ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 317
Скачиваний: 1
Èíäèê
àòîð
ñîáûòèÿ
Èíäèêàòîðî
ì
ñîáûòèÿ
A
íàçûâàþò
÷èñëîâóþ
óíêöèþ
I
A
(
ω
)
,
çà-
äàííóþ
íà
ïðîñòðàíñòâå
ýëåìåíò
àðíûõ
ñîáûòèé
Ω
è
îïðåäåëÿåìóþ
îð-
ìó
ëîé
I
A
(
ω
) =
1
, ω
∈
A
0
, ω
6∈
A
èëè
ω
∈
A.
Èíäèê
àòîðû
I
A
(
ω
)
è
I
B
(
ω
)
ñîáûòèé
A
è
B
ñîâïàäàþò
òîëüê
î
ïðè
ó
ñëîâèè,
÷òî
ñîáûòèÿ
A
è
B
èäåíòè÷íû,
ò
.å.
ìíî
æ
åñòâà
A
è
B
ñîñòî
ÿò
èç
î
äíèõ
è
òåõ
æ
å
ýëåìåíò
àðíûõ
ñîáûòèé.
Âûïîëíÿþòñ
ÿ
ñëåäóþùèå
ñîîòíîøåíèÿ:
1)
I
A
= 1
−
I
A
;
2)
I
AB
=
I
A
I
B
;
3)
I
A
+
B
=
I
A
(
ω
) +
I
B
(
ω
)
−
I
A
(
ω
)
I
B
(
ω
);
4)
I
A
\
B
=
I
AB
=
I
A
(1
−
I
B
);
5)
I
A
−
I
A
=
I
∅
= 0;
6)
I
Ω
= 1;
7)
I
A
I
A
=
I
AA
=
I
A
.
Ïðèìåðû
ñ
ðåøåíèÿìè
Ïðèìåð
1.
Ñ
èñïîëüçîâàíèåì
èíäèê
àòîðíîãî
ìåòî
äà
ïðîâåðèòü
ðà-
âåíñòâî
A
+
B
=
A
·
B
.
åøåíèå.
I
A
+
B
= 1
−
I
A
+
B
= 1
−
I
A
−
I
B
+
I
A
I
B
=
= 1
−
I
A
−
I
B
(1
−
I
A
) = (1
−
I
A
)(1
−
I
B
) =
I
A
I
B
=
I
A
·
B
.
Ïðèìåð
2.
Ïðåäñò
àâèòü
ñóììó
äâóõ
ñîáûòèé
A
+
B
ê
àê
ñóììó
íåñîâ-
ìåñòíûõ
ñîáûòèé.
åøåíèå.
I
A
+
B
=
I
A
+
I
B
−
I
A
I
B
=
I
A
+
I
B
I
A
,
I
A
I
B
+
I
B
.
Ñîáûòèÿ
BA
è
A
íåñîâìåñòíû,
ò
.
ê.
A
·
(
BA
) =
∅
.
6
Ò
àêèì
îáðàçîì,
A
+
B
=
A
+
BA ,
AB
+
B .
Ïðèìåð
3.
Íàéòè
ñîáûòèå
X
ò
àê
îå,
÷òî
A
·
X
=
A
·
A
·
B.
åøåíèå.
I
A
·
X
=
I
A
·
A
·
B
,
I
A
I
X
=
I
A
I
A
I
B
,
I
A
(
I
X
−
I
A
I
B
) = 0
,
I
X
−
I
A
I
B
=
I
AC
,
ã
äå
C
ëþáîå.
Îòñþ
äà
I
X
=
I
A
·
B
+
I
AC
=
I
A
·
B
+
AC
.
Ñîáûòèÿ
A
·
B
è
AC
íåñîâìåñòíû.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
X
=
A
·
B
+
AC
,
ã
äå
C
ëþáîå.
Çàäà
֏
Çàäà÷à
1.
Ïðåäñò
àâèòü
ñóììó
òðåõ
ñîáûòèé
ê
àê
ñóììó
íåñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé.
Çàäà÷à
2.
Íàéòè
ñîáûòèå
X
ò
àê
îå,
÷òî
X
+
A
+
X
+
A
=
B
.
Çàäà÷à
3.
Ïó
ñòü
A, B
è
C
ïðîèçâîëüíûå
ñîáûòèÿ.
Íàéäèòå
âûðà-
æ
åíèå
äëÿ
ñîáûòèÿ,
ñîñòî
ÿùåãî
â
òîì,
÷òî
èç
ñîáûòèé
A, B, C
1)
ïðîèçîøëî
òîëüê
î
ñîáûòèå
A
;
2)
âñå
òðè
ñîáûòèÿ
ïðîèçîøëè;
3)
ïðîèçîøëî,
ïî
êðàéíåé
ìåðå,
î
äíî
èç
ñîáûòèé;
4)
ïðîèçîøëî
òîëüê
î
î
äíî
èç
ñîáûòèé;
5)
ïðîèçîøëî
íå
áîëåå
äâóõ
ñîáûòèé.
2.
Êëàññè÷åñê
îå
îïðåäåëåíèå
âåðî
ÿòíîñòè
Ïó
ñòü
ðåçó
ëü
ò
àòû
îïûò
à
îáëàäàþò
ñèììåòðèåé
âîçìî
æíûõ
èñ
õ
î
äîâ,
òîã
äà
ìíî
æ
åñòâî
ñëó÷àåâ
ïðåäñò
àâëÿåò
ñîáîé
èñ÷åðïûâàþùèé
íàáîð
åãî
ðàâíîâîçìî
æíûõ
è
èñêëþ÷àþùèõ
äðóã
äðóã
à
èñ
õ
î
äîâ.
Ïðî
ò
àê
îé
îïûò
ãîâîð
ÿò
,
÷òî
îí
ñâî
äèòñ
ÿ
ê
ñ
õ
åìå
ñëó÷àåâ.
Ñëó÷àé
íàçûâàåòñ
ÿ
áëàãîïðè-
ÿòíûì
ñîáûòèþ
A
,
åñëè
ïî
ÿâëåíèå
ýòîãî
ñëó÷àÿ
âëå÷åò
çà
ñîáîé
ïî
ÿâëå-
íèå
ýòîãî
ñîáûòèÿ.
7
Êëàññè÷åñêîå
îïðåäå
ëåíèå
âåðîÿòíîñòè.
Åñëè
îïûò
ñâî
äèòñ
ÿ
ê
ñ
õ
åìå
ñëó÷àåâ,
òî
âåðî
ÿòíîñòü
ñîáûòèÿ
A
â
äàííîì
îïûòå
ìî
æíî
âû÷èñëèòü
ê
àê
äîëþ
áëàãîïðèÿòíûõ
ñëó÷àåâ
â
îáùåì
èõ
÷èñëå:
P
(
A
) =
m
A
n
,
(1)
ã
äå
m
A
÷èñëî
ñëó÷àåâ,
áëàãîïðèÿòíûõ
ñîáûòèþ
A
;
n
îáùåå
÷èñëî
ñëó÷àåâ.
Ïðèìåðû
ñ
ðåøåíèÿìè
Ïðèìåð
1.
(Óðíà
è
øàðû.)
Â
óðíå
íàõ
î
äèòñ
ÿ
5
øàðîâ,
èç
ê
îòîðûõ
2
áåëûõ
è
3
÷åðíûõ.
Èç
óðíû
íà
óã
àä
âûíèìàåòñ
ÿ
î
äèí
øàð.
Íàéòè
âåðî-
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ýòîò
øàð
áó
äåò
áåëûì.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
A
èíòåðåñóþùåå
íàñ
ñîáûòèå:
A
=
{
ïî
ÿâëåíèå
áåëîãî
øàðà
}
.
Îáùåå
÷èñëî
ñëó÷àåâ
n
= 5
;
èç
íèõ
äâà
áëàãîïðèÿòíû
ñîáûòèþ
A
:
m
A
= 2
.
Ïî
îðìó
ëå
(1)
P
(
A
) = 2
/
5
.
Ïðèìåð
2.
Â
óðíå
7
øàðîâ:
4
áåëûõ
è
3
÷åðíûõ.
Èç
íåå
âûíèìàþòñ
ÿ
áåç
âîçâðàùåíèÿ
(î
äíîâðåìåííî
èëè
ïîñëåäîâàòåëüíî)
äâà
øàðà.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
îíè
áó
äóò
áåëûìè.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
B
=
{
îáà
øàðà
áåëûå
}
.
Ïðè
ðåøåíèè
ýòîé
çà-
äà
֏
áó
äåì
ïîëüçîâàòüñ
ÿ
ýëåìåíò
àðíûìè
îðìó
ëàìè
ê
îìáèíàòîðèêè,
â
÷àñòíîñòè
îðìó
ëîé
äëÿ
÷èñëà
ñî÷åò
àíèé.
×èñëî
ñî÷åò
àíèé
èç
k
ýëåìåí-
òîâ
ïî
l
ýòî
÷èñëî
ñïîñîáîâ,
ê
îòîðûìè
ìî
æíî
âûáðàòü
l
ðàçëè÷íûõ
ýëåìåíòîâ
èç
k
;
îáîçíà
÷àåòñ
ÿ
îíî
C
l
k
è
âû÷èñëÿåòñ
ÿ
ïî
îðìó
ëå:
C
l
k
≡
k
l
=
k
!
l
!(
k
−
l
)!
.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
îáùåå
÷èñëî
ñëó÷àåâ
ðàâíî
÷èñëó
ñïîñîáîâ,
ê
àêèìè
ìî
æ-
íî
âûáðàòü
2
øàðà
èç
7:
n
=
C
2
7
=
7
·
6
1
·
2
= 21
,
à
÷èñëî
ñëó÷àåâ,
áëàãîïðèÿòíûõ
ñîáûòèþ
B
,
åñòü
ýòî
÷èñëî
ñïîñîáîâ,
ê
àêèìè
ìî
æíî
âûáðàòü
2
áåëûõ
øàðà
èç
4:
m
B
=
C
2
4
=
4
·
3
1
·
2
= 6
.
Îòñþ
äà
P
(
B
) =
6
21
=
2
7
.
8
Ïðèìåð
3.
(Óðíà
è
øàðû.
Çàäà÷à
î
âûáîðêå
áåç
âîçâð
àùåíèÿ.)
Â
ïàðòèè
èç
K
èçäåëèé
M
äååêòíûõ.
Èç
ïàðòèè
âûáèðàåòñ
ÿ
äëÿ
ê
îíòðîëÿ
k
èçäåëèé
(
k < K
).
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ñðåäè
íèõ
áó
äåò
ðîâíî
m
äååêòíûõ
(
m
≤
k
).
åøåíèå.
Îáùåå
÷èñëî
ñëó÷àåâ
n
=
C
k
K
.
Íàéäåì
m
D
÷èñëî
ñëó-
÷àåâ,
áëàãîïðèÿòíûõ
ñîáûòèþ
D
=
{
ðîâíî
m
äååêòíûõ
èçäåëèé
â
ê
îíòðîëüíîé
ïàðòèè
}
.
Íàéäåì
÷èñëî
ñïîñîáîâ,
ê
àêèìè
èç
M
äååêò-
íûõ
èçäåëèé
ìî
æíî
âûáðàòü
m
äëÿ
ê
îíòðîëüíîé
ïàðòèè;
îíî
ðàâíî
C
m
M
.
Ïðè
ýòîì
ê
ê
àæäîé
ê
îìáèíàöèè
äååêòíûõ
èçäåëèé
íóæíî
ïðèñîåäè-
íèòü
ê
îìáèíàöèþ
èç
k
−
m
èçäåëèé
áåç
äååêò
à.
Ýòî
ìî
æíî
ñ
äåëàòü
C
k
−
m
K
−
M
ñïîñîáàìè.
Êàæäàÿ
ê
îìáèíàöèÿ
èç
m
äååêòíûõ
èçäåëèé
ìî
æ
åò
ñî÷åò
àòüñ
ÿ
ñ
ê
àæäîé
ê
îìáèíàöèåé
èç
k
−
m
íåäååêòíûõ;
÷èñëî
òåõ
è
äðóãèõ
ê
îìáèíàöèé
íàäî
ïåðåìíî
æèòü.
Ïîýòîìó
÷èñëî
áëàãîïðèÿòíûõ
ñîáûòèþ
D
ñëó÷àåâ
ðàâíî
m
D
=
C
m
M
×
C
k
−
m
K
−
M
è
P
(
D
) =
C
m
M
×
C
k
−
m
K
−
M
C
k
K
.
Ïðèìåð
4.
(Øàðû
è
ëóíêè.
Çàäà÷à
î
ð
àçìåùåíèÿõ
).
Â
òðè
ëóíêè
(
N
= 3
)
ñëó÷àéíûì
îáðàçîì
ïîìåùàþòñ
ÿ
2
øàðà
(
n
= 2
).
Íàéòè
âåðî
ÿò-
íîñòü
òîãî,
÷òî
â
äâóõ
ëóíê
àõ
íàõ
î
äèòñ
ÿ
ïî
î
äíîìó
øàðó
.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
ñîáûòèå
A
=
{
â
äâóõ
ëóíê
àõ
íàõ
î
äèòñ
ÿ
ïî
î
äíîìó
øàðó
}
.
Îáùåå
÷èñëî
ñëó÷àåâ
n
=
N
n
= 3
2
= 9
.
àññìîòðèì
äâà
ñëó÷àÿ.
1.
Íóìåðîâàííûé
âàðèàíò
ðàçìåùåíèÿ,
ò
.å.
øàðû
ïðîíóìåðîâàíû.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
÷èñëî
áëàãîïðèÿòíûõ
ñëó÷àåâ
ðàâíî
6.
Ò
îã
äà
P
(
A
) =
6
9
=
2
3
.
2.
Øàðû
íå
ÿâëÿþòñ
ÿ
ïðîíóìåðîâàííûìè.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
÷èñëî
áëà-
ãîïðèÿòíûõ
èñ
õ
î
äîâ
ðàâíî
3.
Ò
îã
äà
P
(
A
) =
3
9
=
1
3
.
Ïðèìåð
5.
(Çàäà÷à
î
ïåðå
ìåøèâàíèè
áóêâ
â
ñ
ëîâå.).
Èç
5
áóêâ
ñî-
ñò
àâëåíî
ñëîâî
êíèã
à.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ïîñëå
ïåðåìåøèâà-
íèÿ
âíîâü
îáðàçó
åòñ
ÿ
ñëîâî
êíèã
à.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
ñîáûòèå
A
=
{
ïîñëå
ïåðåìåøèâàíèÿ
áóêâ
âíîâü
ïîëó÷èëîñü
ñëîâî
êíèã
à
}
.
×èñëî
áëàãîïðèÿòíûõ
èñ
õ
î
äîâ
ðàâíî
1.
Îáùåå
÷èñëî
ñëó÷àåâ
ðàâíî
÷èñëó
ïåðåñò
àíîâîê
èç
5
áóêâ
(èñïîëüçó
åì
îðìó
ëó
ê
îìáèíàòîðèêè
äëÿ
ïåðåñò
àíîâîê
áåç
ïîâòîðåíèé
P
n
=
n
!
),
à
9
èìåííî
5!
.
Ò
àêèì
îáðàçîì
P
(
A
) =
1
5!
=
1
120
.
Ïðèìåð
6.
(Çàäà÷à
î
ëèòå.)
Â
ëèò
12-ýò
àæíîãî
äîìà
íà
ïåðâîì
ýò
àæ
å
çàõ
î
äÿò
3
÷åëîâåê
à.
Íà
÷èíàÿ
ñ
÷åòâåðòîãî
ïî
äåâÿòûé
ýò
àæ,
îíè
âûõ
î
äÿò
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
âñå
òðè
÷åëîâåê
à
âûøëè
íà
ñåäü-
ìîì
ýò
àæ
å.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
A
=
{
âñå
òðè
÷åëîâåê
à
âûøëè
íà
7
ýò
àæ
å
}
.
Îáùåå
÷èñëî
èñ
õ
î
äîâ
ðàâíî
6
3
(èñïîëüçó
åì
îðìó
ëó
ðàçìåùåíèé
ñ
ïî-
âòîðåíèÿìè
A
m
n
=
n
m
).
Ò
îã
äà
P
(
A
) =
1
6
3
=
1
216
.
Çàäà
֏
Çàäà÷à
1.
Èç
÷åòûðåõ
ê
àðòî÷åê
ñ
áóêâàìè
ñîñò
àâëåíî
ñëîâî
áàéò.
Êà-
ê
îâà
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
âûáðàííûå
ïîñëåäîâàòåëüíî
ê
àðòî÷êè
âíîâü
îáðàçóþò
ñëîâî
áàéò.
Çàäà÷à
2.
Áðîñàþòñ
ÿ
ïÿòü
ïðàâèëüíûõ
èãðàëüíûõ
ê
îñòåé.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
ñîáûòèÿ,
÷òî
íà
íèõ
âûïàäåò
ðîâíî
äâå
äâîéêè.
Çàäà÷à
3.
Â
î
äíîì
ÿùèê
å
èìååòñ
ÿ
5
áåëûõ
è
10
êðàñíûõ
øàðîâ,
â
äðóãîì
5
êðàñíûõ
è
10
áåëûõ.
Èç
ê
àæäîãî
ÿùèê
à
âûíóòî
ïî
î
äíîìó
øàðó
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
ñîáûòèÿ
A
=
{
âûíóò
õ
îò
ÿ
áû
î
äèí
êðàñíûé
øàð
}
.
Çàäà÷à
4.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
áó
äóò
óã
àäàíû
äâå,
îò
ëè÷íûå
äðóã
îò
äðóã
à,
öèðû
ê
î
äà
áàíê
îâñê
îé
ê
àðòû.
Çàäà÷à
5.
8
ðàçëè÷íûõ
êíèã
ðàññò
àâëÿþò
ñëó÷àéíûì
îáðàçîì
íà
ïîë-
ê
å.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
äâå
îïðåäåëåííûå
êíèãè
îê
àæóòñ
ÿ
ïî-
ñò
àâëåííûìè
ð
ÿäîì.
Çàäà÷à
6.
20
÷åëîâåê
ðàññàæèâàþòñ
ÿ
íà
ïÿòè
ñê
àìåéê
àõ
ïî
÷åòûðå
÷åëîâåê
à
íà
ê
àæäîé.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
äâà
äàííûõ
ëèöà
îê
à-
æóòñ
ÿ
ñèäÿùèìè
ð
ÿäîì.
Çàäà÷à
7.
Â
ïàðòèè
èç
10
äåò
àëåé
7
ñò
àíäàðòíûõ.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
èç
âçÿòûõ
íà
óã
àä
øåñòè
äåò
àëåé
îê
àæ
åòñ
ÿ
÷åòûðå
ñò
àíäàðòíûõ.
Çàäà÷à
8.
Â
ëèò
12-ýò
àæíîãî
äîìà
íà
ïåðâîì
ýò
àæ
å
çàõ
î
äÿò
3
÷åëî-
âåê
à.
Íà
÷èíàÿ
ñ
÷åòâåðòîãî
ïî
äåâÿòûé
ýò
àæ,
îíè
âûõ
î
äÿò
.
Íàéòè
âåðî-
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
âñå
òðè
÷åëîâåê
à
âûøëè
íà
î
äíîì
ýò
àæ
å.
10