частот и выполнением условия .

Объединим первый и второй интервалы, частота для объединенного интервала будет 6+14=20. Объединим восьмой и девятый интервалы, частота для объединенного последнего интервала 2+2=4. Общее количество интервалов группировки после объединения m=7. Дополним скорректированную таблицу столбцом «мера расхождения», выполнив расчеты по формуле Пирсона .

ai	bi	xi	ni	Ф(х)	ni теор	хи2 i
0,2	4,2	2,2	20	0,154072	15,40716	1,369112
4,2	6,2	5,2	12	0,322178	16,81063	1,376639
6,2	8,2	7,2	23	0,538197	21,60187	0,090491
8,2	10,2	9,2	19	0,743251	20,50542	0,110521
10,2	12,2	11,2	17	0,887035	14,3784	0,477994
12,2	14,2	13,2	5	0,961504	7,446962	0,804036
14,2	18,2	16,2	4	0,998033	3,652877	0,032986
суммы			100		100	4,26178

---

Фактически наблюдаемое значение статистики Пирсона составляет

=4,26.

Критическое значение статистики = 9,48 найдено для уровня значимости 5% и числа степеней свободы _k=m-3=4 с помощью функции ХИ2ОБР.

Сравним фактическое значение статистики с критической величиной и сделаем вывод в соответствии со схемой:

 теоретическое и статистическое распределения согласованы, на уровне значимости следует принять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х – стажа работ.

---

Смотрите также файлы

• курсач по макроэкономике.docx

• контр по психологии.docx

• 69 Содержание гражданско-правового договора.doc

• 70 Публичный договор.doc

• 71. Предварительный договор.doc