ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 125
Скачиваний: 1
ЕЛЕКТРОННІ
АПАРАТИ
,
КОМП
’
ЮТЕРНА
ТЕХНІКА
І
ІНФОРМАЦІЙНО
-
ВИМІРЮВАЛЬНІ
ТЕХНОЛОГІЇ
Вісник
КДПУ
імені
Михайла
Остроградського
.
Випуск
4/2009 (57).
Частина
2
36
УДК
381.3.06
ЦИКЛИЧЕСКИЕ
ССЫЛКИ
MS Excel:
ИТЕРАЦИОННЫЕ
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ
Смагина
М
.
Д
.,
студ
.
Харьковский
национальный
университет
радиоэлектроники
61000
г
.
Харьков
,
пр
-
т
.
Победы
, 48-
а
E-mail: nich@polytech.poltava.ua
Смагин
Д
.
М
.,
к
.
т
.
н
.,
доц
.
Кременчугский
государственный
политехнический
университет
имени
Михаила
Остроградского
39600
г
.
Кременчуг
,
ул
.
Первомайская
, 20
E-mail: nich@polytech.poltava.ua
Розглянуто
застосування
циклічних
зсилок
MS Excel
для
розв
’
язання
алгебраїчних
рівнянь
ітераційним
ме
-
тодом
.
Розглянений
конкретний
приклад
з
аналізом
проблеми
зходимості
ітераційного
процеса
.
Показано
,
що
за
допомогою
циклічних
зсилок
MS Excel
можливо
також
здійснювати
розв
’
язання
трансцендентних
рівнянь
з
заданим
ступенем
точності
і
виконувати
додавання
ступеневих
рядів
.
Відмічена
можливість
ефективного
засто
-
сування
циклічних
зсилок
для
вирішення
ряду
економічних
та
інженерних
задач
.
Ключові
слова
:
циклічне
посилання
,
алгебраїчне
рівняння
,
рівняння
вищих
степенів
,
корінь
рівняння
.
Application of MS Excel circular references to solution of algebraic equation of higher powers by iteration method
has been considered. A particular example analyzing the problem of iteration process convergence has been regarded. It
has been shown that it is easy to solve transcedental equations with assigned accuracy and to sum power series using
MS Excel circular references. A possibility of efficient application of circular references to solution of some economic
problems has been pointed out.
Keywords:
circular reference, algebraic equation, root of an equation, isolate the root.
Введение
.
Излагается
применение
циклических
ссылок
MS Excel
при
решении
алгебраических
уравнений
высшего
порядка
,
подробно
рассмотрен
конкретный
пример
с
анализом
проблемы
сходимо
-
сти
.
Известно
,
что
найти
аналитическое
решение
алгебраических
уравнений
пятой
степени
и
выше
невозможно
,
т
.
е
.
невозможно
выразить
его
корни
через
коэффициенты
,
используя
арифметические
действия
и
операцию
извлечения
корня
.
В
этом
случае
говорят
,
что
уравнение
не
разрешимо
в
ра
-
дикалах
,
и
его
решение
осуществляют
в
численном
виде
,
используя
либо
языки
программирования
или
офисные
программы
,
такие
как
MS Excel,
не
тре
-
бующие
специального
образования
в
области
про
-
граммирования
и
прикладной
математики
.
Анализ
предыдущих
исследований
.
В
настоя
-
щее
время
возможности
электронных
таблиц
,
уста
-
новленных
на
персональных
компьютерах
,
значи
-
тельно
возросли
.
С
помощью
MS Excel
можно
справиться
с
большей
частью
повседневных
инже
-
нерных
задач
.
Экономисты
найдут
для
себя
полез
-
ными
многие
встроенные
функции
.
Однако
до
на
-
стоящего
времени
возможности
циклических
ссы
-
лок
MS Excel
не
исследованы
.
Цель
работы
.
Осуществить
исследования
,
по
-
зволяющие
реализовать
дополнительные
возмож
-
ности
MS Excel
и
расширить
круг
задач
,
который
можно
реализовать
с
помощью
этой
программы
.
Исследовать
возможности
применения
цикличе
-
ских
ссылок
MS Excel
для
решения
алгебраических
уравнений
высших
степеней
.
Предложить
метод
решения
и
показать
на
конкретном
примере
реали
-
зацию
этого
метода
.
Материал
и
результаты
исследования
.
Циклическая
ссылка
(circular reference) –
это
формула
,
которая
зависит
от
своего
собственного
значения
.
Такая
ссылка
возникает
в
случае
,
когда
формула
ссылается
на
ячейку
,
в
которую
она
зане
-
сена
(
прямая
циклическая
ссылка
).
Косвенная
цик
-
лическая
ссылка
возникает
,
когда
формула
,
запи
-
санная
в
ячейку
,
ссылается
на
вторую
ячейку
с
формулой
,
которая
ссылается
на
первую
ячейку
.
Эта
связанная
цепочка
может
охватывать
несколько
ячеек
.
Обычно
появление
циклической
ссылки
Excel
воспринимает
как
ошибку
и
отображает
на
экране
соответствующее
сообщение
.
Однако
умышленные
циклические
ссылки
могут
оказаться
полезными
и
вводиться
преднамеренно
для
выполнения
опреде
-
ленных
задач
.
Например
,
правильно
заданные
цик
-
лические
ссылки
могут
выступать
функциональным
эквивалентом
циклических
структур
,
используемых
в
языках
программирования
.
При
этом
использова
-
ние
циклических
ссылок
не
требует
знаний
про
-
граммирования
.
Применение
циклических
ссылок
для
решения
итерационных
задач
.
По
умолчанию
Excel
не
про
-
изводит
итерационные
вычисления
.
Для
этого
сле
-
дует
установить
соответствующий
режим
.
Чтобы
активизировать
режим
итераций
требуется
выпол
-
нить
команду
Сервис
Параметры
.
Вкладка
Вычис
-
ления
диалогового
окна
Параметры
содержит
три
ЕЛЕКТРОННІ
АПАРАТИ
,
КОМП
’
ЮТЕРНА
ТЕХНІКА
І
ІНФОРМАЦІЙНО
-
ВИМІРЮВАЛЬНІ
ТЕХНОЛОГІЇ
Вісник
КДПУ
імені
Михайла
Остроградського
.
Випуск
4/2009 (57).
Частина
2
37
группы
параметров
,
относящихся
к
вычислению
циклических
ссылок
:
1.
Флажок
Итерации
.
Для
организации
цикли
-
ческих
ссылок
необходимо
установить
этот
фла
-
жок
.
2.
Поле
Предельное
число
итераций
(Maximum
Iterations)
определяет
максимальное
число
итера
-
ций
,
производимых
Excel.
3.
Поле
Относительная
погрешность
(Maximum Change)
определяет
,
когда
заканчивают
-
ся
итерации
.
Если
установлен
флажок
Итерации
,
Excel
при
-
нимает
по
умолчанию
Предельное
число
итераций
,
равным
100,
и
в
поле
Относительная
погрешность
задает
значение
0,001.
Таким
образом
, Excel
вы
-
полняет
пересчет
до
100
раз
или
пока
изменение
значений
между
итерациями
не
станет
меньше
0,001.
Эти
параметры
можно
изменить
.
Для
полу
-
чения
более
точного
результата
следует
уменьшить
значение
допустимой
погрешности
.
Если
после
вы
-
полнения
100
итераций
результат
не
сходится
к
од
-
ному
значению
,
можно
увеличить
их
число
.
Однако
данное
значение
не
может
быть
более
32767.
После
нажатия
кнопки
ОК
следует
выход
из
диалогового
окна
Параметры
,
и
программа
Excel
готова
выполнить
итерационные
вычисления
с
цик
-
лической
ссылкой
.
Вычисления
в
Excel
могут
осуществляться
в
ав
-
томатическом
или
ручном
режимах
.
Автоматиче
-
ский
режим
вычислений
установлен
по
умолчанию
.
Иногда
возникает
необходимость
управлять
про
-
цессом
вычисления
.
В
этом
случае
нужно
устано
-
вить
ручной
режим
вычислений
.
Для
этого
следует
установить
переключатель
Вручную
на
вкладке
Вы
-
числения
диалогового
окна
Параметры
.
В
ручном
режиме
Excel
будет
выполнять
пере
-
счет
формул
только
тогда
,
когда
будет
явно
подана
такая
команда
.
Для
этого
следует
нажать
клавишу
F9
или
кнопку
Вычислить
.
При
этом
, Excel
пере
-
считывает
формулы
во
всех
открытых
рабочих
кни
-
гах
.
При
нажатии
сочетания
клавиш
<Shift + F9>
или
кнопки
Пересчет
листа
Excel
пересчитывает
только
активный
лист
.
После
предварительного
ознакомления
с
орга
-
низацией
циклических
ссылок
,
рассмотрим
прин
-
цип
работы
метода
простой
итерации
.
Метод
про
-
стой
итерации
является
одним
из
важнейших
спо
-
собов
численного
решения
алгебраических
и
трансцендентных
уравнений
[2].
Сущность
метода
простой
итерации
заключает
-
ся
в
следующем
[3].
Заданное
уравнение
вида
f (x) = 0
(1)
где
f(x) –
непрерывная
функция
,
заменяется
равносильным
уравнением
x = z (x) .
(2)
Корень
уравнения
(1)
вычисляется
по
рекур
-
рентной
формуле
:
x
i
= z (x
i -1
) , ( i=1,2,…).
(3)
В
итерационном
методе
нужно
,
чтобы
пользова
-
тель
ввел
начальное
приближение
корня
x
0
,
которое
подставляется
в
правую
часть
уравнения
(3).
Меха
-
низм
автоматического
вычисления
состоит
в
ис
-
пользовании
вычисленного
на
предыдущем
шаге
значения
в
качестве
предполагаемого
для
после
-
дующей
итерации
.
Если
последовательность
(3)
сходящаяся
,
т
.
е
.
существует
предел
(4)
∞
→
=
i
x
х
i
lim
*
то
этот
предел
х
*
является
корнем
уравнения
(1).
Известно
[4],
что
итерационный
процесс
(3)
сходится
,
если
| z
′
(x)|
≤
q < 1,
(5)
и
чем
меньше
q,
тем
быстрее
сходимость
.
Алгоритм
метода
простой
итерации
включает
два
этапа
:
1)
отделение
(
локализация
)
корней
;
2)
уточнение
корней
.
Локализация
корней
представляет
собой
нахож
-
дение
отрезков
,
на
которых
находится
один
корень
.
Для
этого
нужно
протабулировать
функцию
f(x)
уравнения
(1)
на
некотором
отрезке
[a; b].
Возмож
-
но
,
что
выбранный
отрезок
не
будет
включать
все
корни
уравнения
.
Тогда
следует
построить
график
протабулированной
функции
.
При
необходимости
,
в
соответствии
с
характером
изменения
функции
,
поменять
интервал
[a; b]
исследования
функции
,
а
также
шаг
изменения
аргумента
.
После
этого
либо
на
графике
функции
,
либо
в
таблице
табулирования
функции
найти
отрезки
,
на
которых
функция
меня
-
ет
знак
.
За
первое
приближение
корня
x
0
можно
взять
середину
найденного
отрезка
.
Этап
уточнения
корней
позволит
найти
их
зна
-
чения
с
заданной
точностью
.
В
нашем
случае
уточ
-
нение
корней
осуществляется
с
помощью
цикличе
-
ских
ссылок
.
Поиск
корня
продолжается
до
тех
пор
,
пока
не
удастся
найти
такое
x,
при
котором
значение
функции
f(x)
находится
как
можно
ближе
к
нулю
.
Приступим
к
практическому
использованию
циклических
ссылок
на
примере
решения
алгебраи
-
ческого
уравнения
.
Пример
.
Задание
: “
Найти
все
действительные
корни
уравнения
x
3
- 17x + 12 = 0 “.
(6)
Это
уравнение
вида
(1),
где
f(x) =x
3
- 17x + 12.
Для
выполнения
итераций
перепишите
заданное
уравнение
так
,
чтобы
в
его
левой
части
осталась
только
неизвестная
переменная
.
Это
можно
запи
-
сать
двумя
способами
:
x = (x
3
+12)/ 17 ,
(7)
или
3
12
17
−
=
x
x
.
(8)
Привели
исходные
уравнения
к
виду
(2).
Для
формы
(7)
получится
| z
′
(x)|
= 3 x
2
/ 17.
(9)
Аналогично
,
для
(8)
ЕЛЕКТРОННІ
АПАРАТИ
,
КОМП
’
ЮТЕРНА
ТЕХНІКА
І
ІНФОРМАЦІЙНО
-
ВИМІРЮВАЛЬНІ
ТЕХНОЛОГІЇ
Вісник
КДПУ
імені
Михайла
Остроградського
.
Випуск
4/2009 (57).
Частина
2
38
| z
′
(x)|
= 17 ( | 17x -12 | )
–2/ 3
/ 3 .
(10)
В
дальнейшем
понадобятся
обе
формы
и
(7),
и
(8),
т
.
к
.
требованию
(6)
удовлетворяют
или
(9)
или
(10)
в
зависимости
от
отрезка
локализации
корня
.
І
.
Отделение
(
локализация
)
корней
.
Выполните
табулирование
функции
f(x) =x
3
-
17x + 12,
определив
интервал
локализации
корней
в
границах
от
-5
до
5.
В
диапазон
ячеек
А
3:
А
23
необходимо
ввести
ар
-
гумент
функции
–
значения
отрезка
[-5; 5]
с
шагом
h = 0,5.
В
ячейку
С
3
ввести
формулу
:
=A3^3– 17*A3+ 12
и
скопируйте
ее
на
весь
диапазон
табулирования
С
3:
С
23,
перетаскивая
маркер
автозаполнения
вниз
по
таблице
.
Протабулированное
значение
функции
представлено
в
табл
.1.
Таблица
1 –
Табулированные
значения
функции
A
B
C
D
E
F
2 x
f(x)
І
1
'
І
І
2
'
І
3
-5
-28
4,411765
0,268419
4
-4,5
X
01
=- 4,2
-2,625
3,573529
0,285342
Среднее
5
-4
16
2,823529
0,305212
0,30
6
-3,5
28,625
2,161765
0,328945
7
-3
36
1,588235
0,357905
8
-2,5
38,875
1,102941
0,394212
9
-2
38
0,705882
0,44139
10
-1,5
34,125
0,397059
0,505794
11
-1
28
0,176471
0,600338
12
-0,5
20,375
0,044118
0,756528
13
0
12
0
1,081119
14
0,5
X
02
= 0,8
3,625
0,044118
2,458191
Среднее
15
1
-4
0,176471
1,937973
0,11
16
1,5
-10,125
0,397059
0,999475
17
2
-14
0,705882
0,721737
18
2,5
-14,875
1,102941
0,58049
19
3
-12
1,588235
0,49274
20
3,5
X
03
=3,7
-4,625
2,161765
0,432048
Среднее
21
4
8
2,823529
0,387141
0,41
22
4,5
26,625
3,573529
0,352334
Отделим
корни
уравнения
.
Из
табл
. 1
видно
,
что
локализация
корней
имеет
место
на
отрезках
[-4,5; -4], [0,5; 1]
и
[3,5; 4],
т
.
к
.
функция
меняет
знак
именно
в
пределах
каждого
из
этих
отрезков
.
В
качестве
грубого
приближения
корней
можно
взять
любые
значения
,
принад
-
лежащие
этим
отрезкам
.
Примите
за
начальные
приближения
корней
величины
:
х
01
=– 4,2;
х
02
= 0,8;
х
03
= 3,7.
Эти
значения
занесены
в
ячейки
В
4,
В
14
и
В
20.
Таблица
2 –
Уточненные
значения
корней
A
B
C
D
E
F
2
5
x
1
= - 4,2
x
2
= 0,8
x
3
= 3,7
2
6
Уточненные
значения
корней
2
7
-
4,438851
-
4,438851
0,7286
38
0,7286
38
3,7102
14
3,71021
4
ІІ
.
Уточнение
корней
.
Уточнение
осуществляет
-
ся
с
помощью
циклических
ссылок
,
используя
одно
из
форм
уравнений
(7)
или
(8),
которое
будет
удов
-
летворять
условно
сходимости
(6).
2.1
Проверим
сходимость
на
каждом
отрезке
локализации
корня
.
Введите
в
ячейку
D3
формулу
,
отображающую
правую
часть
выражения
(9):
=3* A3^ 2/ 17.
Скопируйте
эту
формулу
в
диапазон
ячеек
D3 : D23.
ЕЛЕКТРОННІ
АПАРАТИ
,
КОМП
’
ЮТЕРНА
ТЕХНІКА
І
ІНФОРМАЦІЙНО
-
ВИМІРЮВАЛЬНІ
ТЕХНОЛОГІЇ
Вісник
КДПУ
імені
Михайла
Остроградського
.
Випуск
4/2009 (57).
Частина
2
39
Аналогично
в
ячейку
Е
3
введите
формулу
=17*abs(17*A3–12 )^ (–2/ 3 )/3,
отображающую
правую
часть
выражения
(10),
и
скопируйте
ее
в
диапазон
Е
3:
Е
23.
Из
таблицы
1
следует
,
что
условно
сходимости
(5)
удовлетворяет
форма
(7)
для
отрезка
[ 0,5; 1 ]
и
форма
(8)
для
отрезков
[-4,5; -4 ]
и
[ 3, 5; - 4 ].
2.2
Активизируйте
режим
итераций
.
Выполните
команду
меню
Сервис
–
Параметры
В
диалоговом
окне
Параметры
перейдите
на
вкладку
Вычисления
и
установите
флажок
Итера
-
ции
.
Активизируйте
ручной
режим
вычислений
,
ус
-
тановив
переключатель
Вручную
.
Установите
Предельное
число
итераций
равное
1.
Убедитесь
,
что
значение
Относительная
по
-
грешность
равно
0,001.
2.3
Уточнение
корня
х
1
=-4,2.
Уточнение
осуществите
в
ручном
режиме
вы
-
числений
,
используя
форму
(8).
Для
этого
доста
-
точно
двух
ячеек
:
1)
в
ячейку
А
27
введите
число
(– 4,2),
равное
грубому
приближению
корня
.
2)
в
ячейку
В
27
введите
формулу
=(17*A27–12)^(1/3),
отображающую
правую
часть
формы
(8),
и
на
-
жмите
кнопку
ОК
.
3)
В
ячейку
А
27
введите
формулу
=
В
27
и
нажмите
кнопку
ОК
.
Осуществлена
первая
итерация
.
4)
Для
продолжения
итерационного
процесса
вновь
выделите
ячейку
В
27
и
нажмите
клавишу
<
F9>.
Так
как
максимальное
число
итераций
задано
равным
1,
нажатие
клавиши
<F9>
приведет
к
вы
-
полнению
лишь
одного
цикла
вычислений
.
Нажми
-
те
клавишу
<F9>
столько
раз
,
пока
значения
в
ячейках
А
27
и
В
27
совпадут
.
После
этого
нажатие
клавиши
<F9>
не
приведет
к
существенным
изме
-
нениям
.
В
данном
случае
в
ячейках
A27
и
В
27
со
-
хранится
число
(-4,439).
Решение
найдено
,
корнем
заданного
уравнения
является
х
1
= – 4,439.
Эту
процедуру
повторите
для
других
корней
.
2.4
Уточнение
корня
х
2
=0,8.
В
ячейку
С
27
введите
число
0,8 –
грубое
при
-
ближению
корня
.
В
ячейку
D27
введите
формулу
=(C27^3+ 12)/ 17,
отображающую
правую
часть
формы
(7)
и
на
-
жмите
кнопку
ОК
.
Повторите
пункты
3)
и
4),
используя
данные
ячеек
С
27
и
D27.
Уточненным
значением
корня
бу
-
дет
число
x
1
= 0,729.
2.5
Уточнение
корня
x
3
= 3,7.
-
В
ячейку
Е
27
введите
грубое
приближение
корня
–
число
3,7.
-
В
ячейку
F27
введите
формулу
=(17*E27–12)^ (1/ 3),
отображающую
правую
часть
формы
(8)
и
на
-
жмите
кнопку
ОК
.
-
Повторите
действия
3)
и
4),
используя
данные
ячеек
Е
27, F27.
В
результате
получится
еще
одно
решение
–
ко
-
рень
х
3
= 7,310.
ІІІ
.
Анализ
сходимости
итерационного
процес
-
са
.
Получим
снимок
итерационного
процесса
–
шаг
за
шагом
отслеживая
разность
между
двумя
после
-
довательными
приближениями
.
Для
этого
создайте
таблицу
,
отображающую
значения
предыдущих
и
последующих
оценок
корней
.
Откройте
следующий
рабочий
лист
(
команда
Вставка
—
Лист
).
В
ячейки
А
3,
С
3,
Е
3
введите
грубые
приближе
-
ния
корней
—
числа
(-4,2), (0,8), (3,7).
В
ячейки
В
3,
Д
3, F3
введите
соответствующие
формулы
простой
итерации
:
В
3 : = (17*
А
3–12)^ (1/3);
D3 : = (
С
3^ 3 + 12) / 17;
F3 : = (17 *
Е
3-12)^ (1/3),
нажимая
клавишу
< Enter >
при
каждом
вводе
.
Для
продолжения
итерационного
процесса
в
ячейки
А
4,
С
4,
Е
4
введите
соответственно
форму
-
лы
:
A4 : =
В
3;
C4 : = D3;
E4 : = F3,
нажимая
клавишу
<Enter >
при
каждом
вводе
.
Скопируйте
формулы
ячеек
А
4,
С
4,
Е
4
и
ячеек
В
3,
Д
3, F3
вниз
по
таблице
до
18-
й
строки
,
тем
са
-
мым
осуществив
ряд
итерационных
уточнений
корней
.
Результаты
вычислений
сведены
в
таблице
Из
которой
следует
,
что
в
столбце
В
итераци
-
онный
процесс
сходится
к
решению
на
11-
ом
шаге
,
в
столбце
D –
на
5-
ом
,
в
столбце
F –
на
14-
ом
шаге
.
Обнаруженное
различие
в
скорости
сходимости
объясняется
тем
,
что
на
рассматриваемых
отрезках
локализации
корней
,
величина
)
(
x
z
′
,
опреде
-
ляющая
сходимость
итерационного
процесса
,
су
-
щественно
отличается
.
Её
усредненное
значение
на
отрезке
[-4,5; -4 ]
равна
0,30,
на
отрезке
[0,5; 1] —
0,11
и
на
отрезке
[ 3,5; 4 ] — 0,4.
Утверждение
–
чем
меньше
величина
)
(
x
z
′
,
тем
быстрее
сходи
-
мость
,
в
полной
мере
подтверждается
данными
табл
.2
Проведенный
анализ
позволяет
сделать
вывод
:
метод
простой
итерации
,
основанный
на
примене
-
нии
циклических
ссылок
Excel,
позволяет
просто
и
эффективно
осуществлять
численные
решения
ал
-
гебраических
и
трансцендентных
уравнений
.
При
-
менение
циклических
ссылок
Excel
является
также
эффективным
при
решении
научных
,
экономиче
-
ских
и
инженерных
задач
,
для
которых
возможны
итерационные
методы
.
В
частности
,
такой
эконо
-
мической
задачей
является
вычисление
чистой
прибыли
.
ЕЛЕКТРОННІ
АПАРАТИ
,
КОМП
’
ЮТЕРНА
ТЕХНІКА
І
ІНФОРМАЦІЙНО
-
ВИМІРЮВАЛЬНІ
ТЕХНОЛОГІЇ
Вісник
КДПУ
імені
Михайла
Остроградського
.
Випуск
4/2009 (57).
Частина
2
40
Таблица
3 –
Снимок
интерационного
процесса
A
B
C
D
E
F
30
-4,2
-4,369067
0,8
0,736
3,7
3,706004
31
-4,369067
-4,41869
0,736
0,729335
3,706004
3,70848
32
-4,41869
-4,433045
0,729335
0,728703
3,70848
3,7095
33
-4,433045
-4,437181
0,728703
0,728644
3,7095
3,70992
34
-4,437181
-4,438371
0,728644
0,728638
3,70992
3,710093
35
-4,438371
-4,438713
0,728638
0,728638
3,710093
3,710164
36
-4,438713
-4,438812
0,728638
0,728638
3,710164
3,710193
37
-4,438812
-4,43884
0,728638
0,728638
3,710193
3,710205
38
-4,43884
-4,438848
0,728638
0,728638
3,710205
3,71021
39
-4,438848
-4,438850
0,728638
0,728638
3,71021
3,710212
40
-4,43885
-4,438851
0,728638
0,728638
3,710212
3,710213
41
-4,438851
-4,438851
0,728638
0,728638
3,710213
3,710213
42
-4,438851
-4,438851
0,728638
0,728638
3,710213
3,710213
43
-4,438851
-4,438851
0,728638
0,728638
3,710213
3,710214
Выводы
.
Показана
возможность
эффективного
применения
циклических
ссылок
MS Excel
при
ре
-
шении
алгебраических
уравнений
высшего
поряд
-
ка
.
Решена
проблема
сходимости
итерационного
процесса
с
применением
циклических
ссылок
.
Подробно
рассмотрен
конкретный
пример
с
де
-
тальным
обсуждением
вопроса
сходимости
.
Практическое
значение
-
по
изложенной
в
ста
-
тье
методике
можно
применить
циклические
ссыл
-
ки
MS Excel
для
эффективного
решения
алгебраи
-
ческих
и
трансцендентных
уравнений
,
суммирова
-
ния
числовых
и
степенных
рядов
,
вычисления
,
представленных
степенными
рядами
,
функций
с
заданной
точностью
,
решения
ряда
экономических
задач
(
например
,
получения
чистой
прибыли
).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Додж
М
.,
Стинсон
К
.
Эффективная
работа
с
Microsoft Excel 2000. –
СПб
.:
Питер
, 2002. – 1056
с
.
2.
Ларсен
Р
.
Инженерные
расчеты
в
Excel. –
М
.:
«
Вильямс
», 2002. – 544
с
.
3.
Луговой
А
.
В
.,
Путятин
Е
.
П
.,
Смагин
Д
.
М
.,
Степанов
В
.
П
.
Численные
методы
решения
задач
на
персональных
компьютерах
. –
Кременчуг
:
КГПУ
, 2003. – 540
с
.
4.
Путятин
Е
.
П
.,
Смагин
Д
.
М
.,
Степанов
В
.
П
.
«
Турбо
Паскаль
в
курсе
высшей
математики
. –
Харьков
: «
Каравелла
», 1997. – 352
с
.
5.
Уокенбах
Дж
.
Подробное
руководство
по
созданию
формул
в
Excel 2003. –
М
.: «
Вильямс
»,
2005. – 640
с
.
Стаття
надійшла
07.05.2009
р
.
Рекомендовано
до
друку
,
доц
.
Сисюком
Г
.
Ю
.