ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2021
Просмотров: 365
Скачиваний: 1
16
);
(
...
)
(
1
1
2
2
1
1
−
−
+
+
−
+
=
n
n
n
n
B
B
a
B
B
a
B
a
S
(
)
;
)
(
...
)
(
1
1
2
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
B
a
B
a
a
B
a
a
B
a
a
S
+
−
+
+
−
+
−
=
−
−
(
)
.
1
1
1
1
n
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
B
a
B
a
a
b
a
S
+
−
=
=
∑
∑
−
=
+
=
Такое преобразование частичных сумм называется
преобразованием Абеля
.
С его помощью докажем
неравенство Абеля
.
Лемма (неравенство Абеля)
.
Если
1
,...,
2
,
1
,
1
−
=
≥
+
n
i
a
a
i
i
и
,
,...,
2
,
1
,
...
1
n
i
B
b
b
i
=
≤
+
+
то
(
)
.
2
1
1
n
n
i
i
i
a
a
B
b
a
+
≤
∑
=
Доказательство.
Так как
(
)
.
0
1
1
≥
−
⇒
≥
+
+
i
i
i
i
a
a
a
a
(
)
=
+
−
≤
+
−
≤
∑
∑
∑
−
=
+
−
=
+
=
n
n
i
i
i
n
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
a
a
a
B
B
a
B
a
a
b
a
1
1
1
1
1
1
1
(
) (
)
.
2
1
1
n
n
n
a
a
B
a
a
a
B
+
≤
+
−
=
Замечание.
Доказательство проходит и в случае
.
1
,...,
2
,
1
,
1
−
=
≤
+
n
i
a
a
i
i
Это значит, что можно потребовать просто монотонности
}
{
i
a
. Важно, что
оценка дается модулем первого и последнего члена и не зависит от числа
слагаемых.
Теорема
(признак
Дирихле).
Функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
)
(
n
n
n
x
b
x
a
сходится равномерно на множестве D, если выполнены следующие условия:
а) последовательность
∑
=
=
n
k
k
n
n
x
b
x
B
ãäå
x
B
1
)
(
)
(
)},
(
{
, равномерно
ограничена на множестве D, то есть
17
;
|
)
(
|
:
0
M
x
B
n
D
x
M
n
≤
∈
∀
∈
∀
>
∃
Ν
б) функциональная последовательность
)}
(
{
x
a
n
монотонна на множестве
D, то есть
)
(
)
(
1
x
a
x
a
n
D
x
n
n
≤
∈
∀
∈
∀
+
Ν
и равномерно стремится к
нулю на множестве D:
.
,
0
)
(
D
x
x
a
n
∈
→
→
Доказательство.
Для любого номера
,...
2
,
1
=
n
,
любого
D
x
∈
и
любого целого
1
≥
p
в силу условия а) имеем
,
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
M
x
B
x
B
x
B
x
B
x
b
n
p
n
n
p
n
p
n
n
k
k
≤
+
≤
−
=
+
+
+
+
=
∑
Воспользуемся неравенством Абеля, которое в рассматриваемом случае
будет иметь вид (на месте постоянной
В
стоит
2М
)
(
)
.
|
)
(
|
2
)
(
2
)
(
)
(
1
1
x
a
x
a
M
x
b
x
a
p
n
n
p
n
n
k
k
k
+
+
+
+
=
+
≤
∑
В силу равномерной сходимости к нулю последовательности
)}
(
{
x
a
n
мы
имеем:
.
6
|
)
(
|
0
0
0
M
x
a
D
x
N
k
N
k
ε
ε
<
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
Но тогда для всех
n>N
0
и для всех натуральных
р
мы будем иметь:
(
)
.
6
2
6
2
|
)
(
|
2
)
(
2
)
(
)
(
1
1
ε
ε
ε
=
+
<
+
≤
+
+
+
+
=
∑
M
M
M
x
a
x
a
M
x
b
x
a
p
n
n
p
n
n
k
k
k
Следовательно, в силу критерия Коши равномерной сходимости
функционального ряда, ряд равномерно сходится на множестве
D
.
Теорема доказана
.
18
Теорема (признак Абеля).
Функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
)
(
n
n
n
x
b
x
a
сходится равномерно на множестве D, если выполняются условия:
а) ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
b
сходится равномерно на множестве D;
б) последовательность
)}
(
{
x
a
n
монотонна на множестве
D,
то есть
)
(
)
(
1
x
a
x
a
n
D
x
n
n
≤
∈
∀
∈
∀
+
Ν
,
и равномерно ограничена, то есть
.
|
)
(
|
:
0
M
x
a
n
D
x
M
n
≤
∈
∀
∈
∀
>
∃
Ν
Доказательство.
Обозначим
,
)
(
)
(
1
)
(
∑
+
+
=
=
j
n
n
k
k
n
j
x
b
x
B
тогда ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
b
удовлетворяет условию Коши, откуда мы получаем
.
3
)
(
,...
2
,
1
0
)
(
0
0
M
x
B
j
D
x
N
n
N
n
j
ε
ε
<
=
∀
∈
∀
>
∀
∃
>
∀
Теперь тоже выполнены условия леммы о неравенстве Абеля, только роль
постоянной
В
играет
M
3
ε
. Поэтому для всех номеров
0
N
n
>
и для всех
D
x
j
∈
∀
=
,...,
2
,
1
неравенство Абеля даст
(
)
.
)
2
(
3
|
)
(
|
2
)
(
3
)
(
)
(
1
1
ε
ε
ε
=
+
<
+
≤
+
+
+
+
=
∑
M
M
M
x
a
x
a
M
x
b
x
a
p
n
n
p
n
n
k
k
k
В силу критерия Коши ряд равномерно сходится на
D
.
Теорема доказана.
19
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ.
Почленный переход к пределу функциональной последовательности и
функционального ряда.
Далее мы будем доказывать теоремы о равномерно сходящихся рядах,
а их аналоги для последовательностей лишь формулировать. Дело не только
в том, что они доказываются аналогично. Поясним это.
Пусть
)}
(
{
x
f
n
-
функциональная последовательность. Введем
обозначения:
)
(
)
(
,
,
3
,
2
),
(
)
(
)
(
1
1
1
x
f
x
u
n
x
f
x
f
x
u
n
n
n
=
=
−
=
−
. Тогда
∑
=
=
=
n
k
k
n
x
u
x
f
1
)
(
)
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
)
(
1
2
3
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n
−
−
+
+
−
+
−
+
=
-
частичная сумма функционального ряда
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
, причем сходимость этого
ряда к некоторой функции
f(x)
равносильна сходимости последовательности
)}
(
{
x
f
n
к то же функции. Поэтому, доказав некоторое утверждение для
ряда, мы автоматически докажем его и для последовательности.
Теорема (о почленном переходе к пределу для функционального
ряда).
Пусть каждая из функций
,
,
3
,
2
,
1
),
(
=
n
x
u
n
определена на
множестве D и имеет в предельной точке x
0
множества D конечный
предел
n
n
x
x
c
x
u
=
→
)
(
lim
0
.
Пусть функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
сходится
равномерно на множестве D. Тогда справедливы следующие утверждения:
20
А) сходится числовой ряд, составленный из этих пределов
:
;
1
C
c
n
n
=
∑
∞
=
Б) сумма функционального ряда
∑
∞
=
=
1
)
(
)
(
n
n
x
u
x
f
также имеете предел в
точке х
0
и имеет место равенство
C
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
0
или, что то же самое,
( )
( )
;
lim
lim
1
1
0
0
∑
∑
∞
= →
∞
=
→
=
n
n
x
x
n
n
x
x
x
u
x
u
Доказательство
. Зафиксируем произвольное число
0
>
ε
. В силу
критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда найдется
такой номер
0
N
, что для всех номеров
n
, удовлетворяющих условию
n>N
0
,
и для всех натуральных чисел р будет выполняться неравенство
.
2
)
(
1
ε
<
∑
+
+
=
p
n
n
k
k
x
u
Переходя в этом неравенстве к пределу при
0
x
x
→
, мы получим
,
2
1
ε
ε
<
≤
∑
+
+
=
p
n
n
k
k
c
то есть выполнено условие Коши для числового ряда. Отсюда вытекает
первое утверждение теоремы. Пусть далее
,
,
,
1
1
1
∑
∑
∑
∞
+
=
=
∞
=
=
−
=
=
=
n
k
k
n
n
n
k
k
n
n
n
c
C
C
c
C
C
c
γ
.
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
),
(
)
(
1
1
1
∑
∑
∑
∞
+
=
=
∞
=
=
−
=
=
=
n
k
k
n
n
n
k
k
n
n
n
x
u
x
f
x
f
x
x
u
x
f
x
f
x
u
ϕ
Опять выберем и зафиксируем произвольное число
0
>
ε
. В силу
равномерной сходимости данного функционального ряда и сходимости
числового ряда из его пределов можно подобрать такой номер
N
0
, что для
всех номеров
n
, удовлетворяющих условию
n>N
0
и для всех
D
x
∈
будут
выполняться неравенства