ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.03.2021
Просмотров: 162
Скачиваний: 1
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ
.
1. Показать, что дивергенция векторного поля
−
→
a
= (
a
r
, a
ϑ
, a
ϕ
)
в сферической
системе координат
r, θ, ϕ
имеет вид:
div
−
→
a
=
1
r
2
·
∂
∂r
(
r
2
·
a
r
) +
1
r
·
sin
θ
·
∂
∂θ
(sin
θ
·
a
θ
) +
1
r
·
sin
θ
·
∂a
ϕ
∂ϕ
.
2. Показать, что дивергенция векторного поля
−
→
a
= (
a
r
, a
ϕ
, a
z
)
в цилиндриче-
ской системе координат
r, ϕ, z
имеет вид:
div
−
→
a
=
1
r
·
∂
∂r
(
r
·
a
r
) +
1
r
·
∂a
ϕ
∂ϕ
+
∂a
z
∂z
.
3. Показать, что компоненты ротора векторного поля
−
→
a
= (
a
r
, a
ϑ
, a
ϕ
)
в сфе-
рической системе координат
r, θ, ϕ
имеет вид:
rot
r
−
→
a
=
1
r
·
sin
θ
n
∂
∂θ
(
a
ϕ
·
sin
θ
)
−
∂a
θ
∂ϕ
o
,
rot
θ
−
→
a
=
1
r
·
sin
θ
n
∂a
r
∂ϕ
−
∂
∂r
(
r
·
sin
θ
·
a
ϕ
)
o
,
rot
ϕ
−
→
a
=
1
r
n
∂
∂r
(
r
·
a
θ
)
−
∂a
r
∂θ
o
.
4. Показать, что компоненты ротора векторного поля
−
→
a
= (
a
r
, a
ϕ
, a
z
)
в ци-
линдрической системе координат
r, ϕ, z
имеет вид:
rot
r
−
→
a
=
1
r
∂a
z
∂ϕ
−
∂a
ϕ
∂z
,
rot
ϕ
−
→
a
=
∂a
r
∂z
−
∂a
z
∂r
,
rot
z
−
→
a
=
1
r
n
∂
∂r
(
r
·
a
ϕ
)
−
∂a
r
∂ϕ
o
.
Доказать равенства:
5.
rot grad u
=
−
→
0
.
6.
div rot
−
→
a
= 0
.
7.
rot rot
−
→
a
=
grad div
−
→
a
− ∇
2
−
→
a
.
8.
grad
(
u
·
v
) =
u
·
grad v
+
v
·
grad u
.
9.
div
(
u
· −
→
a
) = (
−
→
a , grad u
) +
u
·
div
−
→
a
.
10.
rot
(
u
· −
→
a
) =
u
·
rot
−
→
a
+ [
grad u,
−
→
a
]
.
11.
div
[
−
→
a ,
−
→
b
] = (
−
→
b , rot
−
→
a
)
−
(
−
→
a , rot
−
→
b
)
.
12.
grad
(
−
→
a ,
−
→
b
) = [
−
→
b , rot
−
→
a
] + [
−
→
a , rot
−
→
b
] + (
−
→
b ,
∇
)
−
→
a
+ (
−
→
a ,
∇
)
−
→
b
.
13.
rot
[
−
→
a ,
−
→
b
] = (
−
→
b ,
∇
)
−
→
a
−
(
−
→
a ,
∇
)
−
→
b
+
−
→
a
·
div
−
→
b
−
−
→
b
·
div
−
→
a
.
1
14.
div
−
→
r
= 3
.
15.
rot
−
→
r
=
−
→
0
.
16.
(
−
→
a ,
∇
)
−
→
r
=
−
→
a
.
17.
div
−
→
a
(
r
) =
1
r
(
−
→
r ,
−
→
a
0
(
r
))
.
18.
rot
−
→
a
(
r
) =
1
r
[
−
→
r ,
−
→
a
0
(
r
)]
.
19.
div
(
r
· −
→
c
) =
1
r
(
−
→
r ,
−
→
c
);
−
→
c
−
const
.
20.
div
−
→
r
r
=
2
r
.
21.
div
−
→
r
r
3
= 0
.
22.
div
³
−
→
b
·
(
−
→
r ,
−
→
a
)
´
= (
−
→
a ,
−
→
b
);
−
→
a ,
−
→
b
−
const
.
23.
div
(
−
→
r
·
(
−
→
r ,
−
→
a
)) = 4 (
−
→
r ,
−
→
a
);
−
→
a
−
const
.
24.
div
(
u
(
r
)
· −
→
r
) = 3
u
(
r
) +
r
·
u
0
(
r
)
.
25.
rot
(
u
(
r
)
· −
→
r
) =
−
→
0
.
26.
div
(
u
(
r
)
· −
→
a
(
r
)) =
u
(
r
)
r
(
−
→
r ,
−
→
a
0
(
r
)) +
1
r
·
u
0
(
r
)
·
(
−
→
r ,
−
→
a
)
.
27.
rot
(
u
(
r
)
· −
→
a
(
r
)) =
1
r
·
u
0
(
r
)
·
[
−
→
r ,
−
→
a
] +
u
(
r
)
r
·
[
−
→
r ,
−
→
a
0
(
r
)]
.
28.
rot
[
−
→
a ,
−
→
r
] = 2
−
→
a
;
−
→
a
−
const
.
29.
div
[
−
→
a ,
−
→
r
] = 0;
−
→
a
−
const
.
30.
div
[
−
→
r ,
[
−
→
a ,
−
→
r
] ] =
−
2(
−
→
r ,
−
→
a
);
−
→
a
−
const
.
31.
rot
[
−
→
r ,
[
−
→
a ,
−
→
r
] ] = 3[
−
→
r ,
−
→
a
];
−
→
a
−
const
.
32.
grad
³
−
→
a
(
r
)
,
−
→
b
(
r
)
´
=
−
→
r
r
·
³
(
−
→
a
0
(
r
)
,
−
→
b
(
r
)) + (
−
→
a
(
r
)
,
−
→
b
0
(
r
))
´
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Будак Б.М, Фомин С.В.
Кратные интегралы и ряды
. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002. – 512 с.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г.
Основы математического анализа. Часть II.
– М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 464 с.
3.
Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких
переменных.
/Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 472 с.
2
