ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 320
Скачиваний: 1
èñ.
1
Ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïó
ñòü
x
åñòü
íåê
îòîðîå
äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî.
Ñîáûòèå,
÷òî
ñëó÷àé-
íàÿ
âåëè÷èíà
U
ïðèìåò
çíà
÷åíèå
ìåíüøåå,
÷åì
x
,
îáîçíà
÷èì
ê
àê
U < x
.
Âåðî
ÿòíîñòü
ýòîãî
ñîáûòèÿ
P
(
U < x
)
,
ðàññìàòðèâàåìàÿ
ê
àê
óíêöèÿ
îò
x
,
íàçûâàåòñ
ÿ
óíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
U
:
F
(
x
) =
P
(
U < x
)
.
(8)
Ñâîéñòâà
óíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
Ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
)
îáëàäàåò
äâóìÿ
ñâîéñòâàìè,
ñëåäóþ-
ùèìè
èç
îïðåäåëåíèÿ:
F
(
−∞
) = 0
,
F
(+
∞
) = 1
.
(9)
Ôóíêöèÿ
F
(
x
)
åñòü
íåóáûâàþùàÿ
óíêöèÿ
ñâîåãî
àðãóìåíò
à:
F
(
x
2
)
≥
F
(
x
1
)
,
ïðè
x
2
> x
1
.
(10)
Ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ
è
âåðî
ÿòíîñòè
ñîáûòèé
Çíàíèå
óíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
)
ïîçâîëÿåò
íàéòè
âåðî
ÿòíîñòè
ëþáûõ
ñîáûòèé,
ñâÿçàííûõ
ñî
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíîé
U
.
Âåðî
ÿòíîñòü
ñî-
áûòèÿ
B
=
{
α
≤
U < β
},
÷òî
çíà
÷åíèå
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
U
â
ðåçó
ëü-
ò
àòå
îïûò
à
áó
äåò
ïðèíàäëåæ
àòü
çàäàííîìó
èíòåðâàëó
[
α, β
)
,
îïðåäåëÿ-
åòñ
ÿ
ê
àê
ïðèðàùåíèå
óíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
íà
ýòîì
èíòåðâàëå:
P
(
α
≤
U < β
) =
F
(
β
)
−
F
(
α
)
.
(11)
16
àññìîòðèì
òðè
ñîáûòèÿ:
A
=
{
U < x
1
}
, B
=
{
x
1
≤
U < x
2
}
, C
=
{
U < x
2
}
.
Ñîáûòèÿ
A
è
B
íåñîâìåñòíû,
ïðè
ýòîì
C
=
A
+
B
.
Âåðî
ÿòíîñòü
ñîáûòèÿ,
÷òî
çíà
÷åíèå
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
â
ðåçó
ëü
ò
àòå
îïûò
à
áó
äåò
ðàâíî
îò
äåëüíîìó
çíà
÷åíèþ:
P
(
U
=
u
i
) = lim
x
→
u
i
[
F
(
x
)
−
F
(
u
i
)]
.
(12)
Çàìå÷àíèå.
Åñëè
óíêöèÿ
F
(
x
)
íåïðåðûâíà,
òî
âåðî
ÿòíîñòü
ëþáîãî
çàäàííîãî
çíà
÷åíèÿ
P
(
U
=
x
0
) = 0
.
Ïëîòíîñòü
âåðî
ÿòíîñòåé
Ïëîòíîñòüþ
ð
àñïðåäå
ëåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
íàçûâàþò
ïåðâóþ
ïðîèçâî
äíóþ
îò
óíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ:
f
(
x
) =
F
′
(
x
) =
d
dx
F
(
x
)
.
(13)
Äëÿ
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
îðìó
ëà
(11)
ïðèíèìàåò
âèä
P
(
α
≤
U < β
) =
β
Z
α
f
(
x
)
dx.
(14)
Ñâîéñòâà
ïëîòíîñòè
âåðî
ÿòíîñòåé
1.
f
(
x
)
≥
0
.
2.
∞
Z
−∞
f
(
x
)
dx
= 1
(ó
ñëîâèå
íîðìèðîâêè).
3.
F
(
x
) =
x
Z
−∞
f
(
t
)
dt .
×èñëîâûå
õ
àðàêòåðèñòèêè
ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí
Ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
Ìàòå
ìàòè÷åñêèì
îæèäàíèå
ì
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
íàçûâàåòñ
ÿ
åå
ñðåäíåå
çíà
÷åíèå,
âû÷èñëÿåìîå
ïî
ñëåäóþùèì
îðìó
ëàì.
17
1.
Äëÿ
äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
M
[
X
] =
n
X
i
=1
x
i
p
i
.
2.
Äëÿ
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
M
[
X
] =
∞
Z
−∞
xf
(
x
)
dx.
Ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
M
[
X
]
êðàòê
î
îáîçíà
÷àåòñ
ÿ
m
X
.
Ïðîñòåéøèå
ñâîéñòâà
ìàòåìàòè÷åñê
îãî
î
æèäàíèÿ.
1.
Ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
íåñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
c
ðàâíî
ñàìîé
âåëè÷èíå
c
:
M
[
c
] =
c.
2.
Ïðè
ïðèáàâëåíèè
ê
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå
X
íåñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
c
ê
åå
ìàòåìàòè÷åñê
îìó
î
æèäàíèþ
ïðèáàâëÿåòñ
ÿ
ò
à
æ
å
âåëè÷èíà:
M
[
X
+
c
] =
M
[
X
] +
c.
3.
Ïðè
óìíî
æ
åíèè
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
íà
íåñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó
c
íà
òó
æ
å
âåëè÷èíó
c
óìíî
æ
àåòñ
ÿ
åå
ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå:
M
[
cX
] =
cM
[
X
]
.
4.
Ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
ïðîèçâåäåíèÿ
âçàèìíî
íåçàâèñèìûõ
ñëó-
÷àéíûõ
âåëè÷èí
ðàâíî
ïðîèçâåäåíèþ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
î
æèäàíèé
ñîìíî-
æèòåëåé:
M
[
X
1
X
2
...X
n
] =
M
[
X
1
]
M
[
X
2
]
...M
[
X
n
]
.
5.
Ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
ñóììû
ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí
ðàâíî
ñóììå
ìàòåìàòè÷åñêèõ
î
æèäàíèé
ñëàã
àåìûõ:
M
[
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
] =
M
[
X
1
] +
M
[
X
2
] +
...
+
M
[
X
n
]
.
Öåíòðèðîâàííîé
ñ
ëó÷àéíîé
âå
ëè÷èíîé
íàçûâàåòñ
ÿ
ðàçíîñòü
ìåæäó
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíîé
X
è
åå
ìàòåìàòè÷åñêèì
î
æèäàíèåì:
˚
X
=
X
−
M
[
X
]
.
18
Äèñïåðñèÿ
Äèñïåðñèåé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
íàçûâàåòñ
ÿ
ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æè-
äàíèå
êâàäðàò
à
ñîîòâåòñòâóþùåé
öåíòðèðîâàííîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
D
[
X
] =
M
[ ˚
X
2
]
.
Äèñïåðñèÿ
âû÷èñëÿåòñ
ÿ
ïî
ñëåäóþùèì
îðìó
ëàì.
1.
Äëÿ
äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
D
[
X
] =
n
X
i
=1
(
x
i
−
M
[
X
])
2
p
i
.
2.
Äëÿ
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
D
[
X
] =
∞
Z
−∞
(
x
−
M
[
X
])
2
f
(
x
)
dx.
Äèñïåðñèÿ
D
[
X
]
êðàòê
î
îáîçíà
÷àåòñ
ÿ
D
X
.
Ïðîñòåéøèå
ñâîéñòâà
äèñïåðñèè.
1.
Äèñïåðñèÿ
íåñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
c
ðàâíà
íó
ëþ:
D
[
c
] = 0
.
2.
Ïðè
ïðèáàâëåíèè
ê
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå
X
íåñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
c
åå
äèñïåðñèÿ
íå
ìåíÿåòñ
ÿ:
D
[
X
+
c
] =
D
[
X
]
.
3.
Ïðè
óìíî
æ
åíèè
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
íà
íåñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó
c
åå
äèñïåðñèþ
óìíî
æ
àþò
íà
c
2
:
D
[
cX
] =
c
2
D
[
X
]
.
4.
Äèñïåðñèÿ
ñóììû
íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí
ðàâíà
ñóììå
äèñïåðñèé
ñëàã
àåìûõ:
D
[
X
1
+
X
2
...
+
X
n
] =
D
[
X
1
] +
D
[
X
2
]
...
+
D
[
X
n
]
.
Ñðåäíèì
êâàäð
àòè÷åñêèì
îòêëîíåíèå
ì
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
íà-
çûâàåòñ
ÿ
ê
îðåíü
êâàäðàòíûé
èç
äèñïåðñèè
σ
X
=
√
D
X
.
19
Ïðèìåðû
ñ
ðåøåíèÿìè
Ïðèìåð
1.
Äèñêðåòíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
U
çàäàíà
çàê
îíîì
ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ
U
2
4
7
p
0.5
0.2
0.3
Íàéòè
óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
)
è
íà
÷åðòèòü
åå
ãðàèê.
åøåíèå.
Çíà
÷åíèé,
ìåíüøèõ
÷èñëà
2,
âåëè÷èíà
U
íå
ïðèìåò
.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
ïðè
x
≤
2
,
F
(
x
) =
P
(
U < x
) = 0
.
Åñëè
2
< x
≤
4
,
òî
F
(
x
) = 0
.
5
.
Äåéñòâèòåëüíî,
U
ìî
æ
åò
ïðèíÿòü
çíà
÷åíèå
2
ñ
âåðî
ÿòíîñòüþ
0.5.
Åñëè
4
< x
≤
7
,
òî
F
(
x
) = 0
.
7
.
Äåéñòâèòåëüíî,
U
ìî
æ
åò
ïðèíÿòü
çíà
÷åíèå
2
ñ
âåðî
ÿòíîñòüþ
0.5
è
çíà
÷åíèå
4
ñ
âåðî
ÿòíîñòüþ
0.2,
ò
.å.
î
äíî
èç
ýòèõ
çíà
÷åíèé
ñ
âåðî
ÿòíîñòüþ
0
.
5 + 0
.
2 = 0
.
7
.
Åñëè
x >
7
,
òî
F
(
x
) = 1
:
ñîáûòèå
U
≤
7
äîñòîâåðíî
è
âåðî
ÿòíîñòü
åãî
ðàâíà
1.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
èñê
îìàÿ
óíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ
èìååò
âèä
F
(
x
) =
0
ïðè
x
≤
2
,
0
.
5
ïðè
2
< x
≤
4
,
0
.
7
ïðè
4
< x
≤
7
,
1
ïðè
x >
7
.
ðàèê
óíêöèè
ïðèâåäåí
íà
ðèñóíê
å
2.
èñ.
2
Ïðèìåð
2.
Èç
25
âîïðîñîâ,
âêëþ÷åííûõ
â
ïðîãðàììó
ýêçàìåíà,
ñòó-
äåíò
ïî
äãîòîâèë
20.
Íà
ýêçàìåíå
ñòó
äåíò
ñëó÷àéíûì
îáðàçîì
âûáèðàåò
5
20