ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2021
Просмотров: 361
Скачиваний: 1
6
Поэтому исходный ряд
n
n
n
x
x
n
+
−
−
−
∑
∞
1
1
1
2
1)
(
1
=
сходится абсолютно при
0
>
x
и
условно
при
0
=
x
.
Пример 4.
Определить область сходимости (абсолютной и условной)
функционального ряда
p
n
n
n
x
)
(
1)
(
1
=
+
−
∑
∞
Решение.
Функции
p
n
n
n
x
x
u
)
(
1)
(
)
(
+
−
=
определены при
1, 2, 3,...
x
≠ − − −
Для
исследования
ряда
на абсолютную сходимость используем интегральный
признак. При фиксированном
х
имеем
1. Функция
1
( )
|
|
p
f y
x
y
=
+
неотрицательна. Неравенство
1
2
1
2
1
1
,
|
|
|
|
p
p
y
y
x
y
x
y
≥
<
+
+
справедливо только когда
p>0
, поэтому функция
1
( )
|
|
p
f y
x
y
=
+
убывает (по
переменной
у
)
на промежутке
[1,
)
+∞
при
p>0
.
2. Интеграл
∞
−
∞
−
+
+
∫
1
1
1
1
)
(
=
)
(
p
y
x
y
x
dy
p
p
сходится абсолютно, если
1
>
p
.
Таким образом, ряд
p
n
n
n
x
)
(
1)
(
1
=
+
−
∑
∞
сходится абсолютно при
1
>
p
и
k
x
≠
,
2,...
1,
=
−
−
k
Исследуем ряд
p
n
n
n
x
)
(
1)
(
1
=
+
−
∑
∞
на условную сходимость, применяя признак
Лейбница.
1.
p
p
n
x
n
x
)
(
1
<
1)
(
1
+
+
+
при
0
>
p
.
2.
0
=
)
(
1
lim
p
n
n
x
+
∞
→
при
0
>
p
и
k
x
≠
,
2,...
1,
=
−
−
k
.
7
Следовательно, ряд
p
n
n
n
x
)
(
1)
(
1
=
+
−
∑
∞
сходится
абсолютно
при
p
<
1
,
k
x
≠
,
2,...
1,
=
−
−
k
и
условно
при
1
<
0
≤
p
,
k
x
≠
,
3...
2,
1,
=
−
−
−
k
.
Определение.
Говорят, что функциональная последовательность
)}
(
{
x
f
n
(функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
) равномерно сходится на
множестве D к функции f(x), если выполнено следующее условие:
ε
ε
<
−
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
)
(
)
(
:
0
0
0
x
f
x
f
D
x
N
n
N
n
для
функциональной
последовательности
(
∑
=
=
<
−
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
n
k
k
n
n
x
u
x
S
x
f
x
S
D
x
N
n
N
1
0
0
)
(
)
(
,
)
(
)
(
:
0
ε
ε
-
для
функционального ряда).
Если функциональная последовательность (функциональный ряд)
сходится
равномерно на множестве
D
, то используют следующие записи:
);
(
)
(
;
),
(
)
(
x
f
x
f
D
x
x
f
x
f
D
n
n
→
→
∈
→
→
.
)
(
)
(
;
),
(
)
(
1
1
→
→
∈
→
→
∑
∑
∞
=
∞
=
x
f
x
u
D
x
x
f
x
u
D
n
n
n
n
В этом определении существенно, что номер
0
N
подбирается уже после
задания числа
0
>
ε
и не зависит от точки
D
x
∈
.
Пусть
)
(
)
(
)
(
)
(
1
x
S
x
f
x
u
x
r
n
n
k
k
n
−
=
=
∑
∞
+
=
-
остаток функционального
ряда порядка
n
. Тогда введенное в определении условие равномерной
сходимости
функционального
ряда
равносильно
условию
8
.
,
0
)
(
D
x
x
r
n
∈
→
→
Это соображение будет использовано нами в
дальнейшем.
Пример 5.
Доказать, что
функциональный
ряд
1
1
=
−
∞
∑
n
n
x
равномерно
сходится на множестве
1 1
,
2 2
−
.
Решение.
Общий член ряда имеет вид
1
( )
n
n
u x
x
−
=
. Ипользуя формулу
суммы первых
n
членов геометрической прогрессии, найдем
n
-
ю частичную
сумму ряда
( )
n
S x
и сумму ряда
f(x)
:
1
2
1
1
1
( )
1
...
,
1
n
n
k
n
n
k
x
S x
x
x
x
x
x
−
−
=
−
=
= + +
+ +
=
−
∑
1
1
( )
lim
( )
lim
.
1
1
n
n
n
n
x
f x
S x
x
x
→∞
→∞
−
=
=
=
−
−
Здесь мы учли, что
lim
0
n
n
x
→∞
=
так как
1 1
,
2 2
x
∈ −
.
Подставив полученные
результаты в определение равномерно сходящегося ряда, получим
ε
ε
<
≤
−
=
−
−
−
−
=
−
−
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
−
1
0
0
2
1
|
1
|
|
|
1
1
1
1
)
(
)
(
2
1
,
2
1
:
0
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
x
S
x
N
n
N
,
поскольку
1
1
| |
, |1
|
2
2
x
x
≤
− ≥
.
Следовательно
,
ряд
1
1
=
−
∞
∑
n
n
x
сходится к своей
сумме
1
1
x
−
равномерно на отрезке
1 1
,
2 2
−
:
x
x
n
n
−
→
→
−
∞
=
∑
1
1
2
1
,
2
1
1
.
Пример 6.
Доказать, что функциональный ряд
)
1
)(
)
1
(
1
(
1
=
nx
x
n
x
n
+
−
+
∑
∞
равномерно сходится на множестве
( ,
),
0.
δ
δ
+∞
>
.
Решение.
Заметив, что
9
1
1
( )
,
1 (
1)
1
n
u x
n
x
nx
=
−
+ −
+
найдем
( )
n
S x
и
f(x)
:
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
1
...
1
,
1 (
1)
1
1
1
1 (
1)
1
1
n
n
k
S x
k
x
kx
x
x
n
x
nx
nx
=
=
−
= −
+
− +
−
= −
+ −
+
+
+
+ −
+
+
∑
1
( )
lim 1
1.
1
n
f x
nx
→∞
=
−
=
+
Теорема
(критерий
Коши
равномерной
сходимости
функциональной последовательности и функционального ряда).
Для
того,
чтобы
функциональная
последовательность
)}
(
{
x
f
n
(функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
) равномерно сходилась (сходился) на
множестве D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее
условие Коши:
-
для функциональной последовательности
ε
Ν
ε
<
−
∈
∀
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
+
)
(
)
(
:
0
0
0
x
f
x
f
D
x
p
N
n
N
n
p
n
;
-
для функционального ряда
.
)
(
0
1
0
0
ε
Ν
ε
<
∈
∀
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
∑
+
+
=
p
n
n
k
k
x
u
D
x
p
N
n
N
Доказательство
.
Докажем сначала теорему для функциональной
последовательности.
Необходимость
.
Пусть
D
x
x
f
x
f
n
∈
→
→
),
(
)
(
. Тогда по определению
равномерной сходимости
.
2
)
(
)
(
:
0
0
0
ε
ε
<
−
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
x
f
x
f
D
x
N
n
N
n
10
Поскольку при
Ν
∈
>
p
N
n
,
0
также справедливо и неравенство
0
N
p
n
>
+
, то будет выполняться и неравенство
.
2
)
(
)
(
ε
<
−
+
x
f
x
f
p
n
Отсюда при
Ν
∈
>
p
N
n
,
0
получаем
≤
−
+
−
=
−
+
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
p
n
n
p
n
,
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
ε
ε
ε
=
+
<
−
+
−
≤
+
x
f
x
f
x
f
x
f
n
p
n
то есть выполняется условие Коши.
Достаточность
.
Пусть выполнено условие Коши. Тогда для каждой
точки
D
x
∈
0
числовая
последовательность
)}
(
{
0
x
f
n
является
фундаментальной, а значит, согласно критерию Коши сходимости числовой
последовательности,
сходится.
Поэтому
функциональная
последовательность
)}
(
{
x
f
n
по крайней мере поточечно сходится к
некоторой функции
f(x)
на множестве D. Докажем, что на самом деле эта
сходимость является равномерной на множестве D. Запишем условие Коши
в виде
.
2
)
(
)
(
:
0
0
0
ε
Ν
ε
<
−
∈
∀
∈
∀
≥
∀
∃
>
∀
+
x
f
x
f
D
x
p
N
n
N
n
p
n
Перейдем в этом неравенстве при каждом фиксированном номере
0
N
n
≥
∀
и каждой фиксированной точке
D
x
∈
к пределу при
∞
→
p
. Учитывая, что
)
(
)
(
lim
x
f
x
f
p
n
p
=
+
∞
→
, по теореме о переходе к пределу в неравенствах
получим:
.
2
)
(
)
(
:
0
0
0
ε
ε
ε
<
≤
−
∈
∀
≥
∀
∃
>
∀
x
f
x
f
D
x
N
n
N
n
Это и означает равномерную сходимость последовательности
)}
(
{
x
f
n
к
функции
f(x)
на множестве
D
.