ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2021
Просмотров: 364
Скачиваний: 1
21
.
3
)
(
,
3
)
(
ε
γ
ε
ϕ
<
<
x
x
n
n
Кроме того, из известного свойства пределов конечных сумм
следует, что
( )
n
n
k
k
n
k
k
x
x
n
x
x
C
c
x
u
x
f
∑
∑
=
=
→
→
=
=
=
1
1
0
0
lim
)
(
lim
.
Поэтому найдется такое число
0
>
δ
, что для всех точек
х
, одновременно
принадлежащих множеству
D
и
δ
-
окрестности точки
х
0
, будет выполняться
неравенство
.
3
)
(
ε
<
−
n
n
C
x
f
Тогда, при указанных значениях
х
, будет выполняться неравенство
ε
ε
ε
ε
γ
ϕ
γ
ϕ
=
+
+
<
+
+
−
≤
−
−
+
=
−
3
3
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
x
C
x
f
C
x
x
f
C
x
f
.
Теорема доказана
.
Теорема (о почленном переходе к пределу для функциональной
последовательности).
Пусть выполнены следующие условия.
1)
;
),
(
)
(
D
x
x
f
x
f
n
∈
→
→
2)
.
)
(
lim
,
3
,
2
,
1
0
R
C
x
f
n
n
n
x
x
∈
=
∃
=
∀
→
Тогда существуют оба конечных предела
),
(
lim
0
x
f
x
x
→
n
n
C
∞
→
lim
, которые
равны между собой, то есть справедливо равенство
).
(
lim
lim
)
(
lim
lim
0
0
x
f
x
f
n
x
x
n
n
n
x
x
→
∞
→
∞
→
→
=
Следствие.
Пусть
каждая
из
функций
,
,
3
,
2
,
1
),
(
=
n
x
u
n
определена на множестве D
и непрерывна в точке
D
x
∈
0
, а функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
(последовательность {
f
n
(x)}
22
сходится равномерно на множестве D. Тогда его сумма (предельная
функция последовательности) является непрерывной в точке х
0
функцией.
Почленное интегрирование функциональных рядов и
последовательностей
Теорема.
Пусть функции
,
,
3
,
2
,
1
),
(
=
n
x
u
n
интегрируемы по Риману на
отрезке [
a;b
] и составленный из них функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
(функциональная последовательность {
f
n
(x)}) сходится равномерно на
отрезке [
a;b
]. Тогда сумма f(x)
этого ряда (предельная функция
последовательности) также будет интегрируемой по Риману на отрезке
[a;b
] и при этом справедливо равенство
∫
∫ ∑
∑ ∫
∞
=
∞
=
=
=
b
a
b
a n
n
b
a
n
n
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
f
1
1
)
(
)
(
)
(
.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
=
=
∫
∫
∫
∞
→
∞
→
b
a
b
a
n
n
b
a
n
n
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
Доказательство.
Докажем сначала интегрируемость функции
f(x).
Зафиксируем произвольно малое число
0
>
ε
.
Поскольку функции
u
n
(x)
интегрируемы на отрезке [
a;b
]
вместе
со всеми частичными суммами
∑
=
=
n
q
k
k
n
x
u
x
f
)
(
)
(
,
найдется такое
разбиение
p
i
i
x
1
}
{
=
=
τ
, при котором будут
справедливы неравенства
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
ε
∆
τ
τ
<
−
=
−
∑
=
p
i
i
n
i
n
i
n
n
x
m
M
f
s
f
S
,
где
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
)
(
]
,
[
)
(
1
1
x
f
m
x
f
M
n
x
x
n
i
n
x
x
n
i
i
i
i
i
−
−
=
=
,
23
∑
∑
=
=
=
=
p
i
i
n
i
n
p
i
i
n
i
n
x
m
f
s
x
M
f
S
1
)
(
1
)
(
)
(
,
)
(
∆
∆
τ
τ
.
Пусть далее
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
1
1
x
f
m
x
f
M
i
i
i
i
x
x
i
x
x
i
−
−
=
=
,
∑
∑
=
=
=
=
p
i
i
i
p
i
i
i
x
m
f
s
x
M
f
S
1
1
)
(
,
)
(
∆
∆
τ
τ
В силу равномерной сходимости ряда найдется такой номер
N
0
, что для всех
номеров
n>N
0
во всех точках отрезка [
a;b
]
будут выполняться неравенства
,
)
(
4
)
(
)
(
a
b
x
f
x
f
n
−
<
−
ε
или, что то же самое,
.
)
(
4
)
(
)
(
)
(
4
)
(
a
b
x
f
x
f
a
b
x
f
n
n
−
+
<
<
−
−
ε
ε
Переходя в этих неравенствах к точным граням на каждом отрезке
разбиения, получим
.
)
(
4
)
(
4
,
)
(
4
)
(
4
],
;
[
,
)
(
4
)
(
)
(
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
M
m
a
b
m
a
b
M
M
a
b
m
b
a
x
a
b
M
x
f
a
b
m
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
−
+
≤
≤
−
−
−
+
≤
≤
−
−
∈
−
+
<
<
−
−
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Последние два неравенства равносильны системе неравенств
−
+
−
≤
−
≤
−
−
−
−
+
≤
≤
−
−
.
)
(
4
)
(
4
,
)
(
4
)
(
4
)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
m
m
a
b
M
a
b
M
M
a
b
m
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
ε
ε
ε
ε
Складывая эти неравенства, получим
.
,
,
2
,
1
,
)
(
2
)
(
)
(
p
i
a
b
m
M
m
M
n
i
n
i
i
i
=
−
+
−
≤
−
ε
24
Умножая каждое из этих неравенств на
i
x
∆
и суммируя по
i
, получим
=
−
+
−
≤
−
=
−
∑
∑
=
=
i
p
i
p
i
n
i
n
i
i
i
i
x
a
b
m
M
x
m
M
f
s
f
S
∆
ε
∆
τ
τ
1
1
)
(
)
(
)
)
(
2
)
((
)
(
)
(
)
(
.
2
)
(
)
(
ε
ε
τ
τ
<
+
−
=
n
n
f
s
f
S
Таким образом, для произвольно малого
0
>
ε
можно подобрать такое
разбиение, что разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции
f(x)
для этого разбиения окажется меньше
ε
. Отсюда следует
интегрируемость функции
f(x)
на отрезке [
a;b
].
Докажем теперь вторую часть теоремы.
Пусть
)
(
)
(
)
(
x
r
x
f
x
f
n
n
+
=
.
Проинтегрируем это равенство по отрезку [
a;b
]. Получим:
∫
∑
∫
∫
=
+
=
b
a
n
k
b
a
n
b
a
k
dx
x
r
dx
x
u
dx
x
f
1
.
)
(
)
(
)
(
Теперь достаточно показать, что
.
0
)
(
lim
0
=
∫
→
dx
x
r
b
a
n
n
Зафиксируем
0
>
ε
. В силу равномерной сходимости ряда его остатки
равномерно сходятся к нулю. Поэтому найдется такой номер
N
0
, что при
n>N
0
будет выполняться неравенство
a
b
x
r
n
−
<
ε
)
(
для всех
]
;
[
b
a
x
∈
. Тогда для таких значений
n
мы будем иметь:
.
|
)
(
|
)
(
ε
ε
=
−
<
≤
∫
∫
∫
dx
a
b
dx
x
r
dx
x
r
b
a
b
a
n
b
a
n
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана
.
25
Почленное дифференцирование функциональных последовательностей
и рядов.
Теорема
.
Пусть функции
(
)
,
,
3
,
2
,
1
,
)
(
)
(
=
n
x
f
x
u
n
n
определены
на отрезке [
a;b
] и имеют на этом отрезке конечные производные
)
)
(
(
)
(
x
f
x
u
n
n
′
′
.
Пусть,
кроме
того,
функциональный
ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
(функциональная последовательность
)}
(
{
x
f
n
сходится хотя бы в
одной точке
]
;
[
0
b
a
x
∈
, а функциональный ряд
∑
∞
=
′
1
)
(
n
n
x
u
, составленный из
производных (функциональная последовательность
)}
(
{
x
f
n
′
, составленная
из производных) равномерно сходится на отрезке [
a;b
]. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
(функциональная последовательность
)}
(
{
x
f
n
равномерно сходится на отрезке [
a;b];
2) его сумма (предельная функция последовательности) f(x) имеет
конечную производную в каждой точке отрезка [
a;b
], выражаемую
равенством
∑
∑
∞
=
∞
=
′
=
=
′
1
1
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
x
u
x
u
dx
d
x
f
.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
=
=
′
∞
→
∞
→
dx
x
df
x
f
dx
d
x
f
n
n
n
n
Доказательство.
Зафиксировав номера
n
и
m
, рассмотрим функцию
∑
+
+
=
=
m
n
n
k
k
nm
x
u
x
U
1
).
(
)
(