5. Множество вещественных чисел. Аксиома полноты множества вещественных чисел. Модуль вещественного числа и его геометрический смысл. Свойства модуля. Изображение вещественных чисел допустимыми десятичными дробями. Символы +∞, -∞, ∞. Расширенная числовая прямая. Промежутки. Окрестности. Сокращённые обозначения для сумм, произведений, объединений и пересечений.

Аксиома полноты числовой прямой.

Пусть есть два множества и если выполняется тогда выполняется . Это свойство называется свойством полноты или непрерывности числовой прямой.

13. Единственность предела.

Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пусть - сходящаяся последовательность. Докажем, что она имеет единственный предел.

Предположим противное, а именно, что , причём .

Для определённости укажем, что .

Возьмём > 0.

=>

=>

должны выполняться неравенства и Т.к. , то неравенства принимают вид:

получили противоречие, что опровергает предположении и тем самым доказывает теорему.

15. Теорема о промежуточной последовательности.

Пусть даны три последовательности {} {} {}. Начиная с некоторого номера они связаны неравенством . Кроме того , то и .

:

=>

=>

, что означает, что . Что и требовалось доказать.

18. Арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей (доказательство утверждения о пределе частного).

Для того, чтобы предел последовательности был равен A, необходимо и достаточно, чтобы

была бесконечно малой.

Об арифметических свойствах предела последовательности.

Пусть {} {} – сходящиеся последовательности, причём и

Тогда сходятся и последовательности вида {} и {}, причём и .

Если кроме того , то сходится и последовательность вида , причём

Доказательство утверждения о пределе частного.

- по предыдущей теореме.

– бесконечно малая.

– бесконечно малая.

Докажем, что – ограниченная.

[@]

– ограниченная последовательность, а значит - бесконечно малая.

24. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, если она удовлетворяет следующему условию: [@] или

Другими словами с увеличением номеров члены последовательности неограниченно приближаются друг к другу.

Критерий Коши сходимости числовых последовательностей.

Для того, чтобы последовательность сходилось, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

1. Необходимость. – фундаментальная.

2. Достаточность. {} – фундаментальна. Доказать:

Докажем ограниченность {}.

Из фундаментальности следует:

∀

Пусть

, что означает ограниченность , а значит и то, что что и требовалось доказать.

27. Первое, второе определение верхнего и нижнего предела последовательности. Эквивалентность первого и второго определений(без доказательства). Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности в терминах верхнего и нижнего пределов.

---

30. Определение Коши непрерывности функции в точке. Случаи изолированной точки и предельной точки области определения функции. Односторонняя непрерывность. Теорема о сохранении знака непрерывной в точке функции и в окрестности этой точки. Точки разрыва функции и их классификация.

Пусть определена на . Функция называется непрерывной в точке , если выполняется следующее условие:

Из этого определения следует:

1. Если - предельная точка, то функция f непрерывная в точке непрерывна на D.

2. Если ( – предельная), то непрерывность f в точке означает, что

Если f(x) определена в окрестности , то для её непрерывности необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна и слева и справа.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции.

Пусть определена на (или < 0) , тогда , .

1) Пусть , пусть [@]

2) Пусть - аналогично с пунктом 1.

33. Предел и непрерывность суперпозиции функций.

Пусть y=f(x) определена на D, - предельная точка. Пусть пусть на тогда

Воспользуемся определением Гейне. Пусть есть . [@] По условию

, ч.т.д.

Пусть .

36. Первый замечательный предел. Следствия.

В тригонометрическом круге проведем ось тангенсов. Построим луч, соединяющий центр круга с точкой х, достроим его так, чтобы он пересекал ось тангенсов. О – центр окружности. М – точка х на круге. Р – точка пересечения луча с осью тангенсов, К – точка пересечения оси тангенсов с осью косинусов.

.

переходим к пределу.

Следствия:

[@]

---

Смотрите также файлы

• Бланк 68.doc

• Бланк 16.doc

• Бланк 56.doc

• Бланк 13.doc

• Бланк 33.doc