Файл: Содержание Что нужно знать о огэ по математике 4.pdf

после снижения цены
20 10 100
· 20 = 20 2 = 18,
и сказать, что 18 · 8 = 144, а 18 · 9 = 162. Значит, 8 поездок можно будет совершить, а 9 – уже нет. Поэтому ответ – 8.
Фактически мы поделили 150 на 18 и отбросили дробную часть
(округлили вниз).
Во второй задаче мы получаем, что за пять дней один участ- ник получает 200 г сахара, а значит, одной пачки хватает на пятерых школьников. Далее, 36·5 = 180, а 37·5 = 185. Поэто- му 36 пачек ещё не хватит, а 37 – хватит. Поэтому ответ – 37.
Фактически мы поделили 181 на 5 и округлили вверх.
Чтобы не сделать ошибки в задании #7 нужно внима- тельно прочитать условие и четко понять, что именно просят найти. Нужно понять в какую сторону требует- ся округлить и почему.
Задание #8.
Проверяемый навык – �Анализировать реаль- ные числовые данные, представленные в таблицах, на диа- граммах, графиках�.
Рассмотрим один пример.
18

Завуч школы подвёл итоги контрольной работы по ма- тематике в девятых классах. Результаты представлены на круговой диаграмме. Какие из утверждений отно- сительно результатов контрольной работы верны, если всего в школе 120 девятиклассников? В ответе укажите номера верных утверждений.
1. Более половины учащихся получили отметку �3�.
2. Около половины учащихся отсутствовали на кон- трольной работе или получили отметку �2�.
3. Отметку �4� или �5� получила примерно шестая часть учащихся.
4. Отметку �3�, �4� или �5� получили более 100
учащихся.
1. “Более половины учащихся получили отметку �3�”. Да.
Видно, что белая часть – это больше половины круга.
2. “Около половины учащихся отсутствовали на контроль- ной работе или получили отметку �2�”. Нет.
Видно, что таких учащихся чуть больше четверти.
3. “Отметку �4� или �5� получила примерно шестая часть
19

учащихся”. Да.
4. “Отметку �3�, �4� или �5� получили более 100 учащих- ся”. Нет.
Мы видим, что больше четверти учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку �2�, то есть их больше, чем 120/4 = 30. Значит, оставшихся меньше, чем 90.
Задание
#9
Проверяемый навык – �Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; срав- нивать шансы наступления случайных событий, оценивать ве- роятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуацией с использованием аппарата веро- ятности и статистики�.
Это несложная задача на теорию вероятностей. Для решения этой задачи нужно знать:
• классическое определение вероятности;
• вероятность наступления одного из нескольких несовмест- ных событий (то есть тех, которые не могут произойти одновременно) равна сумме их вероятностей;
• вероятность того, что последовательно наступят два неза- висимых события (то есть таких, что вероятность наступ- ления одного не зависит от того, наступило ли второе или нет) равна произведению их вероятностей.
20

Вероятностью случайного события A называется отно- шение количества n равновероятных элементарных со- бытий, составляющих событие A, к количеству всех воз- можных элементарных событий N:
P (A) =
n
N
Типичная задание на этой позиции выглядит так.
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: четы- ре с мясом, восемь с капустой и три с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Нужно только заметить, что есть 15 равноправных исходов,
из которых нам подходят 3. Значит вероятность равна
3 15
=
1 5
= 0,2.
Задание #10.
Проверяемый навык – �Уметь строить и чи- тать графики функции�.
Для того чтобы уверенно решать это задание, нужно уметь
�читать�, строить или хотя бы отличать друг от друга гра- фики линейной функции, квадратичной функции и график обратной пропорциональности. То есть прямую,
параболу и
гиперболу.
Типичное задание на этой позиции выглядит так.
21

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А
Б
В
1 2
3 4
y = x
2
y =
x
2
y =
p x y =
2
x
Задание #11.
Проверяемый навык – �Уметь работать с чис- ловыми последовательностями�.
На этой позиции может быть любая несложная задача про последовательность, но чаще всего встречаются задания на арифметическую или геометрическую прогрессию
. Все основные факты о них есть в
Справочных материалах
. Но чаще всего можно обойтись и без них, достаточно лишь знать,
что такое арифметическая и геометрическая прогрессии.
Рассмотрим задачу.
22

Дана арифметическая прогрессия: 4; 2; 0; ... Найдите сумму первых десяти ее членов.
Проще всего выписать первые 10 членов:
4;
2; 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14,
и посчитать их сумму:
( 4) + ( 2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 =
= (( 4) + ( 2) + 0 + 2 + 4) + (6 + 14) + (8 + 12) + 10 =
= 0 + 20 + 20 + 10 = 50.
Задание #12.
Проверяемый навык – �Уметь выполнять пре- образования алгебраических выражений�.
В этом задании нужно преобразовать рациональное или ир- рациональные выражение. Для уверенного выполнения этого задания нужно уметь пользоваться формулами сокращенного умножения и знать основные свойства степеней.
В заданиях с буквенными выражениями часто можно немного
�считерить�
, и получить верный ответ не ре- шая честно задание. Дело в том, что мы заранее знаем,
что ответом будет число (таков формат ОГЭ). Значит,
выражение преобразуется так, что �буквы� не будут входить в ответ. А это означает, что при всех значениях
�букв� ответ один и тот же. Поэтому, для того чтобы его найти, достаточно подставить любые допустимые числа вместо �букв�.
23

Рассмотрим типичный пример.
Найдите значение выражения
5
p x + 2
p x
2
p x
x при x > 0.
Честное решение.
5
p x + 2
p x
2
p x
x
=
5x + 2
p x
x
2
p x
x
=
=
5x + 2
p x
2
p x
x
=
5x x
= 5.
Нечестное решение.
Мы знаем, что ответ не зависит от x.
Подставим, например, x = 1. Получим
5
p x + 2
p x
2
p x
x
= 7 2 = 5.
Задание
#13
Проверяемый навык – �Осуществлять прак- тические расчеты по формулам, составлять несложные фор- мулы, выражающие зависимости между величинами�.
Это задание выглядит как задача по физике, геометрии или экономике, в которой кроме условия написали ещё и все фор- мулы, которые нужно использовать. По сути для ее решения нужно преобразовать некоторое выражение (см. советы к за- данию
#12
) и решить простейшее уравнение (см. советы к заданию
#6
).
Рассмотрим один пример.
24

Период колебания математического маятника T (в се- кундах) приближенно можно вычислить по формуле
T = 2
p
`
, где ` – длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), пе- риод колебаний которого составляет 3 секунды.
Так как T = 2
p
`
, то ` =
T
2 4
=
9 4
= 2,25
метра.
Задание #14.
Проверяемый навык – �Уметь решать уравне- ния, неравенства и их системы�.
В этом задании требуется решить линейное или квадратное неравенство
, или их систему.
Рассмотрим один пример.
Решите систему неравенств
⇢
5x + 13 6 0,
x + 5
> 1.

На каком рисунке изображено множество ее решений?
25

Решим каждое из неравенств:
⇢
5x + 13 6 0,
x + 5
> 1;
()
⇢
5x
6 13,
x
> 1 5;
()
()
(
x
6 13 5
,
x
> 4;
()
4 6 x 6 2,6.
Поэтому верное множество изображено на втором рисунке.
Задание #15.
Проверяемый навык – �Описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные мо- дели с использованием геометрических понятии и теорем, ре- шать практические задачи, связанные с нахождением геомет- рических величин�.
Обычно это несложная геометрическая задача �из реальной жизни�, для решения которой достаточно знаний признаков и свойств подобия треугольников и теоремы Пифагора (и дру- гих фактов про прямоугольный треугольник
).
Рассмотрим один пример.
26

Лестницу длиной 3 метра прислонили к дереву. На ка- кой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец стоит от ствола дерева на расстоянии 1,8

метров?
В отмеченном прямоугольном треугольнике известен катет и гипотенуза.
27

Найдем третью сторону из теоремы Пифагора:
p
3 2
1,8 2
=
s
3 2
✓
9 5
◆
2
=
r
9 81 25
=
r
225 81 25
=
r
144 25
=
12 5
= 2,4.
Задания
##16–18
Проверяемый навык – �Уметь выпол- нять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами�.
Это совсем простая задача по планиметрии, которая обычно решается в одно действие. Она проверяет знание какого-то факта, теоремы или формулы. Проблема в том, что на этих позициях может встретиться задача на любую тему. При этом обычно
28

• задание 16 про соотношения в треугольниках и четырёх- угольниках;
• задание 17 про соотношения в окружностях;
• задание 18 про площадь.
Поэтому, чтобы уверенно их решать нужно (пусть и на совсем базовом уровне) знать всю классическую школьную планимет- рию (см.
Справочные материалы по геометрии
).
Задание
#19
Проверяемый навык – �Уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми�.
Обычно это несложная геометрическая задача про фигуры на координатной плоскости или на клетчатой бумаге. Для реше- ния этого задания достаточно знать:
• теорему Пифагора;
• формулы для площадей треугольника, параллелограмма и трапеции (хотя чаще всего можно обойтись формулой для площади прямоугольного треугольника);
• формулу для площади круга;
• связь между вписанным и центральным углами, опираю- щимися на общую дугу;
• определения синуса, косинуса и тангенса острых углов прямоугольного треугольника.
29

Задание #20.
Проверяемый навык – �Проводить доказа- тельные рассуждения при решении задач, оценивать логиче- скую правильность рассуждении, распознавать ошибочные за- ключения�.
В этом задании дано 3-4 геометрических утверждения, и тре- буется указать, какие из них верны, а какие – нет. Сложность этого задания в том, что факты могут быть на совершенно лю- бую тему из школьной геометрии. Нужно очень внимательно читать каждое утверждение, потому что чаще всего неверные утверждения – это какие-то верные факты, в которых замени- ли одно слово (например, радиус заменили на диаметр, внут- ренние односторонние – на внутренние накрест лежащие углы,
вписанный угол – на центральный, и т.п.). Поэтому при беглом прочтении сложно отличить неверное утверждение от верного.
Рассмотрим один пример.

Какие из следующих утверждений верны?
1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна
180 2. Если один из углов параллелограмма равен 60 , то противоположный ему угол равен 120 .
3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.
4. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – парал- лелограмм.
1. Утверждение �сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180 � – неверно.
30

Это у треугольника сумма углов равна 180 , а у четы- рехугольника она равна 360 .
2. Утверждение �если один из углов параллелограмма равен
60
, то противоположный ему угол равен 120 � – невер- но
Это соседний угол будет равен 120 , а противоположные углы у параллелограмма равны.
3. Утверждение �диагонали квадрата делят его углы попо- лам� – верно.
Каждая диагональ разрезает квадрат на два равнобед- ренных прямоугольных треугольника, поэтому она делит угол квадрата на два угла по 45 .
4. Утверждение �если в четырехугольнике две противопо- ложные стороны равны, то этот четырехугольник – па- раллелограмм� – неверно.
Верным является обратное утверждение – �в параллело- грамме две противоположные стороны равны�. Но легко себе представить четырехугольник с равными противо- положными сторонами, который не является параллело- граммом. Например, любая равнобокая трапеция удовле- творяет этому условию.
Задание #21.
Проверяемый навык – �Уметь выполнять пре- образования алгебраических выражений, решать уравнения,
неравенства и их системы, строить и читать графики функ- ции�.
На этой позиции может встретиться задача на преобразова- ние алгебраических выражений, уравнения, неравенства и их системы. Сложность этих задач обычно не выше, чем у задач
31

на эти темы из первой части. Дополнительная сложность за- ключается в том, что здесь требуется не только ответ, но и подробное обоснование.
Для ее решения помогут советы по заданиям
#1
,
#4
,
#6
,
#12
и
#14
Задание
#22
Проверяемый навык – �Уметь выполнять пре- образования алгебраических выражений, решать уравнения,
неравенства и их системы, строить и читать графики функ- ций, строить и исследовать простейшие математические моде- ли�.
Это не очень сложная текстовая задача на движение, на сов- местную работу или про сплавы/растворы. Для ее решения помогут советы по заданиям
#6
,
#7
и
#14
Вспомним полезные соображения, которые нужно знать при решении текстовых задач.
Движение по реке.
Скорость движения по течению реки равна v +u, а против течения она равна v u, где v – скорость в стоячей воде (собственная скорость) плавательного средства,
а u – скорость течения реки. Собственная скорость плота счи- тается равной нулю.
Совместное движение вдоль прямой.
Если два объекта в начальный момент времени находятся на расстоянии S и на- чинают двигаться навстречу друг другу с постоянными скоро- стями v и u, то они встретятся через время, равное t =
S
u + v
Если два объекта в начальный момент времени находятся на расстоянии S, и второй со скоростью u начинает догонять пер-
32

вого, двигающегося со скоростью v < u, то они встретятся через время, равное t =
S
u v
При решении задач на движение принято считать (ес- ли в условии не оговорено противное), что движение на отдельных участках равномерное (то есть скорости пе- шехода, велосипеда, автомобиля, лодки, течения реки и проч. не зависят от времени). Путь S, пройденный объ- ектом, определяется по формуле S = vt, где v – скорость объекта, а t – затраченное время; любое изменение ско- рости движущегося объекта (в том числе повороты и развороты) считается мгновенными, то есть происходит без затраты времени.
Задачи на работу.
В этих задачах рассматривается произ- водительность человеческого труда (рытье канавы, печатание рукописи, покраска забора) или производительность различ- ных механизмов (труб, насосов и проч.). При решении таких задач используется формула A = P t, где A – весь объем вы- полняемой работы, P – производительность труда, то есть объ- ем работы, выполняемый в единицу времени, t – время, необ- ходимое на выполнение всей работы.
Многие задачи на работу ничем не отличаются от задач на движение. Достаточно в условии заменить произво- дительность на скорость, а работу – на перемещение.
Иногда задача сводится к довольно сложному уравнению, не всегда нужно бросаться честно его решать. Иногда можно за-
33