ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 318
Скачиваний: 1
âîïðîñîâ
èç
25.
Äëÿ
ñ
äà
֏
ýêçàìåíà
äîñò
àòî÷íî
îòâåòèòü
ïðàâèëüíî
õ
î-
ò
ÿ
áû
íà
3
âîïðîñà.
Íàéòè
óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
èíäèê
àòîðà
ñîáûòèÿ,
÷òî
ñòó
äåíò
ñ
äàñò
ýêçàìåí.
åøåíèå.
Îáîçíà
÷èì
ñîáûòèå
A
=
{ñòó
äåíò
ñ
äàë
ýêçàìåí}.
Ò
îã
äà
P
(
A
) =
C
5
20
+
C
4
20
C
1
5
+
C
3
20
C
2
5
C
5
25
=
15504 + 24225 + 11400
53130
= 0
.
9623
.
Èíäèê
àòîð
ñîáûòèÿ
A
èìååò
âèä
I
=
I
A
(
ω
) =
1
,
ω
∈
A
0
,
ω /
∈
A.
ÿä
ðàñïðåäåëåíèÿ
èíäèê
àòîðà
I
ñîáûòèÿ
A
èìååò
âèä
I
0
1
p
1
−
P
(
A
)
P
(
A
)
èëè
I
0
1
p
0.0377
0.9623
Ò
àêèì
îáðàçîì,
F
(
x
) =
0
ïðè
x
≤
0
,
0
.
0377
ïðè
0
< x
≤
1
,
1
ïðè
x >
1
.
Ïðèìåð
3.
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
U
çàäàíà
óíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
) =
0
ïðè
x
≤
2
,
0
.
5
x
ïðè
2
< x
≤
4
,
1
ïðè
x >
4
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
â
ðåçó
ëü
ò
àòå
èñïûò
àíèÿ
U
ïðèìåò
çíà
÷åíèå
ìåíüøåå
òðåõ.
åøåíèå.
Ñîáûòèÿ
U
≥
3
è
U <
3
ïðîòèâîïîëî
æíû
(íåñîâìåñòíû),
ïîýòîìó
,
P
(
U
≥
3) +
P
(
U <
3) = 1
.
P
(
U <
3) =
F
(3) = (0
.
5
x
−
1)
x
=3
= 1
.
5
−
1 = 0
.
5
.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
ïîëó÷àåì
P
(
U
≥
3) = 1
−
0
.
5 = 0
.
5
.
Ïðèìåð
4.
Ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè-
÷èíû
U
çàäàíà
ïëîòíîñòüþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
f
(
x
) = (3
/
2) sin 3
x
â
èíòåð-
âàëå
(0
.π/
3)
,
âíå
ýòîãî
èíòåðâàëà
f
(
x
) = 0
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
U
ïðèìåò
çíà
÷åíèå,
ïðèíàäëåæ
àùåå
èíòåðâàëó
(
π/
6
, π/
4)
.
åøåíèå.
Âîñïîëüçó
åìñ
ÿ
îðìó
ëîé
(14)
P
π
6
< U <
π
4
=
π/
4
Z
π/
6
3
2
sin(3
x
)
dx
=
√
2
4
.
21
Ïðèìåð
5.
Â
òåõíè÷åñê
îì
ó
ñòðîéñòâå
ðàáîò
àþò
äâà
íåçàâèñèìûõ
áëîê
à.
Âåðî
ÿòíîñòü
áåçîòê
àçíîé
ðàáîòû
ïåðâîãî
áëîê
à
p
1
= 0
.
4
,
âòîðîãî
p
2
= 0
.
7
.
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
÷èñëî
ðàáîò
àþùèõ
áëîê
îâ.
Íàéòè
åå
ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
è
äèñïåðñèþ.
åøåíèå.
Äèñêðåòíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
ìî
æ
åò
ïðèíèìàòü
òðè
çíà
÷åíèÿ
0,
1,
2.
Âåðî
ÿòíîñòè
ýòèõ
çíà
÷åíèé:
p
0
=
P
(
X
= 0) = 0
.
6
·
0
.
3 = 0
.
18;
p
2
=
P
(
X
= 2) = 0
.
4
·
0
.
7 = 0
.
28
.
Âåðî
ÿòíîñòü
p
1
=
P
(
X
= 1)
íàéäåì,
äîïîëíÿÿ
äî
åäèíèöû
ñóììó
äâóõ
äðóãèõ
âåðî
ÿòíîñòåé:
p
1
= 1
−
(0
.
18 + 0
.
28) = 0
.
54
.
ÿä
ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
0
1
2
0.18
0.54
0.28
Íåïîñðåäñòâåííî
èç
ð
ÿäà
ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
ïî-
ëó÷èì
m
X
= 0 + 0
.
54 + 2
·
0
.
28 = 1
.
1;
D
X
= 0 + 0
.
54 + 2
2
·
0
.
28
−
1
.
1
2
= 0
.
45
.
Ïðèìåð
6.
Íàéòè
äèñïåðñèþ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
,
çàäàííóþ
óíê-
öèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
) =
0
ïðè
x
≤ −
2
,
x/
4 + 1
/
2
ïðè
−
2
< x
≤
2
,
1
ïðè
x >
2
.
åøåíèå.
Íàéäåì
ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ:
f
(
x
) =
0
ïðè
x
≤ −
2
,
1
/
4
ïðè
−
2
< x
≤
2
,
0
ïðè
x >
2
.
Íàéäåì
ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
M
[
X
] =
2
Z
−
2
xf
(
x
)
dx
=
2
Z
−
2
x
1
4
dx
= 0
.
Íàéäåì
èñê
îìóþ
äèñïåðñèþ,
ó÷èòûâàÿ,
÷òî
M
[
X
] = 0 :
D
[
X
] =
2
Z
−
2
(
x
−
M
[
X
])
2
f
(
x
)
dx
=
2
Z
−
2
x
2
1
4
dx
=
4
3
.
22
Çàäà
֏
Çàäà÷à
1.
Íàéòè
óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
èíäèê
àòîðà
ñîáûòèÿ
ñ
âå-
ðî
ÿòíîñòüþ
0.3
è
ïîñòðîèòü
åå
ãðàèê.
Çàäà÷à
2.
Åñòü
8
äåò
àëåé,
èç
íèõ
2
íåñò
àíäàðòíûå.
Ñëó÷àéíûì
îá-
ðàçîì
îòáèðàþò
äâå
äåò
àëè.
Íàéòè
óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
÷èñëà
ñò
àí-
äàðòíûõ
äåò
àëåé
ñðåäè
îòîáðàííûõ.
Çàäà÷à
3.
Äèñêðåòíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
çàäàíà
çàê
îíîì
ðàñïðåäå-
ëåíèÿ
U
3
4
7
10
p
0.2
0.1
0.4
0.3
Íàéòè
óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
)
è
íà
÷åðòèòü
åå
ãðàèê.
Íàéòè
ìà-
òåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
è
äèñïåðñèþ.
Çàäà÷à
4.
Çàäàíà
ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
U
:
f
(
x
) =
0
ïðè
x
≤
1
,
x
−
1
/
2
ïðè
1
< x
≤
2
,
0
ïðè
x >
2
.
Íàéòè
óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
)
.
Çàäà÷à
5.
Íåïðåðûâíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
â
èíòåðâàëå
(0
,
∞
)
çàäàíà
ïëîòíîñòüþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
f
(
x
) =
αe
−
αx
(
α >
0
),
âíå
ýòîãî
èí-
òåðâàëà
f
(
x
) = 0
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
X
ïðèìåò
çíà
÷åíèå,
ïðè-
íàäëåæ
àùåå
èíòåðâàëó
(1
,
2)
.
Çàäà÷à
6.
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
çàäàíà
ïëîòíîñòüþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
f
(
x
) = 2
x
â
èíòåðâàëå
(0
,
1)
;
âíå
ýòîãî
èíòåðâàëà
f
(
x
) = 0
.
Íàéòè
ìàòå-
ìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
.
Çàäà÷à
7.
Ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ
íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷è-
íû
X
çàäàíà
íà
âñåé
îñè
Ox
ðàâåíñòâîì
f
(
x
) = 4
C/
(
e
x
+
e
−
x
)
.
Íàéòè
ïîñòî
ÿííûé
ïàðàìåòð
C
.
Óê
àçàíèå:
èñïîëüçîâàòü
ó
ñëîâèå
íîðìèðîâêè.
5.
Çàê
îíû
ðàñïðåäåëåíèÿ
äèñêðåòíûõ
ñëó-
÷àéíûõ
âåëè÷èí
Áèíîìèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå
îâîð
ÿò
,
÷òî
äèñêðåòíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
èìååò
áèíîìèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå,
åñëè
åå
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ:
0
,
1
, . . . , m, . . . , n,
à
ñîîòâåò-
ñòâóþùèå
âåðî
ÿòíîñòè:
P
m
=
P
(
X
=
m
) =
C
m
n
p
m
q
n
−
m
,
(15)
23
ã
äå
0
< p <
1
, q
= 1
−
p, m
= 0
,
1
, . . . , n.
Áèíîìèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå
çàâèñèò
îò
äâóõ
ïàðàìåòðîâ
n
è
p
.
Äëÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû,
ðàñïðåäåëåííîé
ïî
áèíîìèàëüíîìó
çàê
îíó
ñ
ïàðàìåòðàìè
n
è
p
,
m
X
=
np,
D
X
=
npq,
σ
X
=
√
npq.
(16)
àñïðåäåëåíèå
Ïó
àññîíà
îâîð
ÿò
,
÷òî
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
èìååò
ðàñïðåäåëåíèå
Ïó
àññî-
íà,
åñëè
åå
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ:
0
,
1
, . . . , m, . . .
(áåñê
îíå÷íîå,
íî
ñ÷åò-
íîå
ìíî
æ
åñòâî
çíà
÷åíèé),
à
ñîîòâåòñòâóþùèå
âåðî
ÿòíîñòè
âûðàæ
àþòñ
ÿ
îðìó
ëîé
P
m
=
α
m
m
!
e
−
α
(
m
= 0
,
1
,
2
, . . .
)
.
(17)
àñïðåäåëåíèå
Ïó
àññîíà
çàâèñèò
îò
î
äíîãî
ïàðàìåòðà
α
.
Äëÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû,
ðàñïðåäåëåííîé
ïî
çàê
îíó
Ïó
àññîíà,
m
X
=
α,
D
X
=
α,
σ
X
=
√
α.
(18)
Ïó
àññîíîâñê
îå
ðàñïðåäåëåíèå
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðåäåëüíûì
äëÿ
áèíîìèàëü-
íîãî,
ê
îã
äà
÷èñëî
îïûòîâ
n
íåîãðàíè÷åííî
óâåëè÷èâàåòñ
ÿ
(
n
→ ∞
),
è
î
äíîâðåìåííî
ïàðàìåòð
p
íåîãðàíè÷åííî
óìåíüøàåòñ
ÿ
(
p
→
0
),
íî
ò
àê,
÷òî
èõ
ïðîèçâåäåíèå
np
ñî
õðàíÿåòñ
ÿ
â
ïðåäåëå
ïîñòî
ÿííûì,
ðàâíûì
α
:
lim
n
→ ∞
p
→
0
np
=
α.
àñïðåäåëåíèå
Ïó
àññîíà
ñ
ïàðàìåòðîì
α
=
np
ìî
æíî
ïðèáëèæ
åííî
ïðè-
ìåíÿòü
âìåñòî
áèíîìèàëüíîãî,
ê
îã
äà
÷èñëî
îïûòîâ
n
î÷åíü
âåëèê
î,
à
âåðî
ÿòíîñòü
p
î÷åíü
ìàëà,
ò
.å.
â
ê
àæäîì
îò
äåëüíîì
îïûòå
ñîáûòèå
A
ïî
ÿâëÿåòñ
ÿ
î÷åíü
ðåäê
î.
Ïðèìåðû
ñ
ðåøåíèÿìè
Ïðèìåð
1.
Ó
ñòðîéñòâî
ñîñòîèò
èç
òðåõ
íåçàâèñèìî
ðàáîò
àþùèõ
ýëå-
ìåíòîâ.
Âåðî
ÿòíîñòü
îòê
àçà
ê
àæäîãî
ýëåìåíò
à
â
î
äíîì
îïûòå
ðàâíà
0.1.
Ñîñò
àâèòü
çàê
îí
ðàñïðåäåëåíèÿ
÷èñëà
îòê
àçàâøèõ
ýëåìåíòîâ
â
î
äíîì
îïûòå.
åøåíèå.
Äèñêðåòíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
(÷èñëî
îòê
àçàâøèõ
ýëåìåíòîâ
â
î
äíîì
îïûòå)
èìååò
áèíîìèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå.
Âîçìî
æ-
íûå
çíà
÷åíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû:
x
1
= 0
(íè
î
äèí
èç
ýëåìåíòîâ
ó
ñòðîé-
ñòâà
íå
îòê
àçàë),
x
2
= 1
(îòê
àçàë
î
äèí
ýëåìåíò),
x
3
= 2
(îòê
àçàëè
äâà
ýëåìåíò
à),
x
4
= 3
(îòê
àçàëè
òðè
ýëåìåíò
à).
24
Ïî
ó
ñëîâèþ
çàäà
֏,
n
= 3
, p
= 0
.
1
, q
= 1
−
0
.
1 = 0
.
9
.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
P
3
(0) =
q
3
= 0
.
9
3
= 0
.
729
,
P
3
(1) =
C
1
3
pq
2
= 3
·
0
.
1
·
0
.
9
2
= 0
.
243
,
P
3
(2) =
C
2
3
p
2
q
= 3
·
0
.
1
2
·
0
.
9 = 0
.
027
,
P
3
(3) =
p
3
= 0
.
1
3
= 0
.
001
.
Èñê
îìûé
áèíîìèàëüíûé
çàê
îí
ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
èìå-
åò
âèä:
X
0
1
2
3
p
0.729
0.243
0.027
0.001
Ïðèìåð
2.
Íàïèñàòü
áèíîìèàëüíûé
çàê
îí
ðàñïðåäåëåíèÿ
äèñêðåò-
íîé
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
÷èñëà
ïî
ÿâëåíèÿ
ãåðáà
ïðè
äâóõ
áðîñà-
íèÿõ
ìîíåòû.
åøåíèå.
Äèñêðåòíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
ïðèíèìàåò
ñëåäóþùèå
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ:
x
1
= 0
(ïðè
äâóõ
áðîñàíèÿõ
ìîíåòû
ãåðá
íå
âûïàë
íè
ðàçó),
x
2
= 1
(ïðè
äâóõ
áðîñàíèÿõ
ìîíåòû
ãåðá
âûïàë
î
äèí
ðàç),
x
3
=
2
(ïðè
äâóõ
áðîñàíèÿõ
ìîíåòû
ãåðá
âûïàë
äâà
ðàçà).
Ñîîòâåòñòâóþùèå
âåðî
ÿòíîñòè
íàõ
î
äèì
ñ
ïîìîùüþ
îðìó
ëû
(15)
(
n
= 2
, p
= 0
.
5
, q
=
1
−
0
.
5 = 0
.
5
):
P
2
(0) =
q
2
= 0
.
5
2
= 0
.
25
,
P
2
(1) =
C
1
2
pq
= 2
·
0
.
5
·
0
.
5 = 0
.
5
,
P
2
(2) =
p
2
= 0
.
5
2
= 0
.
25
.
Èñê
îìûé
áèíîìèàëüíûé
çàê
îí
ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû
èìå-
åò
âèä:
X
0
1
2
p
0.25
0.5
0.25
Ïðèìåð
3.
Êíèã
à
èçäàíà
òèðàæ
îì
100
000
ýêçåìïëÿðîâ.
Âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
êíèã
à
ñáðîøþðîâàíà
íåïðàâèëüíî,
ðàâíà
0.0001.
Íàéòè
âåðî-
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
òèðàæ
ñî
äåð
æèò
ðîâíî
5
áðàê
îâàííûõ
êíèã
.
åøåíèå.
Ïî
ó
ñëîâèþ,
n
= 10
5
, p
= 10
−
4
, m
= 5
.
Ñîáûòèÿ,
ñîñòî
ÿ-
ùèå
â
òîì,
÷òî
êíèãè
ñáðîøþðîâàíû
íåïðàâèëüíî,
íåçàâèñèìû,
÷èñëî
n
âåëèê
î,
à
âåðî
ÿòíîñòü
p
ìàëà.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
èñïîëüçó
ÿ
ðàñïðåäåëåíèå
Ïó
àññîíà,
ïîëó÷àåì
P
m
=
α
m
m
!
e
−
α
.
25