ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 319
Скачиваний: 1
3.
Ó
ñëîâíûå
âåðî
ÿòíîñòè
Îïðåäåëåíèå.
Ïó
ñòü
ñîáûòèå
H
èìååò
âåðî
ÿòíîñòü
P
(
H
)
6
= 0
.
Äëÿ
ëþáîãî
ñîáûòèÿ
A
âåëè÷èíà
P
(
A
|
H
) =
P
(
AH
)
P
(
H
)
(2)
íàçûâàåòñ
ÿ
óñ
ëîâíîé
âåðîÿòíîñòüþ
A
ïðè
ó
ñëîâèè
H
(èëè
ïðè
çàäàí-
íîì
H
).
Ïðèìåð.
(Èãð
àëüíûé
êóáèê.)
Ω =
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
.
àññìàòðèâàþòñ
ÿ
ñîáûòèÿ:
A
=
{
âûïàäåíèå
÷åòíîãî
÷èñëà
ïðè
ïî
äáðàñûâàíèè
èãðàëüíîãî
êóáèê
à
}
=
{
2
,
4
,
6
}
.
H
1
=
{
âûïàäåíèå
íå
áîëåå
òðåõ
î÷ê
îâ
}
=
{
1
,
2
,
3
}
.
H
2
=
{
âûïàäåíèå
áîëåå
òðåõ
î÷ê
îâ
}
=
{
4
,
5
,
6
}
.
AH
1
=
{
2
}
;
AH
2
=
{
4
,
6
}
;
P
(
A
) =
1
2
;
P
(
A
|
H
1
) =
1
3
;
P
(
A
|
H
2
) =
2
3
.
Íåçàâèñèìûå
ñîáûòèÿ.
Ñîáûòèÿ
A
è
H
íàçûâàþòñ
ÿ
íåçàâèñèìû-
ìè,
åñëè
ó
ñëîâíàÿ
âåðî
ÿòíîñòü
P
(
A
|
H
)
ñîáûòèÿ
A
îòíîñèòåëüíî
H
íå
çàâèñèò
îò
H
,
ò
.å.
P
(
A
|
H
) =
P
(
A
)
.
Ò
åîðåìû
ñëî
æ
åíèÿ
è
óìíî
æ
åíèÿ
âåðî
ÿòíîñòåé
Ò
åîðåìà
îá
óìíî
æ
åíèè
âåðî
ÿòíîñòåé.
Âåðî
ÿòíîñòü
ñîâìåñòíîãî
ïî
ÿâëåíèÿ
äâóõ
ñîáûòèé
ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ
âåðî
ÿòíîñòè
î
äíîãî
èç
íèõ
íà
ó
ñëîâíóþ
âåðî
ÿòíîñòü
äðóãîãî,
âû÷èñëåííóþ
â
ïðåäïîëî
æ
åíèè,
÷òî
ïåðâîå
ñîáûòèå
óæ
å
íàñòóïèëî:
P
(
AB
) =
P
(
B
)
·
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
)
·
P
(
B
|
A
)
.
(3)
Â
÷àñòíîñòè
äëÿ
íåçàâèñèìûõ
ñîáûòèé
P
(
AB
) =
P
(
B
)
·
P
(
A
)
.
Ñëåäñòâèå.
Âåðî
ÿòíîñòü
ñîâìåñòíîãî
ïî
ÿâëåíèÿ
íåñê
îëüêèõ
ñîáûòèé
ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ
âåðî
ÿòíîñòè
î
äíîãî
èç
íèõ
íà
ó
ñëîâíûå
âåðî
ÿòíî-
ñòè
âñåõ
îñò
àëüíûõ,
ïðè÷åì
âåðî
ÿòíîñòü
ê
àæäîãî
ïîñëåäóþùåãî
ñîáûòèÿ
âû÷èñëÿþò
â
ïðåäïîëî
æ
åíèè,
÷òî
âñå
ïðåäûäóùèå
ñîáûòèÿ
óæ
å
íàñòó-
ïèëè:
P
(
A
1
A
2
·
...
·
A
n
) =
P
(
A
1
)
·
P
(
A
2
|
A
1
)
·
P
(
A
3
|
A
1
A
2
)
·
...
·
P
(
A
n
|
A
1
·
...
·
A
n
−
1
)
.
11
Ò
åîðåìà
ñëî
æ
åíèÿ
âåðî
ÿòíîñòåé
ñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé.
Âåðî-
ÿòíîñòü
ïî
ÿâëåíèÿ
õ
îò
ÿ
áû
î
äíîãî
èç
äâóõ
ñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé
ðàâíà
ñóììå
âåðî
ÿòíîñòåé
ýòèõ
ñîáûòèé
áåç
âåðî
ÿòíîñòè
èõ
ñîâìåñòíîãî
ïî
ÿâ-
ëåíèÿ:
P
(
A
+
B
) =
P
(
A
) +
P
(
B
)
−
P
(
AB
)
.
(4)
Ôîðìó
ëà
ïîëíîé
âåðî
ÿòíîñòè
Âåðî
ÿòíîñòü
ñîáûòèÿ
A
,
ê
îòîðîå
ìî
æ
åò
íàñòóïèòü
ëèøü
ïðè
ïî
ÿâëå-
íèè
î
äíîãî
èç
íåñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé
(ãèïîòåç)
H
1
, H
2
, ..., H
n
îáðàçóþ-
ùèõ
ïîëíóþ
ãðóïïó
,
ðàâíà
ñóììå
ïðîèçâåäåíèé
âåðî
ÿòíîñòåé
ê
àæäîé
èç
ãèïîòåç
íà
ñîîòâåòñòâóþùóþ
ó
ñëîâíóþ
âåðî
ÿòíîñòü
ñîáûòèÿ
A
:
P
(
A
) =
n
X
i
=1
P
(
A
|
H
i
)
P
(
H
i
)
.
(5)
Ôîðìó
ëà
Áàéåñà
Ïó
ñòü
ñîáûòèå
A
ìî
æ
åò
íàñòóïèòü
ëèøü
ïðè
ó
ñëîâèè
ïî
ÿâëåíèÿ
î
äíî-
ãî
èç
íåñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé
(ãèïîòåç)
H
1
, H
2
, ..., H
n
,
ê
îòîðûå
îáðàçóþò
ïîëíóþ
ãðóïïó
ñîáûòèé.
Åñëè
ñîáûòèå
A
óæ
å
ïðîèçîøëî,
òî
âåðî
ÿòíîñòè
ãèïîòåç
ìîãóò
áûòü
ïåðåîöåíåíû
ïî
îðìó
ëàì
Áàéåñà
P
(
H
k
|
A
) =
P
(
H
k
)
P
(
A
|
H
k
)
P
n
i
=1
P
(
A
|
H
i
)
P
(
H
i
)
.
(6)
Ïðèìåðû
ñ
ðåøåíèÿìè
Ïðèìåð
1.
(Âå
ëîãîíùèê.
Ò
åîðå
ìû
ñ
ëîæåíèÿ
è
óìíîæåíèÿ
âåðîÿò-
íîñòåé.)
Âåëîãîíùèê
òåð
ÿåò
íàäåæäó
íà
ó
ñïåõ
â
ãîíê
å,
åñëè
ñ
äåëàåò
ïðî-
ê
îë
â
øèíå.
Âåðî
ÿòíîñòü
ïðîê
îëà
â
øèíå
ðàâíà
0.01.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ãîíùèê
ñîéäåò
ñ
äèñò
àíöèè.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
ñîáûòèå
A
=
{
ãîíùèê
ñ
õ
î
äèò
ñ
äèñò
àíöèè
}
,
A
1
=
{
ïðîê
îë
ïåðâîãî
ê
îëåñà
}
,
A
2
=
{
ïðîê
îë
âòîðîãî
ê
îëåñà
}
.
Ñîáû-
òèÿ
A
1
è
A
2
ÿâëÿþòñ
ÿ
íåçàâèñèìûìè.
Èñïîëüçó
ÿ
òåîðåìû
ñëî
æ
åíèÿ
è
óìíî
æ
åíèÿ
âåðî
ÿòíîñòåé,
ïîëó÷àåì
P
(
A
) =
P
(
A
1
+
A
2
) =
P
(
A
1
) +
A
(
A
2
)
−
P
(
A
1
A
2
) =
=
P
(
A
1
) +
A
(
A
2
)
−
P
(
A
1
)
P
(
A
2
) = 0
.
01 + 0
.
01
−
0
.
01
2
= 0
.
0199
.
Ïðèìåð
2.
(Çàäà÷à
î
êíèãàõ.)
Íà
ñòåëëàæ
å
áèáëèîòåêè
â
ñëó÷àé-
íîì
ïîð
ÿäê
å
ðàññò
àâëåíî
15
ó÷åáíèê
îâ,
ïðè÷åì
ïÿòü
èç
íèõ
â
ïåðåïëåòå.
12
Áèáëèîòåê
àðü
áåðåò
íà
ó
äà
÷ó
òðè
ó÷åáíèê
à.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
õ
îò
ÿ
áû
î
äèí
èç
âçÿòûõ
ó÷åáíèê
îâ
îê
àæ
åòñ
ÿ
â
ïåðåïëåòå.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
ñîáûòèå
A
=
{
õ
îò
ÿ
áû
î
äèí
èç
âçÿòûõ
ó÷åá-
íèê
îâ
îê
àçàëñ
ÿ
â
ïåðåïëåòå
}
.
Õîò
ÿ
áû
î
äèí
èç
òðåõ
âçÿòûõ
ó÷åáíèê
îâ
îê
àæ
åòñ
ÿ
â
ïåðåïëåòå,
åñëè
ïðîèçîéäåò
ëþáîå
èç
ñëåäóþùèõ
òðåõ
íåñîâ-
ìåñòíûõ
ñîáûòèé:
B
=
{î
äèí
ó÷åáíèê
îê
àçàëñ
ÿ
â
ïåðåïëåòå};
C
=
{äâà
ó÷åáíèê
à
â
ïåðåïëåòå};
D
=
{òðè
ó÷åáíèê
à
â
ïåðåïëåòå}.
A
=
B
+
C
+
D
.
Ïî
òåîðåìå
ñëî
æ
åíèÿ
P
(
A
) =
P
(
B
) +
P
(
C
) +
P
(
D
)
.
Íàéäåì
âåðî
ÿò-
íîñòè
ñîáûòèé
B, C, D
:
P
(
B
) =
C
1
5
C
2
10
C
3
15
=
45
91
, P
(
C
) =
C
2
5
C
1
10
C
3
15
=
20
91
, P
(
B
) =
C
3
5
C
3
15
=
2
91
.
Ò
îã
äà
P
(
A
) =
45
91
+
20
91
+
2
91
=
67
91
.
Ïðèìåð
3.
(Çàäà÷à
î
ìîíåòàõ.
Ôîð
ìóëà
ïî
ëíîé
âåðîÿòíîñòè.)
Ïó
ñòü
èç
äåñ
ÿòè
ìîíåò
î
äíà
áðàê
îâàííàÿ
(ò
.å.
ãåðá
ñ
äâóõ
ñòîðîí).
Íà
óã
àä
âû-
áðàííóþ
ìîíåòó
áðîñàþò
òðè
ðàçà.
Êàê
îâà
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ïðè
âñåõ
áðîñàíèÿõ
ìîíåò
à
óïàäåò
ãåðáîì
êâåð
õó
.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
ñîáûòèå
A
=
{ìîíåò
à
òðè
ðàçà
óïàëà
ãåðáîì
êâåð
õó},
H
1
=
{áûëà
âûáðàíà
ñò
àíäàðòíàÿ
ìîíåò
à},
H
2
=
{áûëà
âûáðàíà
áðàê
îâàííàÿ
ìîíåò
à}.
Ò
îã
äà
P
(
H
1
) =
9
10
, P
(
H
2
) =
1
10
, P
(
A
|
H
1
) =
1
2
3
=
1
8
, P
(
A
|
H
2
) = 1
.
Èñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
ïîëíîé
âåðî
ÿòíîñòè,
ïîëó÷àåì
P
(
A
) =
1
8
·
9
10
+ 1
·
1
10
=
17
80
.
Ïðèìåð
4.
(Çàäà÷à
î
ìîíåòàõ.
Ôîð
ìóëà
Áàéåñ
à.)
Ïó
ñòü
ïðîâåäåí
îïûò
,
ê
îòîðûé
ñîîòâåòñòâó
åò
ó
ñëîâèÿì
ïðåäûäóùåé
çàäà
֏,
è
ìîíåò
à
òðè
ðàçà
óïàëà
ãåðáîì
êâåð
õó
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
áûëà
âûáðàíà
1)
ò
àíäàðòíàÿ
ìîíåò
à;
2)
áðàê
îâàííàÿ
ìîíåò
à.
åøåíèå.
Èñïîëüçó
åì
òå
æ
å
îáîçíà
÷åíèÿ,
÷òî
è
â
ïðåäûäóùåé
çà-
äà
֌:
A
=
{ìîíåò
à
òðè
ðàçà
óïàëà
ãåðáîì
êâåð
õó},
H
1
=
{áûëà
âûáðàíà
ñò
àíäàðòíàÿ
ìîíåò
à},
H
2
=
{áûëà
âûáðàíà
áðàê
îâàííàÿ
ìîíåò
à}.
Ñ
ó÷å-
òîì
íàéäåííûõ
â
ïðåäûäóùåé
çàäà
֌
âåðî
ÿòíîñòåé
P
(
H
1
) =
9
10
, P
(
H
2
) =
1
10
, P
(
A
|
H
1
) =
1
2
3
=
1
8
, P
(
A
|
H
2
) = 1
,
13
à
ò
àêæ
å
P
(
A
) = 17
/
80
,
èñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
Áàéåñà,
ïîëó÷àåì
P
(
H
1
|
A
) =
P
(
A
|
H
1
)
P
(
H
1
)
P
(
A
)
=
9
17
.
Àíàëîãè÷íî
P
(
H
2
|
A
) =
P
(
A
|
H
2
)
P
(
H
2
)
P
(
A
)
=
8
17
.
Ïðèìåð
5.
(Øàðû
è
óðíû.
Ôîð
ìóëà
ïî
ëíîé
âåðîÿòíîñòè.)
Èìåþòñ
ÿ
òðè
î
äèíàê
îâûå
óðíû.
Â
ïåðâîé
2
áåëûõ
øàðà
è
3
÷åðíûõ,
âî
âòîðîé
4
áåëûõ
è
1
÷åðíûé,
â
òðåòüåé
3
áåëûõ
øàðà.
Èç
íà
óã
àä
âûáðàííîé
óðíû
âûáèðàåòñ
ÿ
î
äèí
øàð.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ýòîò
øàð
áó
äåò
áåëûì.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
A
=
{âûáðàëè
áåëûé
øàð},
H
1
=
{âûáðàíà
ïåð-
âàÿ
óðíà},
H
2
=
{âûáðàíà
âòîðàÿ
óðíà},
H
3
=
{âûáðàíà
òðåòüÿ
óðíà}.
Î÷åâèäíî,
÷òî
P
(
H
1
) =
P
(
H
2
) =
P
(
H
3
) = 1
/
3
.
P
(
A
|
H
1
) =
2
5
, P
(
A
|
H
2
) =
4
5
, P
(
A
|
H
3
) = 1
.
Èñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
ïîëíîé
âåðî
ÿòíîñòè,
ïîëó÷àåì
P
(
A
) =
1
3
·
2
5
+
1
3
·
4
5
+
1
3
·
1 =
11
15
.
Çàäà
֏
Çàäà÷à
1.
Ñîáðàíèå
ñî÷èíåíèé
èç
ñåìè
òîìîâ
ðàñïîëàã
àåòñ
ÿ
íà
êíèæ-
íîé
ïîëê
å
â
ñëó÷àéíîì
ïîð
ÿäê
å.
Íàéòè
1)
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
òðåòèé
òîì
áó
äåò
ðàñïîëî
æ
åí
íà
ñâîåì,
òðåòüåì,
ïîð
ÿäê
îâîì
ìåñòå;
2)
ó
ñëîâ-
íóþ
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
òðåòèé
òîì
îê
àæ
åòñ
ÿ
íà
òðåòüåì
ìåñòå,
ïðè
ó
ñëîâèè,
÷òî
ñåäüìûì
íà
ïîëê
å
ñòîèò
ñåäüìîé
òîì.
Çàäà÷à
2.
Èçâåñòíî,
÷òî
5
%
âñåõ
ìóæ÷èí
è
0.25
%
æ
åíùèí
ÿâëÿþòñ
ÿ
äàëü
òîíèê
àìè.
Ñëó÷àéíî
âûáðàííîå
ëèöî
îê
àçàëîñü
äàëü
òîíèê
îì.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ýòî
ìóæ÷èíà.
Çàäà÷à
3.
Ïðè
ïîìåùåíèè
â
ÿùèê
N
øàðîâ
(
M
áåëûõ,
N
−
M
êðàñ-
íûõ)
î
äèí
øàð
íåèçâåñòíîãî
öâåò
à
çàòåð
ÿëñ
ÿ.
Èç
îñò
àâøèõ
ñ
ÿ
â
ÿùèê
å
N
−
1
øàðîâ
ñëó÷àéíî
âûáèðàþò
î
äèí
øàð.
Êàê
îâà
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
âûíóòûé
øàð
îê
àæ
åòñ
ÿ
áåëûì?
Çàäà÷à
4.
Ñîîáùåíèå
ìî
æ
åò
ïåðåäàâàòüñ
ÿ
ïî
î
äíîìó
èç
n
ê
àíàëîâ
ñâÿçè,
íàõ
î
äÿùèõ
ñ
ÿ
â
ðàçëè÷íûõ
ñîñòî
ÿíèÿõ;
èç
íèõ
n
1
ê
àíàëîâ
â
îò-
ëè÷íîì
ñîñòî
ÿíèè,
n
2
â
õ
îðîøåì,
n
3
â
ïîñðåäñòâåííîì,
n
4
â
ïëî
õ
îì
(
n
=
n
1
+
n
2
+
n
3
+
n
4
).
Âåðî
ÿòíîñòü
ïðàâèëüíîé
ïåðåäà
֏
ñîîáùåíèÿ
14
äëÿ
ðàçíîãî
âèäà
ê
àíàëîâ
ðàâíà
ñîîòâåòñòâåííî
p
1
, p
2
, p
3
, p
4
.
Äëÿ
ïî-
âûøåíèÿ
åãî
äîñòîâåðíîñòè
ñîîáùåíèå
ïåðåäàåòñ
ÿ
äâà
ðàçà
ïî
î
äíîìó
è
òîìó
æ
å
ê
àíàëó
,
ê
îòîðûé
âûáèðàåòñ
ÿ
íà
óã
àä.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
õ
îò
ÿ
áû
î
äèí
ðàç
îíî
áó
äåò
ïåðåäàíî
ïðàâèëüíî.
Çàäà÷à
5.
Áðîñàþòñ
ÿ
òðè
èãðàëüíûå
ê
îñòè.
Êàê
îâà
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
õ
îò
ÿ
áû
íà
î
äíîé
èç
íèõ
âûïàëà
åäèíèöà,
åñëè
íà
òðåõ
ê
îñò
ÿõ
âûïàëè
ðàçíûå
ãðàíè?
4.
Ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû.
×èñëîâûå
õ
àðàê-
òåðèñòèêè
ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí
Îïðåäåëåíèå.
Ïî
ä
ñ
ëó÷àéíîé
âå
ëè÷èíîé
ïîíèìàåòñ
ÿ
âåëè÷èíà,
ê
î-
òîðàÿ
â
îïûòå
ñî
ñëó÷àéíûì
èñ
õ
î
äîì
ïðèíèìàåò
òî
èëè
èíîå
çíà
÷åíèå.
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
U
åñòü
÷èñëîâàÿ
óíêöèÿ
ýëåìåíò
àðíîãî
ñîáûòèÿ
ω
U
=
ϕ
(
ω
)
.
(7)
Ìíî
æ
åñòâî
âîçìî
æíûõ
çíà
÷åíèé
U
= (
u
1
, u
2
, ..., u
n
, ...
)
ñîñòîèò
èç
âñåõ
çíà
÷åíèé,
ê
îòîðûå
ïðèíèìàåò
óíêöèÿ
ϕ
.
Äèñêðåòíàÿ
ñ
ëó÷àéíàÿ
âå
ëè÷èíà
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà,
ïðèíèìàþ-
ùàÿ
îò
äåëåííûå
äðóã
îò
äðóã
à
çíà
÷åíèÿ,
ê
îòîðûå
ìî
æíî
ïåðåíóìåðî-
âàòü.
Íåïðåðûâíàÿ
ñ
ëó÷àéíàÿ
âå
ëè÷èíà
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà,
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ
ê
îòîðîé
íåïðåðûâíî
çàïîëíÿþò
ê
àê
îé-òî
ïðîìåæóòîê
÷èñëîâîé
îñè.
Çàêîíî
ì
ð
àñïðåäå
ëåíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
íàçûâàåòñ
ÿ
âñ
ÿê
îå
ñîîò-
íîøåíèå,
ó
ñò
àíàâëèâàþùåå
ñâÿçü
ìåæäó
âîçìî
æíûìè
çíà
÷åíèÿìè
ñëó-
÷àéíîé
âåëè÷èíû
è
ñîîòâåòñòâóþùèìè
èì
âåðî
ÿòíîñò
ÿìè.
Çàê
îí
ðàñïðå-
äåëåíèÿ
ìî
æ
åò
èìåòü
ðàçíûå
îðìû.
ÿäî
ì
ð
àñïðåäå
ëåíèÿ
äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
íàçûâàåòñ
ÿ
ò
àáëèöà,
ã
äå
ïåðå÷èñëåíû
âîçìî
æíûå
(ðàçëè÷íûå)
çíà
÷åíèÿ
ýòîé
ñëó-
÷àéíîé
âåëè÷èíû
x
1
, x
2
, ..., x
n
ñ
ñîîòâåòñòâóþùèìè
èì
âåðî
ÿòíîñò
ÿìè
p
1
, p
2
, ..., p
n
:
x
i
x
1
x
2
...
x
n
p
i
p
1
p
2
...
p
n
ã
äå
p
i
=
P
(
x
=
x
i
)
,
P
n
i
=1
p
i
= 1
.
ðàè÷åñê
îå
èçîáðàæ
åíèå
ð
ÿäà
ðàñïðåäåëåíèÿ
íàçûâàåòñ
ÿ
ìíîãîóãî
ëü-
íèêî
ì
ð
àñïðåäå
ëåíèÿ
(ðèñ.
1).
15