ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2021
Просмотров: 362
Скачиваний: 1
11
В случае функциональных рядов достаточно заметить, что для частичных
сумм
∑
=
=
n
k
k
n
x
u
x
S
1
)
(
)
(
справедливо следующее тождество на множестве
D
:
.
)
(
)
(
)
(
1
∑
+
+
=
+
=
−
p
n
n
k
k
n
p
n
x
u
x
S
x
S
Далее можно применить доказанное утверждение для функциональных
последовательностей.
Теорема доказана.
Приведем примеры использования критерия Коши для исследования
равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.
Критерий равномерной сходимости функциональной
последовательности в терминах супремума модуля разности между
членами последовательности и предельной функцией. Критерий
равномерной сходимости функционального ряда в терминах супремума
модуля остатка.
Докажем критерии равномерной сходимости функциональных
последовательностей и рядов, непосредственно вытекающие из
определения равномерной сходимости.
Теорема.
Для того, чтобы последовательность функций
)}
(
{
x
f
n
,
определенных на множестве D, равномерно на множестве D сходилась к
функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее
условие:
.
0
)
(
)
(
sup
lim
=
−
∈
∞
→
x
f
x
f
n
D
x
n
12
Доказательство.
Введем
числовую
последовательность
)
(
)
(
sup
x
f
x
f
n
D
x
n
−
=
∈
σ
. Тогда условие теоремы по определению предела
числовой последовательности означает, что выполняется условие
.
0
0
0
0
ε
σ
ε
<
≤
≥
∀
∃
>
∀
n
N
n
N
Если
D
x
x
f
x
f
n
∈
→
→
),
(
)
(
, то по определению равномерной сходимости
имеем:
.
2
)
(
)
(
:
0
0
0
ε
ε
<
−
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
x
f
x
f
D
x
N
n
N
n
Переходя к точной
верхней грани в последнем неравенстве, получаем:
ε
ε
σ
ε
<
≤
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
2
:
0
0
0
n
D
x
N
n
N
,
что и требовалось. Обратно, если выполняется условие теоремы, то мы
получим
,
)
(
)
(
0
0
ε
σ
ε
<
≤
−
∈
∀
>
∀
>
∀
n
n
x
f
x
f
D
x
N
n
то есть
D
x
x
f
x
f
n
∈
→
→
),
(
)
(
.
Теорема доказана
.
Следствие
.
Для того, чтобы функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
равномерно сходился на множестве D, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
,
0
)
(
sup
lim
=
∈
∞
→
x
r
n
D
x
n
где
∑
∞
+
=
=
1
)
(
)
(
n
k
k
n
x
u
x
r
-
остаток ряда порядка
n.
13
Доказательство
. Поскольку для равномерной сходимости
функционального ряда необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
D
x
x
r
n
∈
→
→
,
0
)
(
, осталось применить доказанную теорему.
Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда
в терминах общего члена. Мажорантный признак Вейерштрасса
равномерной сходимости функциональных последовательностей и
рядов.
Теперь докажем некоторые условия сходимости функциональных
последовательностей и рядов, которые вытекают из критерия Коши и
доказанной выше теоремы.
Теорема (
н
еобходимое условие равномерной сходимости
функционального ряда в терминах общего члена).
Если функциональный
ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
равномерно сходится на множестве D, то выполняется
условие
D
x
x
u
n
∈
→
→
,
0
)
(
,
то есть равномерная на множестве D
сходимость функциональной последовательности общих членов ряда
)
(
x
u
n
к тождественно нулевой функции является необходимым условием
равномерной на множестве D сходимости функционального ряда.
Доказательство.
Пусть ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
равномерно сходится на
множестве
D
. Тогда, согласно критерию Коши равномерной сходимости
.
)
(
0
1
0
0
ε
Ν
ε
<
∈
∀
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
∑
+
+
=
p
n
n
k
k
x
u
D
x
p
N
n
N
14
Полагая
р
=1
, мы получим
,
0
1
0
0
ε
ε
<
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
+
n
u
D
x
N
n
N
что и означает справедливость утверждения.
Теорема доказана
.
Теорема (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной
сходимости функциональных последовательностей).
Пусть существует
числовая последовательность
}
{
n
a
и номер
0
N
, такие, что
,
)
(
)
(
0
n
n
a
x
f
x
f
D
x
N
n
≤
−
∈
∀
>
∀
причем
0
lim
=
∞
→
n
n
a
. Тогда
D
x
x
f
x
f
n
∈
→
→
),
(
)
(
.
Доказательство.
Переходя к точной верхней грани в условии
теоремы, получим
,
,
)
(
)
(
sup
0
0
N
n
a
x
f
x
f
n
n
D
x
n
>
≤
−
=
≤
∈
σ
откуда по теореме о двух
милиционерах получим
.
0
lim
=
∞
→
n
n
σ
Последнее равенство равносильно утверждению теоремы.
Теорема доказана
.
Теорема (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной
сходимости функциональных рядов).
Пусть существует сходящийся
числовой ряд
∑
∞
=
1
n
n
a
, члены которого, начиная с некоторого номера,
неотрицательны и пусть члены функционального ряда
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
,
определенного на множестве D, начиная с некоторого номера,
15
удовлетворяют условию
.
,
)
(
D
x
a
x
u
n
n
∈
≤
Тогда этот функциональный
ряд равномерно сходится на множестве D.
Доказательство.
В силу критерия Коши сходимости числового ряда
мы имеем:
.
0
1
0
0
ε
Ν
ε
<
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
∑
+
+
=
p
n
n
k
k
a
p
N
n
N
Отсюда по условию теоремы получаем
D
x
p
N
n
N
∈
∀
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
Ν
ε
0
0
0
,
|
)
(
|
)
(
1
1
1
ε
<
≤
≤
∑
∑
∑
+
+
=
+
+
=
+
+
=
p
n
n
k
p
n
n
k
k
k
p
n
n
k
k
a
x
u
x
u
то есть выполняется условие Коши для функционального ряда
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
, а
значит, он равномерно сходится на множестве
D
.
Теорема доказана
.
Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости
функционального ряда.
Ради целостности изложения напомним изученные при рассмотрении
числовых рядов преобразование Абеля и неравенство Абеля. Пусть дана
сумма вида
∑
=
=
n
k
k
k
n
b
a
S
1
.
Воспроизведем далее выкладки без комментариев:
n
n
n
b
a
b
a
b
a
S
+
+
+
=
...
2
2
1
1
,
;
...
;
...
;
;
2
1
2
1
2
1
1
n
n
b
b
b
B
b
b
B
b
B
+
+
+
=
+
=
=
;
;
...
;
;
1
1
2
2
1
1
−
−
=
−
=
=
n
n
n
B
B
b
B
B
b
B
b