ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2021
Просмотров: 363
Скачиваний: 1
26
Зафиксируем теперь произвольно малое число
0
>
ε
. В силу равномерной
сходимости ряда, составленного из производных, найдется такой номер
N
0
,
что для всех номеров
n>N
0
, для всех натуральных чисел
m
и для всех
значений
]
;
[
b
a
x
∈
будет выполняться неравенство
.
)
(
)
(
1
ε
<
′
=
′
∑
+
+
=
m
n
n
k
k
mn
x
u
x
U
Для таких номеров
n
и
m
, рассмотрим функцию
.
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
0
0
0
∑
+
+
=
−
−
=
−
−
m
n
n
k
k
k
mn
mn
x
x
x
u
x
u
x
x
x
U
x
U
По теореме Лагранжа о конечных приращениях между точками
x
и
x
0
найдется точка
ξ
, такая, что будет выполняться равенство
).
(
)
(
)
(
0
0
ξ
mn
mn
mn
U
x
x
x
U
x
U
′
=
−
−
Но тогда по доказанному выше мы будем иметь:
.
)
(
)
(
)
(
0
0
ε
ξ
<
′
=
−
−
mn
mn
mn
U
x
x
x
U
x
U
Отсюда, согласно критерию Коши, следует равномерная на отрезке [
a;b
]
сходимость функционального ряда
.
)
(
)
(
1
0
0
∑
∞
=
−
−
n
n
n
x
x
x
u
x
u
Отсюда уже и следуют оба утверждения теоремы.
Прежде всего пусть
x
0
–
та самая точка, в которой сходится ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
.
В силу доказанной равномерной сходимости функционального
ряда
,
)
(
)
(
1
0
0
∑
∞
=
−
−
n
n
n
x
x
x
u
x
u
а вместе с ним и функционального ряда
∑
∞
=
−
1
0
)]
(
)
(
[
n
n
n
x
u
x
u
получаем, что функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
сходится
27
равномерно на отрезке [
a;b
]. Пусть
f(x)
–
его сумма. Но тогда по теореме о
почленном переходе к пределу для равномерно сходящегося
функционального ряда получаем:
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
→
∞
→
′
=
−
−
=
−
−
=
′
1
1
0
0
0
0
)
0
0
).
(
)
(
)
(
lim
(
)
(
lim
)
(
n
n
n
n
n
n
n
x
u
x
x
x
u
x
u
x
x
x
f
x
f
x
f
Теорема доказана
.