Файл: Двойные углы 3 Sin2X Рассмотрим выражение sin2x представим его аргумент в виде 2xxx и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов.docx

являет собой условие,
необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n=(A, B, C) и M₀M=(x−x0, y−y0, z−z0). Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x−x0) + B(y−y0) + C(z−z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z)задает плоскость,
у которой нормальный вектор n=(A, B, C). При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0).
Иначе говоря, уравнение A(x−x0) + B(y−y0) + C(z−z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость.
Теорема доказана полностью.

Теорема плоскости в отрезках:
Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т. е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и C(0;0;c)(см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем



Раскрыв определитель, имеем  , т. е. или

(12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

---

Вопрос 21

1 )Векторное уравнение прямой:Пусть для прямой  известны ее направляющий вектор и точка , лежащая на этой прямой. Пусть произвольная (текущая) точка прямой . Обозначим через и r  радиус-векторы точек  и соответственно.

Тогда вектор  коллинеарен вектору p  и, следовательно,  , где -- некоторое число.
видно, что

Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра  мы будем получать новую точку на прямой .

---

2)Параметрические уравнения прямой: Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.
Допустим, нам задана прямоугольная система координат Oxy. А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точкиМ1(x1, y1) и направляющий вектор заданной прямой a= (ax, ay). Дадим описание заданной прямой a, используя уравнения.
Используем произвольную точку М (x, y) и получим вектор М1М→;
вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M1M=(x-x1, y-y1).
Опишем полученное: прямая задана множеством точек М (x, y), проходит через точку М1(x1, y1)и имеет направляющий вектор a= (ax, ay). Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M1M→=(x-x1, y-y1) и a= (ax, ay) являются коллинеарными. Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов −−−→M1M=(x−x1, y−y1)M1M→=(x-x1, y-y1) и →a= (ax, ay)a→= (ax, ay) возможно записать в виде уравнения:
−−−→M1M=λ⋅→aM1M→=λ·a→, где λλ – некоторое действительное число.

1)Каноническое уравнение прямой
Определение. Любой вектор, отличный от нулевого, параллельный заданной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть на прямой  задана точка , а вектор – направляющий вектор прямой . Точка принадлежит прямой, если вектор параллелен вектору : . (12)

Уравнение (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяется как угол между направляющими векторами этих прямых:

.

Условием параллельности прямых будет условие коллинеарности их направляющих векторов:

---

|| .

Условие перпендикулярности прямых равносильно условию равенства нулю скалярного произведения их направляющих векторов:

 .

2) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой: .
  Кроме того, для точки М₁ можно записать: .
 Решая совместно эти уравнения, получим: .
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

3)Общее уравнения прямой
Если на плоскости введена ПДСК, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат  и , (5)

где  и одновременно не равны нулю, определяет прямую.

Верно и обратное утверждение: в ПДСК любая прямая может быть задана уравнением первой степени вида (5).

Уравнение вида (5) называется общим уравнением прямой. Частные случаи уравнения (5) приведены в следующей таблице

Вопрос 20

34. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Угол  между нормальными векторами =(A ;B ; C ) и =(A₂;B₂; C₂) плоскостейQ₁иQ₂ равен углу между этими плоскостями. Поэтому

---

 или  .

Пример: Заданы две плоскости и(ABM): -4x-5y+5z-12=0.

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные вектора тоже будут перпендикулярны, т. е.  . Но тогда , т. е.  =0. Это равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали   и  . Тогда координаты векторов пропорциональны:
. Это есть условие параллельности двух плоскостей.

Вопрос 22

1)Угол между прямыми: Пересекающиеся прямые l и l₁ образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.

Если прямые скрещиваются (l₂ и l₃ ), то в углом между прямыми называется угол между пересекающимися прямыми (l₂ и m ), который получается в результате параллельного переноса одной из прямых ( l₃ ) так, чтобы она пересекала вторую прямую.
В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых   или 180⁰ -   .

Пусть направляющие вектора прямых заданы своими координатами   и   .

Тогда для вычисления величины угла между прямыми получаем формулу:

---