Файл: Некоторые задачи для вечернего отделения третьего факультета от каф 311.pdf
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c
È. À. Øèëèí, 2011. Íåêîòîðûå çàäà÷è äëÿ ñòóäåíòîâ-âå÷åðíèêîâ òðåòüåãî ôà-
êóëüòåòà îò êàôåäðû 311
Íàïèøèòå îäíó èç âîçìîæíûõ ôîðìóë äëÿ
n
-íîãî ÷ëåíà ðÿäà:
1.
1 +
1
5
+
1
9
+
1
13
+
. . .
. 2.
1
−
1
4
+
1
9
−
1
16
+
1
25
+
. . .
. 3.
1
2
−
1
6
+
1
12
−
1
20
+
1
30
−
1
42
+
. . .
.
4.
2 +
2
2
1
·
2
+
2
3
1
·
2
·
3
+
2
4
1
·
2
·
3
·
4
+
. . .
. 5.
1
−
2
·
4
1
·
3
+
2
·
4
·
6
1
·
3
·
5
−
2
·
4
·
6
·
8
1
·
3
·
5
·
7
+
. . .
.
Íàïèøèòå 5 ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà:
6.
u
n
:=
3
n
+2
n
2
+4
. 7.
u
n
:= (
−
1)
n n
−
1
2
n
+3
.
Âû÷èñëèòå ñóììó ðÿäà:
8.
∞
P
n
=2
ln 1
−
1
n
2
. 9.
∞
P
n
=2
ln
1
−
2
n
(
n
+1)
. 10.
arctg
1
2
+ arctg
1
8
+ arctg
1
18
+ arctg
1
32
+
. . .
.
Ïîäñêàçêà: Âîñïîëüçóéòåñü ôîðìóëîé
arctg
x
±
arctg
y
= arctg
x
±
y
1
∓
xy
.
Íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòè÷íîé ñóììû
s
n
, âû÷èñëèòå ñóììó
S
è ïîëó÷èòå ôîðìóëó äëÿ
n
-íîãî îñòàòêà
r
n
:
11.
1
1
·
4
+
1
4
·
7
+
. . .
+
1
(3
n
−
2)(3
n
+1)
+
. . .
. 12.
3
1
2
·
2
2
+
5
2
2
·
3
2
+
. . .
+
2
n
+1
n
2
(
n
+1)
2
+
. . .
.
13.
2
1
·
2
·
3
+
2
2
·
3
·
4
+
. . .
+
2
n
(
n
+1)(
n
+2)
+
. . .
. 14.
arctg
1
3
+ arctg
1
7
+
. . .
+ arctg
1
n
2
+
n
+1
+
. . .
.
Ïðèìåíÿÿ óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ñõîäèìîñòè ðÿäà, óñòàíîâèòå, êàêèå
èç ðÿäîâ çàâåäîìî ðàñõîäÿòñÿ:
15.
0
,
001 +
√
0
,
001 +
3
√
0
,
001 +
. . .
+
n
√
0
,
001 +
. . .
. 16.
3
4
+
5
6
+
7
8
+
9
10
+
. . .
.
17.
q
3
2
+
q
4
3
+
q
5
4
+
q
6
5
+
. . .
. 18.
1
√
2
+
1
√
4
+
1
√
6
+
1
√
8
+
. . .
.
19.
2
3
+
4
9
+
6
27
+
8
81
+
. . .
. 20.
1
1001
+
2
2001
+
3
3001
+
4
4001
+
. . .
.
Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ ÷àñòè÷íîé ñóììû
s
n
; åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ, âû÷èñëèòå åãî ñóììó:
21.
∞
P
n
=1
1
4
n
2
−
1
. 22.
∞
P
n
=1
2
n
+1
n
2
(
n
+1)
2
. 23.
∞
P
n
=1
ln 1 +
1
n
.
Óñòàíîâèòå ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ:
24.
1
1001
+
1
2001
+
. . .
+
1
1000
n
+1
+
. . .
. 25.
1
2
+
2
5
+
3
10
+
4
17
+
. . .
.
26.
3
1
·
4
+
5
4
·
9
+
7
9
·
16
+
9
16
·
25
+
. . .
. 27.
1
√
2
+
1
√
3
+
1
√
4
+
1
√
5
+
. . .
.
28.
sin
2
α
+
sin
2
2
α
8
+
sin
2
3
α
27
+
sin
2
4
α
64
+
. . .
. 29.
1 +
1
2
·
5
+
1
3
·
5
2
+
1
4
·
5
3
+
. . .
.
30.
5
2
+
25
12
+
. . .
+
5
n
2
n
(2
n
−
1)
+
. . .
. 31.
tg
π
4
+ tg
π
8
+ tg
π
12
+ tg
π
16
+
. . .
.
32.
1
2
+
1
6
+
1
10
+
1
14
+
. . .
. 33.
ln 2 +
ln 3
4
√
2
5
+
ln 4
4
√
3
5
+
ln 5
4
√
4
5
+
. . .
.
34.
q
1
2
+
q
2
17
+
q
3
82
+
. . .
+
q
n
n
4
+1
+
. . .
.
Óñòàíîâèòå ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà ñ ïîìîùüþ ðàäèêàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè:
35.
∞
P
n
=1
1
3
n
n
+1
n
n
2
. 36.
∞
P
n
=1
n
+1
2
n
−
1
n
. 37.
arcsin 1 + arcsin
2 1
2
+ arcsin
3 1
3
+ arcsin
4 1
4
+
. . .
.
Óñòàíîâèòå ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Äàëàìáåðà:
38.
2 +
2
·
5
1
·
5
+
2
·
5
·
8
1
·
5
·
9
+
· · ·
+
2
·
5
·
8
...
(3
n
−
1)
1
·
5
·
9
...
(4
n
−
3)
+
. . .
. 39.
1 +
1
·
4
3!!
+
1
·
4
·
7
5!!
+
. . .
+
1
·
4
·
7
...
(3
n
−
2)
(2
n
−
1)!!
+
. . .
.
40.
∞
P
n
=1
2
n
n
2
. 41.
∞
P
n
=1
n
!
n
n
. 42.
∞
P
n
=1
(
n
!)
2
3
n
2
.
Óñòàíîâèòå ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè:
43.
1
2 ln 2
+
1
3 ln 3
+
1
4 ln 4
+
1
5 ln 5
+
. . .
. 44.
1
2 ln 2 ln ln 2
+
1
3 ln 3 ln ln 3
+
1
4 ln 4 ln ln 4
+
1
5 ln 5 ln ln 5
+
. . .
.
45.
ln 2
4
+
ln 3
9
+
ln 4
16
+
ln 5
25
+
. . .
. 46.
∞
P
n
=1
1
√
n
ln
n
+1
n
−
1
. 47.
∞
P
n
=1
1
n
√
n
+1
.
48.
∞
P
n
=1
1
(
n
+1) ln
3
(
n
+1)
. 49.
∞
P
n
=1
ln(
n
+1)
(
n
+1)
2
.
Ïðèìåíÿÿ ëèáî óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ñõîäèìîñòè, ëèáî ïðèçíàê ñðàâ-
íåíèÿ, óñòàíîâèòå ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà:
50.
∞
P
n
=1
2
n
n
+2
n
. 51.
∞
P
n
=1
2
n
2
−
1
n
5
+3
. 52.
∞
P
n
=1
1
√
2
n
2
−
1
. 53.
∞
P
n
=1
5
n
√
n
+10
n
. 54.
∞
P
n
=1
ln 1 +
1
5
n
.
1
Ïðèìåíÿÿ ëèáî ïðèçíàê Äàëàìáåðà, ëèáî ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè, èññëåäóéòå ñõîäèìîñòü
ðÿäà:
55.
∞
P
n
=1
1
ln
n
(
n
+4)
. 56.
∞
P
n
=1
7
n
2+1
5
n
2 3
√
n
. 57.
∞
P
n
=1
1
·
5
·
9
·
...
·
(4
n
−
3)
2
·
4
·
6
·
...
·
2
n
. 58.
∞
P
n
=1
10
n
+1
n
n
. 59.
∞
P
n
=1
n
+1
3
n
−
1
n
.
Óñòàíîâèòå ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà:
60.
1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
. . .
. 61.
1
1
·
4
+
1
4
·
7
+
1
7
·
10
+
1
10
·
13
+
. . .
.
62.
1
3
+
4
9
+
9
19
+
. . .
+
n
2
2
n
2
+1
+
. . .
. 63.
3
2
2
·
3
2
+
5
3
2
·
4
2
+
7
4
2
·
5
2
+
9
5
2
·
6
2
+
. . .
.
64.
3
4
+
5
7
2
+
7
10
3
+
9
13
4
+
. . .
. 65.
∞
P
n
=1
2
n
+1
3
n
+1
n
2
. 66.
∞
P
n
=1
2
n
−
1
n
n
.
67.
∞
P
n
=1
2
n
−
1
(
n
−
1)!
. 68.
∞
P
n
=2
1
n
√
n
−
1
. 69.
∞
P
n
=1
n
2
+1
n
3
. 70.
∞
P
n
=1
3
n
n
·
2
n
.
Âûÿñíèòå, ñõîäèòñÿ ëè ðÿä àáñîëþòíî, óñëîâíî èëè ðàñõîäèòñÿ:
71.
1
−
1
2
3
√
2
+
1
3
3
√
3
−
1
4
3
√
4
+
. . .
. 72.
3
1
−
4
2
+
5
3
−
6
4
+
. . .
. 73.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
+1
1
(2
n
−
1)
3
.
74.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
1
4
√
n
. 75.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
−
1 2
n
+1
n
(
n
+1)
. 76.
∞
P
n
=2
(
−
1)
n
ln
n
n
.
77.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
−
1
(2
n
+1)!!
2
·
5
·
8
·
...
·
(3
n
−
1)
. 78.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
−
1 1
·
4
·
7
·
...
·
(3
n
−
2)
7
·
9
·
11
·
...
·
(2
n
+5)
. 79.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
n
sin
π
n
.
80.
∞
P
n
=1
(
−
1)
n
n
cos
π
n
. 81.
1
√
2
−
1
−
1
√
2+1
+
1
√
3
−
1
−
1
√
3+1
+
. . .
+
1
√
n
−
1
−
1
√
n
+1
+
. . .
.
Ïîäñêàçêà: Ñãðóïïèðóéòå ïåðâûé ÷ëåí ñî âòîðûì, òðåòèé ñ ÷åòâåðòûì è ò. ä. Ïîòîì íàéäèòå âûðàæå-
íèå äëÿ ÷àñòè÷íîé ñóììû
˜
s
n
ïîëó÷èâøåãîñÿ ðÿäà îíî æå áóäåò ÷àñòè÷íîé ñóììîé
s
2
n
èñõîäíîãî ðÿäà.
Ýòî âûðàæåíèå è ïîäñêàæåò ðåøåíèå.
Óêàæèòå îáëàñòü àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà:
82.
1
x
+
2
x
2
+
3
x
3
+
4
x
4
+
. . .
. 83.
1
4
x
+
1
16
x
2
+
1
64
x
3
+
1
256
x
4
+
. . .
.
84.
∞
P
n
=1
1
n
x
. 85.
∞
P
n
=1
n
n
+1
x
2
x
+1
n
. 86.
∞
P
n
=1
x
n
1
−
x
n
. 87.
∞
P
n
=1
1
·
3
·
...
·
(2
n
−
1)
2
·
4
·
...
·
2
n
2
x
1+
x
2
n
.
88.
∞
P
n
=1
h
x
(
x
+
n
)
n
i
n
. 89.
∞
P
n
=1
x
2
n
1+
x
2
n
+1
. 90.
∞
P
n
=1
x
n
(1+
x
)(1+
x
2
)(1+
x
4
)
...
(1+
x
2
n
−
1
)
.
91.
∞
P
n
=1
x
n
(1+
x
)(1+
x
2
)
...
(1+
x
n
)
. 92.
∞
P
n
=1
2
n
sin
n
x
n
2
. 93.
∞
P
n
=1
tg
n
x
n
. 94.
∞
P
n
=1
sin(2
n
+1)
x
(2
n
−
1)
2
.
95.
sin
x
+ 2 sin
x
3
+ 4 sin
x
9
+ 8 sin
x
27 +
. . .
.
Óêàæèòå îáëàñòè ñõîäèìîñòè ðÿäà è íàéäèòå åãî ñóììó:
96.
x
+ (
x
2
−
x
) + (
x
3
−
x
2
) + (
x
4
−
x
3
) + (
x
5
−
x
4
) +
. . .
.
97.
1
(
x
+1)(
x
+2)
+
1
(
x
+2)(
x
+3)
+
1
(
x
+3)(
x
+4)
+
1
(
x
+4)(
x
+5)
+
. . .
.
Ïîäñêàçêà: Â çàäàíèè ðàññìîòðèòå îñòàòîê
r
1
ðÿäà, à â çàäàíèè 3 êàæäóþ äðîáü ïðåäñòàâüòå â âèäå
ñóììû ïðîñòåéøèõ äðîáåé.
ÎÒÂÅÒÛ
Ðÿäû. Äëÿ êðàòêîñòè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
"ðÿä ñõîäèòñÿ",
"ðÿä ðàñõîäèò-
ñÿ",
"ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî"è
"ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî". Íàïðèìåð, çàïèñü
(0; +
∞
)
îçíà÷àåò
àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà íà ëó÷å
x >
0
. 8.
ln
1
2
. 9.
ln
1
3
. 10.
π
4
. 11.
s
n
=
n
3
n
+1
, S
=
1
3
, r
n
=
1
3(3
n
+1)
.
12.
s
n
=
n
2
+2
n
(
n
+1)
2
, S
= 1
, r
n
=
1
(
n
+1)
2
. 13.
s
n
=
n
2
+3
n
2(
n
+1)(
n
+2)
, S
=
1
2
, r
n
=
1
(
n
+1)(
n
+2)
. 14.
s
n
= arctg
n
n
+2
, S
=
π
4
, r
n
= arctg
1
n
+1
. 15.
. 16.
. 17.
. 18. Îòâåòà íåò. 19. Îòâåòà íåò. 20.
. 21.
s
n
=
n
2
n
+1
, S
=
1
2
.
22.
s
n
=
n
2
+2
n
(
n
+1)
2
, S
= 1
. 23.
s
n
= ln(
n
+ 1)
,
. 24.
. 25.
. 26.
. 27.
. 28.
. 29.
. 30.
. 31.
.
32.
. 33.
. 34.
. 35.
. 36.
. 37.
. 38.
. 39.
. 40.
. 41.
. 42.
. 43.
. 44.
. 45.
.
46.
. 47.
. 48.
. 49.
. 50.
. 51.
. 52.
. 53.
. 54.
. 55.
. 56.
. 57.
. 58.
. 59.
.
60.
. 61.
. 62.
. 63.
. 64.
. 65.
. 66.
. 67.
. 68.
. 69.
. 70.
. 71.
. 72.
. 73.
.
74.
. 75.
. 76.
. 77.
. 78.
. 79.
. 80.
. 81.
. 82.
|
x
|
>
1
. 83.
|
x
|
>
1
4
. 84.
x >
1
. 85.
x
∈
(
−∞
;
−
1)
∪ −
1
3
; +
∞
. 86.
|
x
|
<
1
. 87.
|
x
| 6
= 1
è
x
=
−
1
. 88.
|
x
|
<
1
. 89.
|
x
|
<
1
. 90.
x
6
=
−
1
. 91.
x
6
=
−
1
. 92.
|
x
−
πk
|
6
π
6
, k
∈
Z
. 93.
|
x
−
πk
|
<
π
4
, k
∈
Z
è
x
=
−
π
4
+
πn, n
∈
Z
.
94.
(
−∞
; +
∞
)
. 95.
(
−∞
; +
∞
)
. 96. Ïðè
x
∈
(
−
1; 1)
S
= 0
; ïðè
x
= 1
S
= 1
. 97. Ïðè
x
6
=
−
n, n
∈
N
,
S
=
1
x
+1
.
2
