Файл: часть задач по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 138
Скачиваний: 1
ÌÀÈ
•
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ
•
3Î-116Á, 117Áê, 118Áê
•
Çàäà÷è òðåòüÿ
÷àñòü
•
Äîö. È. À. Øèëèí (êàô. 311)
•
903 153 67 13
•
vkontakte.ru/ilyashilin
Êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè
Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ýëëèïñà èìååò âèä
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà
a
è
b
íàçûâàþòñÿ
ñîîòâåòñòâåííî áîëüøîé è ìàëîé ïîëóîñÿìè. Ïóñòü
a > b
è
c
:=
√
a
2
−
b
2
. Òî÷êè
F
1
(
−
c,
0)
è
F
1
(
−
c,
0)
íàçûâàþòñÿ ôîêóñàìè, ÷èñëî
e
:=
f racca
ýêñöåíòðèñèòåòîì, à ïðÿìûå
x
=
a
e
è
x
=
−
a
e
äèðåêòðèñàìè.
Ñåðåäèíà îòðåçêà
F
1
F
2
íàçûâàåòñÿ öåíòðîì.
Íàéòè ôîêóñû, öåíòð, ïîëóîñè, ýêñöåíòðèñèòåò è äèðåêòðèñû ýëëèïñà. 1.
5
x
2
+ 9
y
2
−
30
x
+
18
y
+ 9 = 0
. 2
•
.
16
x
2
+ 25
y
2
+ 32
x
−
100
y
−
284 = 0
.
Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëû èìååò âèä
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1
. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà
a
è
b
íàçûâàþòñÿ
ñîîòâåòñòâåííî áîëüøîé è ìàëîé ïîëóîñÿìè. Ïóñòü
a > b
è
c
:=
√
a
2
+
b
2
. Òî÷êè
F
1
(
−
c,
0)
è
F
1
(
−
c,
0)
íàçûâàþòñÿ ôîêóñàìè, ÷èñëî
e
:=
f racca
ýêñöåíòðèñèòåòîì, à ïðÿìûå
x
=
a
e
è
x
=
−
a
e
äèðåêòðèñàìè.
Ñåðåäèíà îòðåçêà
F
1
F
2
íàçûâàåòñÿ öåíòðîì. Ïðÿìûå
y
=
±
bx
a
ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòàìè.
Íàéòè ôîêóñû, öåíòð, ïîëóîñè, ýêñöåíòðèñèòåò, äèðåêòðèñû è àñèìïòîòû ãèïåðáîëû. 3.
5
x
2
−
9
y
2
−
64
x
−
54
y
−
161 = 0
. 4
•
.
9
x
2
−
16
y
2
+ 90
x
+ 32
y
−
367 = 0
.
Êàêîâî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ýëëèïñà (ïåðåñåêàåò ëè ïðÿìàÿ ýëëèïñ, êàñàåòñÿ ëè
åãî èëè îáùèõ òî÷åê îíè íå èìåþò)? 5.
2
x
−
y
−
3 = 0
,
x
2
10
+
y
2
9 = 1
. 6
•
.
2
x
+
y
−
10 = 0
,
x
2
9
+
y
2
4 = 1
. 7
•
.
3
x
+ 2
y
−
20 = 0
,
x
2
40
+
y
2
10 = 1
.
Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïàðàáîëû èìååò âèä
y
2
= 2
px
. ×èñëî
p
íàçûâàþò ïàðàìåòðîì, òî÷êó
F
p
2
,
0
ôîêóñîì, òî÷êó
O
(0
,
0)
öåíòðîì, à ïðÿìóþ
x
=
−
p
2
äèðåêòðèñîé.
Íàéòè âåðøèíó, ïàðàìåòð, ôîêóñ è äèðåêòðèñó ïàðàáîëû. 8.
y
2
= 4
x
−
8
. 9.
y
= 4
x
2
−
8
x
+ 7
.
10
•
.
x
2
= 2
−
y
. 11.
y
=
−
x
2
6
+ 2
x
−
7
. 12.
x
=
−
y
2
4
+
y
. 13
•
.
x
= 2
y
2
−
12
y
+ 14
.
Ñâÿçü ìåæäó áàçèñàìè. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
Íàéäèòå ìàòðèöó ïåðåõîäà îò áàçèñà
E
èç çàäà÷ 41, 42 è 45 âòîðîé ÷àñòè çàäà÷ (ñì. ôàéë laag-
2.pdf íà studsetka.ru) ê áàçèñó
ˆ
E
. Èñïîëüçóÿ ýòó ìàòðèöó è êîîðäèíàòû âåêòîðà, çàäàííûõ â óñëî-
âèÿõ ýòèõ çàäà÷, íàéäèòå êîîðäèíàòû ýòîãî âåêòîðà â áàçèñå
ˆ
E
. Äëÿ çàäà÷è 41 èñïîëüçóéòå áàçèñ
ˆ
E
=
{
(2
,
−
1
,
−
2)
,
(0
,
1
,
4)
,
(1
,
−
1
,
2)
}
, äëÿ çàäà÷è 42 áàçèñ
ˆ
E
=
{
(3
,
−
1
,
−
4)
,
(1
,
1
,
1)
,
(
−
2
,
2
,
4)
}
,
äëÿ çàäà÷è 45 áàçèñ
ˆ
E
=
{
x
2
−
4
x, x, x
+ 2
}
.
14. Íàéäèòå ìàòðèöó îïåðàòîðà
(
a
1
, a
2
, a
3
)
7−→
(
a
1
+
a
2
+
a
3
, a
1
+
a
2
, a
3
)
, äåéñòâóþùåãî â âåêòîðíîì
ïðîñòðàíñòâå
R
, â áàçèñå
E
:=
{
e
1
:= (
−
1
,
1
,
1)
, e
2
:= (2
,
1
,
−
1)
, e
3
:= (1
,
2
,
1)
}
. 15
•
. Íàéäèòå ìàò-
ðèöó îïåðàòîðà
(
a
1
, a
2
, a
3
)
7−→
(
a
1
+
a
2
, a
2
+
a
3
, a
1
+
a
3
)
, äåéñòâóþùåãî â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
R
, â áàçèñå
E
:=
{
e
1
:= (1
,
0
,
0)
, e
2
:= (1
,
1
,
0)
, e
3
:= (1
,
1
,
1)
}
. 16. Íàéäèòå ìàòðèöó îïåðàòîðà
a
7−→
a
+
a
T
)
, äåéñòâóþùåãî â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
Mat(2
,
R
)
, â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå. 17
•
.
Íàéäèòå ìàòðèöó îïåðàòîðà
a
7−→
2
a
T
−
a
)
, äåéñòâóþùåãî â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
Mat(2
,
R
)
,
â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå. 18. Íàéäèòå ìàòðèöó îïåðàòîðà
f
7−→
f
−
d
f
d
x
, äåéñòâóþùåãî â âåêòîð-
íîì ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå 2, â áàçèñå
E
:=
{
2
x
−
x
2
,
3
x
+ 1
, x
2
+
x
−
2
.
.
19. Íàéäèòå ìàòðèöó îïåðàòîðà
f
7−→
f
000
−
f
00
+
f
0
, äåéñòâóþùåãî â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå 2, â áàçèñå
E
:=
{
2
x
−
x
2
,
3
x
+ 1
, x
2
+
x
−
2
.
.
Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (çàäàííîãî ìàòðèöåé) è óêàæèòå ñîá-
ñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ýòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
20.
1
−
3
4
4
−
7
8
6
−
7
7
. 21
•
.
1
−
1
−
1
0
2
−
1
0
0
3
. 22
•
.
5
6
−
3
−
1
0
1
1
2
−
1
.
1