Файл: Содержание Что нужно знать о огэ по математике 4.pdf

ранее угадать корень, а потом аккуратно обосновать, что это и есть ответ. Рассмотрим следующий пример.
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км,
развернулась, и пошла обратно в пункт отправления,
затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Если скорость течения реки равна u км/ч, то скорость лодки по течению равна 11+u км/ч, а скорость лодки против течения равна 11 u км/ч. Получаем уравнение:
112 11
u
112 11 + u
= 6.
Если решать это уравнение честно (привести к общему знаме- нателю и упростить), то получится довольно неприятное квад- ратное уравнение (3u
2
+ 112u
363 = 0
), при получении и решении которого велик риск ошибки.
Давайте поступим иначе. Скорее всего ответ целый и не очень большой (так как это скорость течения реки). Значит, 112
должно делиться на два числа, одно из которых чуть меньше
11, а другое – чуть больше. Легко заметить, что 112 делится на 8 и 14. При этом
112 8
112 14
= 14 8 = 6.
Значит, u = 3 – решение. После того как мы это поняли, дойдя до равенства
3u
2
+ 112u
363 = 0
достаточно написать, следующее.
34

Заметим, что u = 3 – решение. Действительно
3
· 3 2
+ 112
· 3 363 = 27 + 336 363 = 0.
Из теоремы Виета, произведение корней равно
363 3
=
121 < 0.
Значит, второй корень уравнения отрицательный, что не подходит под условие задачи.
Задание #23.
Проверяемый навык – �Уметь выполнять пре- образования алгебраических выражений, решать уравнения,
неравенства и их системы, строить и читать графики функ- ций, строить и исследовать простейшие математические моде- ли�.
Это довольно сложная задача, для решения которой нужно уметь
• упрощать алгебраические выражения;
• строить графики функций (прямая,
парабола
, гипербо- ла), в том числе, заданных кусочно;
• исследовать взаимное расположение этих графиков с пря- мыми.
Рассмотрим один пример.
35

Постройте график функции y =
|x + 3| + |x
5
| + x
1.
Определите, при каких значениях параметра m прямая y = m имеет ровно одну общую точку с этим графиком.
Для того, чтобы построить график функции y =
|x + 3| + |x
5
| + x
1,
�раскроем модули�:
|x + 3| =
⇢
x + 3,
если x
> 3;
x
3,
если x < 3.
|x
5
| =
⇢
x
5,
если x
> 5;
x + 5,
если x < 5.
Поэтому y =
8
<
:
x
3 + 5
x + x
1 =
x + 1,
при x < 3;
x + 3 + 5
x + x
1 = x + 7,
при x 2 [ 3, 5);
x + 3 + x
5 + x
1 = 3x
3,
при x
> 5.
Значит наш график состоит из трех �кусков� линейных функ- ций:
36

Из графика видно, что есть единственная горизонтальная пря- мая y = 4, пересекающая график функции в единственной точке.
Задание
#24
Проверяемый навык – �Уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми�.
На этой позиции может встретиться любая вычислительная задача по планиметрии. Сложность этих задач обычно не вы- ше, чем у планиметрических задач из первой части. Но здесь,
кроме ответа, требуется подробное обоснование.
Для ее решения помогут советы по заданиям
##16–18
Задание #25.
Проверяемый навык – �Проводить доказа- тельные рассуждения при решении задач, оценивать логиче-
37

скую правильность рассуждении, распознавать ошибочные за- ключения�.
В этом задании требуется доказать некоторый планиметриче- ский факт. У большинства школьников эта задача вызывает очень большие сложности. Дело в том, что многие умеют ре- шать только �вычислительные� планиметрические задачи, то есть задачи, где нужно найти длину отрезка, величину угла,
площадь фигуры или что-то ещё. А в этом задании обычно ни- чего вычислять не нужно, здесь требуется умение логически рассуждать и доказывать различные утверждения, опираясь только на аксиомы и известные теоремы.
Если вы хотите научиться логически рассуждать и чётко до- казывать планиметрические факты, то приучите себя каждый раз при решении любой задачи, после каждого сделанного ва- ми утверждения, спрашивать себя �а почему?�. Например,
• вы говорите: �такие-то углы равны, потому что они яв- ляются накрест лежащими при параллельных�, и сразу спрашиваете себя: �а почему накрест лежащие углы при параллельных равны?�;
• �так как сумма углов треугольника равна 180 , то . . . �, –
�а почему она равна 180 ?�;
• �так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу рав- ны�, – �а почему равны?�.
И цель не в том, чтобы сослаться на соответствующий факт, а в том, чтобы действительно понять, почему этот факт верен.
Сначала попробуйте сами разобраться, если не получилось –
найдите доказательство в учебнике, если не нашли или не по- няли – спросите учителя. Если вы приучите себя каждый раз
38

докапываться до сути, то довольно быстро поймете, что зна- чит доказывать, научитесь отличать неверные рассуждения от верных.
Задание #26.
Проверяемый навык – �Уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми�.
Это довольно сложное задание по планиметрии. Кроме тех фактов, которые мы упоминали в заданиях
##16–18
, чаще всего при решении этого задания нужны:
•
связи между элементами прямоугольного треуголь- ника
;
• факты про вписанную и описанную окружности треуголь- ника;
• факты про точки пересечения медиан, биссектрис,
высот и серединных перпендикуляров
;
• теорема о биссектрисе угла треугольника;
• формулы для площади треугольника, в том числе, и фор- мула Герона
;
• теоремы о касательной и секущей, о двух секущих, о пе- ресекающихся хордах;
•
теоремы синусов и косинусов
39

Как готовиться к экзамену
С чего начать.
Подготовка к ОГЭ делится на два этапа:
обучение и проверка своего уровня. Во время обучения стоит заново просмотреть учебник, повторить непонятные или слож- ные темы, вспомнить основные факты. Для отработки темы начинайте с простых задач. Только когда хорошо усвоите ма- териал, переходите к задачам из ОГЭ.
Отработайте первую часть.
Если вы рассчитываете сдать экзамен не просто на пятёрку, а написать максимально хо- рошо, то вам нужно научиться чисто решать первую часть за 40-60 минут. Засекайте время по таймеру и упражняйтесь с тренировочными вариантами. В них можно самостоятельно проверить правильность ответов, а также понять свой уровень подготовки.
Сильные школьники порой спотыкаются на первых 20
задачах, потому что привыкли решать что-то более со- держательное. Обидно, когда такие ребята теряют бал- лы, время и силы на простых задачах.
Если же ваша цель сдать хотя бы на четвёрку, то для это достаточно набрать всего 15-16 баллов. Вы можете тратить даже по 10-15 минут на самые простые задачи, но доводить их до состояния, когда вы на 100% уверены в своем ответе.
Перепроверяйте себя, решайте разными способами.
А вся первая часть, плюс еще пара задач из второй – это уже уверенная пятёрка!
Не бойтесь сложных заданий.
Некоторые школьные учи-
40

теля говорят, что задания 23 и 26 слишком сложные, и совсем не хотят обсуждать их со школьниками. На самом деле это не совсем так. Все задачи из ОГЭ решаемы при должном стара- нии.
Дело в том, что домашние, самостоятельные и контрольные работы по математике приучили вас к тому, что на задачу нужно тратить не более, чем 5�10 минут. Так у школьников появляется ощущение, что если не можешь решить за 10 ми- нут, то и не получится совсем. Однако, в реальной математике есть сложные математические проблемы, которые решаются неделями, месяцами и даже годами. И это нормально.
Если вы, например, тренируетесь решать задание
#26
, то нор- мально, если в первый раз вы потратите на него несколько ча- сов. Необязательно это делать подряд. Подумали над ним час,
если нет никаких идей, вернитесь к нему через день, через два.
Снова подумайте над решением этого задания, рассматривай- те разные способы. Не отчаивайтесь, если не удалось решить задачу и со второй-третьей попытки. Если сначала вы будете суммарно тратить на задачу 3-4 часа – прекрасно! Продол- жайте тренироваться, продолжайте решать. Если у вас есть достаточно времени и желания, в какой-то момент вы выйде- те на стабильное решение таких заданий в течение часа. Этого достаточно, чтобы �затащить� их на ОГЭ.
Для того, чтобы перестать бояться сложных задач, нуж- но просто решать их как можно больше.
Таймер.
Необходимо узнать, сколько времени вам потребует- ся на решение всех задач. Для этого возьмите вариант прошло- го года, поставьте таймер на 4 часа и все это время решайте,
41

ни на что не отвлекаясь. В итоге вы поймете, сколько успеете сделать за 4 часа экзамена.
Для успешной сдачи ОГЭ мало уметь решать любую задачу, нужно в стрессовых условиях экзамена успевать отрешать и оформить всё за 4 часа.
Пробные экзамены.
Их проводят на уровне школы или го- рода. В крупных городах есть центры, где за небольшую пла- ту тоже можно пройти пробный ОГЭ. Однако, нужно учиты- вать, что �пробник� может сильно отличаться по сложности от реального экзамена. Но в любом случае, пробный ОГЭ даст хорошее представление о том, как устроены задания и сама процедура экзамена.
42

Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух модулей: �Алгебра�
и �Геометрия�. Всего в работе 26 заданий. Модуль �Алгебра�
содержит 17 заданий: в части 1 – 14 заданий; в части 2 – 3
задания. Модуль �Геометрия� содержит 9 заданий: в части 1
– 6 заданий; в части 2 – 3 задания.
На выполнение экзаменационной работы по математике отво- дится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 2, 3, 14 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. Ес- ли получилась обыкновенная дробь, ответ запишите в виде десятичной.
Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке, на- чиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо,
необходимо только указать его номер.
Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допус- кается использование гелевой или капиллярной ручки.
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий, которые вызывают у Вас меньше затруднений, за- тем переходите к другим заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы
43

сможете вернуться к пропущенным заданиям.
При выполнении части 1 все необходимые вычисления, преоб- разования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материа- лов не учитываются при оценивании работы.
Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам постро- ения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справоч- ными материалами, выданными вместе с вариантом КИМ.
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под пра- вильным номером.
44

Справочные материалы по математике
Алгебра
• Формула корней квадратного уравнения:
x =
b
±
p
D
2a
,
где D = b
2 4ac.
• Если квадратный трёхчлен ax
2
+ bx + c имеет два корня x
1
и x
2
, то ax
2
+ bx + c = a(x x
1
)(x x
2
);
если квадратный трехчлен ax
2
+ bx + c имеет единствен- ный корень x
0
, то ax
2
+ bx + c = a(x x
0
)
2
• Формула n-го члена арифметической прогрессии (a n
)
, пер- вый член которой равен a
1
и разность равна d:
a n
= a
1
+ (n
1)d.
• Формула суммы первых n членов арифметической про- грессии:
S
n
=
(a
1
+ a n
)n
2
• Формула n-го члена геометрической прогрессии (b n
)
, пер- вый член которой равен b
1
, а знаменатель равен q:
b n
= b
1
q n 1
• Формула суммы первых n членов геометрической про- грессии:
S
n
=
(q n
1)b
1
q
1 45

Таблица квадратов двузначных чисел
Единицы
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Д
ес ят ки
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2
400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3
900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
Геометрия
• Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n 2) · 180 .
• Радиус r окружности, вписанной в правильный треуголь- ник со стороной a, равен p
3 6
a
• Радиус R окружности, описанной около правильного тре- угольника со стороной a, равен p
3 3
a
• Для треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b,
BC = a
:
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
= 2R,
где R – радиус описанной окружности.
• Для треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b,
BC = a
:
c
2
= a
2
+ b
2 2ab cos C.
• Формула длины ` окружности радиуса R:
` = 2⇡R.
46

• Формула длины ` дуги окружности радиуса R, на кото- рую опирается центральный угол в ' градусов:
` =
2⇡R'
360
• Формула площади S параллелограмма со стороной a и высотой h, проведённой к этой стороне:
S = ah.
• Формула площади S треугольника со стороной a и высо- той h, проведённой к этой стороне:
S =
1 2
ah.
• Формула площади S трапеции с основаниями a, b и высо- той h:
S =
a + b
2
h.
• Формула площади S круга радиуса R:
S = ⇡R
2 47