Файл: Исследование движения механической системы.doc

Представим полученное уравнение в виде:

(1.14)

где введены коэффициенты:

- частота собственных колебаний,

- показатель степени затухания колебаний.

Начальные условия:

при (1.15)

Уравнения (1.15) и (1.14) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

2. Определение закона движения системы.

Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:



где - амплитуда возмущающей силы, р- циклическая частота возмущения.

Дифференциальное уравнение движения механической системы с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:

(2.1)

где

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.1) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствует неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:

(2.2)

Решение этого уравнения ищем виде функции

(2.3)

где - неопределенные постоянные.

Подставляем (2.3) в (2.2), получим:



Так как мы ищем нетривиальное решение, то .

Следовательно, должно выполнятся условие:

(2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет 2 корня:

---

(2.5)

где

В этом случае (n<k) общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

(2.6)

где - постоянные интегрирования.
Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части

(2.7)

Где .
Подставляем (2.7) в (2.1) и преобразовываем:



Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях, справа и слева, получим систему алгебраических уравнений для определения постоянных :





В результате получим:



И



Таким образом, решение (2.7) найдено.

Складывая (2.7) и (2.6), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.1).

(2.8)

Постоянные определяем из начальных условий (1.15). Для этого найдем производную по времени (2.8)

(2.9)

В результате получим систему уравнений:





Решаем данную систему:





И

---

(2.10)

(2.11)

И подставляя (2.10),(2.11) в (2.8), получаем закон движения механизма, выраженный через перемещение груза:

3. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и рисуем расчетные схемы отдельно для каждого тела.


Рис. 3. Расчетные схемы для каждого тела механизма
К каждому телу, изображенному на расчетной схеме, применим две из основных теорем механики материальной системы: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента.

(3.1)

(3.2)

Для каждого тела уравнения (3.1) и (3.2) записываем в проекциях на оси координат соответственно схеме рис.3:

Тело1: (3.3)

Тело 2: (3.4)

Тело 3:

(3.5)

Тело 4:

(3.6)

С учетом кинематических соотношений (1.5), а также (1.3) и (1.4) систему уравнений преобразуем к виду:

(3.3)

(3.4)

(3.5)
(3.6)

---

В результате получим:

(3.3)
(3.4)

(3.6)



(3.5)

(3.7)
Или


(3.8)

Уравнения (3.8) выражают зависимость внутренних и внешних усилий относительно функции и активных сил, приложенных к системе.

Подставив в первое уравнение системы (3.7), получим уравнение движения системы:







Так как , , то полученное уравнение совпадает с уравнением, найденным в п.1.

4. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера.

Рис. 4. Расчетная схема
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа

(4.1)

где - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; - сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

На чертеже изобразим все активные силы и силы инерции(рис.4).

---

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

(4.2)

Сумма элементарных работ вычисляется, как и мощность по формуле (1.8) с учетом (1.13)

(4.3)

Определяем возможную работу сил инерции:

(4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:



(4.5)

Используя кинематические соотношения (1.5), можно записать:

,

, (4.6)


В результате подстановки с учетом, что , получим:

(4.7)

Где
Подставляем выражения (4.3) и (4.7) в общее уравнение динамики (4.1) получим:
(4.8)

Разделив (4.9) на , получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

(4.9)

Где

- частота собственных колебаний,

- показатель степени затухания колебаний.

Дифференциальное уравнение (4.9) полностью совпадает с уравнением (1.14) полученным ранее.

5. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.

---