ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 316
Скачиваний: 1
Íàéäåì
α
:
α
=
np
= 10
5
·
10
−
4
= 10
.
Ò
îã
äà
èñê
îìàÿ
âåðî
ÿòíîñòü
P
n
=10
5
(
m
= 5) =
10
5
e
−
10
5
= 0
.
0375
.
Ïðèìåð
4.
Ó
ñòðîéñòâî
ñîñòîèò
èç
1000
ýëåìåíòîâ,
ðàáîò
àþùèõ
íåçà-
âèñèìî
î
äèí
îò
äðóãîãî.
Âåðî
ÿòíîñòü
îòê
àçà
ëþáîãî
ýëåìåíò
à
â
òå÷åíèå
âðåìåíè
T
ðàâíà
0.002.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
çà
âðåìÿ
T
îòê
àæ
åò
ìåíåå
òðåõ
ýëåìåíòîâ.
åøåíèå.
×èñëî
n
= 1000
âåëèê
î,
âåðî
ÿòíîñòü
p
= 0
.
002
ìàëà,
èìååò
ìåñòî
ðàñïðåäåëåíèå
Ïó
àññîíà
(17).
Íàéäåì
α
:
α
=
np
= 1000
·
0
.
002 = 2
.
Íàéäåì
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
çà
âðåìÿ
T
îòê
àæ
åò
ìåíåå
òðåõ
ýëåìåíòîâ:
P
=
P
1000
(0) +
P
1000
(1) +
P
1000
(2) =
e
−
2
+ 2
e
−
2
+ 4
e
−
2
·
0
.
5 = 0
.
6767
.
Çàäà
֏
Çàäà÷à
1.
Ïåðåäàåòñ
ÿ
n
= 3
ñîîáùåíèÿ
ïî
ê
àíàëó
ñâÿçè.
Êàæäîå
ñîîáùåíèå
ñ
âåðî
ÿòíîñòüþ
p
= 0
.
3
íåçàâèñèìî
îò
äðóãèõ
èñê
àæ
àåòñ
ÿ.
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
÷èñëî
èñê
àæ
åííûõ
ñîîáùåíèé.
Ïîñòðîèòü
åå
ð
ÿä
ðàñïðåäåëåíèÿ,
íàéòè
åå
ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå,
äèñïåðñèþ.
Çàäà÷à
2.
Äâå
èãðàëüíûå
ê
îñòè
î
äíîâðåìåííî
áðîñàþò
äâà
ðàçà.
Íà-
ïèñàòü
áèíîìèàëüíûé
çàê
îí
ðàñïðåäåëåíèÿ
äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé
âåëè-
÷èíû
X
÷èñëà
âûïàäåíèé
íå÷åòíîãî
÷èñëà
î÷ê
îâ
íà
äâóõ
èãðàëüíûõ
ê
îñò
ÿõ.
Çàäà÷à
3.
Ó
ñòðîéñòâî
ñîñòîèò
èç
áîëüøîãî
÷èñëà
íåçàâèñèìî
ðàáîò
à-
þùèõ
ýëåìåíòîâ
ñ
î
äèíàê
îâîé
(î÷åíü
ìàëîé)
âåðî
ÿòíîñòüþ
îòê
àçà
ê
àæ-
äîãî
ýëåìåíò
à
çà
âðåìÿ
T
.
Íàéòè
ñðåäíåå
÷èñëî
îòê
àçàâøèõ
çà
âðåìÿ
T
ýëåìåíòîâ,
åñëè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
çà
ýòî
âðåìÿ
îòê
àæ
åò
õ
îò
ÿ
áû
î
äèí
ýëåìåíò
,
ðàâíà
0.98.
Çàäà÷à
4.
Äîê
àçàòü,
÷òî
ñóììà
âåðî
ÿòíîñòåé
÷èñëà
ïî
ÿâëåíèé
ñîáû-
òèÿ
â
íåçàâèñèìûõ
èñïûò
àíèÿõ,
âû÷èñëåííûõ
ïî
çàê
îíó
Ïó
àññîíà,
ðàâíà
åäèíèöå.
(Èñïûò
àíèÿ
ïðîèçâî
äÿòñ
ÿ
áåñ÷èñëåííîå
ê
îëè÷åñòâî
ðàç).
26
6.
Çàê
îíû
ðàñïðåäåëåíèÿ
íåïðåðûâíûõ
ñëó-
÷àéíûõ
âåëè÷èí
àâíîìåðíîå
ðàñïðåäåëåíèå
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
èìååò
ðàâíîìåðíîå
ðàñïðåäåëåíèå
íà
ó÷àñòê
å
îò
a
äî
b
,
åñëè
ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ
f
(
x
)
íà
ýòîì
ó÷àñòê
å
ïîñòî
ÿííà:
f
(
x
) =
(
1
b
−
a
ïðè
x
∈
(
a, b
)
,
0
ïðè
x /
∈
(
a, b
)
.
(19)
Êðèâàÿ
ðàâíîìåðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
(ðèñ.
3)
èìååò
âèä
ïð
ÿìîóãîëü-
íèê
à,
îïèðàþùåãîñ
ÿ
íà
ó÷àñòîê
(
a, b
)
,
â
ñâÿçè
ñ
ýòèì
ðàâíîìåðíîå
ðàñ-
ïðåäåëåíèå
èíîã
äà
íàçûâàþò
ïð
ÿìîóãîëüíûì.
èñ.
3
Äëÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû,
ðàñïðåäåëåííîé
ðàâíîìåðíî
m
X
=
a
+
b
2
,
D
X
=
(
b
−
a
)
2
12
,
σ
X
=
b
−
a
2
√
3
.
(20)
Ïîê
àçàòåëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå
Íåïðåðûâíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
èìååò
ïîê
àçàòåëüíîå
(èëè
ýê
ñïî-
íåíöèàëüíîå)
ðàñïðåäåëåíèå,
åñëè
f
(
x
) =
λe
−
λx
ïðè
x >
0
,
0
ïðè
x <
0
,
(21)
ã
äå
ïîëî
æèòåëüíàÿ
âåëè÷èíà
λ
íàçûâàåòñ
ÿ
ïàðàìåòðîì
ïîê
àçàòåëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ
èìååò
âèä:
F
(
x
) = 1
−
e
−
λx
(
x >
0)
.
(22)
27
ðàèê
ïëîòíîñòè
âåðî
ÿòíîñòè
f
(
x
)
(21)
è
óíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
F
(
x
)
(22)
ïîê
àçàíû
íà
ðèñóíê
å
4.
èñ.
4
Äëÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû,
èìåþùåé
ïîê
àçàòåëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå,
ñïðàâåäëèâû
ðàâåíñòâà:
m
X
=
1
λ
, D
X
=
1
λ
2
, σ
X
=
1
λ
.
(23)
Íîðìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå
Íîðìàëüíûé
çàê
îí
ðàñïðåäåëåíèÿ
(èíîã
äà
íàçûâàåìûé
çàê
îíîì
à
ó
ñ-
ñà)
èãðàåò
èñêëþ÷èòåëüíî
âàæíóþ
ðîëü
â
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé
è
çàíè-
ìàåò
ñðåäè
äðóãèõ
çàê
îíîâ
ðàñïðåäåëåíèÿ
îñîáîå
ïîëî
æ
åíèå.
Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
X
ðàñïðåäåëåíà
ïî
íîðìàëüíîìó
çàê
îíó
ñ
ïàðàìåòðàìè
m
,
σ
,
åñëè
åå
ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ
èìååò
âèä
f
(
x
) =
1
σ
√
2
π
e
−
(
x
−
m
)2
2
σ
2
.
(24)
Êðèâàÿ
íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
èìååò
ñèììåòðè÷íûé,
ê
îëîê
îëî-
îáðàçíûé
âèä
(ðèñ.
5).
Ìàê
ñèìàëüíàÿ
îð
äèíàò
à
êðèâîé,
ðàâíàÿ
1
/
(
σ
√
2
π
)
,
äîñòèã
àåòñ
ÿ
ïðè
x
=
m
.
Äëÿ
ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû,
èìåþùåé
íîðìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå
M
[
X
] =
m, D
[
X
] =
σ
2
, σ
X
=
σ.
(25)
Âåëè÷èíà
m
ìàòåìàòè÷åñê
îå
î
æèäàíèå
íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííîé
ñëó-
÷àéíîé
âåëè÷èíû
X
,
íàçûâàåòñ
ÿ
åå
öåíòðîì
ðàññåèâàíèÿ.
28
èñ.
5
Âåðî
ÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ
íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííîé
ñëó÷àéíîé
âåëè-
÷èíû
X
íà
ó÷àñòîê
îò
α
äî
β
âûðàæ
àåòñ
ÿ
îðìó
ëîé:
P
(
α < X < β
) = Φ
β
−
m
σ
−
Φ
α
−
m
σ
,
(26)
ã
äå
Φ(
x
)
óíêöèÿ
Ëàïëàñà:
Φ(
x
) =
1
√
2
π
x
Z
0
e
−
t
2
/
2
dt.
Âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà
îòêëîíåíèÿ
ìåíüøå
ïîëî-
æèòåëüíîãî
÷èñëà
δ
:
P
(
|
X
−
m
|
< δ
) = 2Φ
δ
σ
.
(27)
Â
÷àñòíîñòè,
ïðè
m
= 0
ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî
P
(
|
X
|
< δ
) = 2Φ
δ
σ
.
Ïðèìåðû
ñ
ðåøåíèÿìè
Ïðèìåð
1.
(
àâíî
ìåðíîå
ð
àñïðåäå
ëåíèå.)
Öåíà
äåëåíèÿ
øê
àëû
èç-
ìåðèòåëüíîãî
ïðèáîðà
ðàâíà
0.1.
Ïîê
àçàíèÿ
ïðèáîðà
îêðóã
ëÿþò
äî
áëè-
æ
àéøåãî
öåëîãî
äåëåíèÿ.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
ïðè
îòñ÷åòå
áó
äåò
ñ
äåëàíà
îøèáê
à,
ïðåâûøàþùàÿ
0.02.
29
åøåíèå.
Îøèáêó
îêðóã
ëåíèÿ
îòñ÷åò
à
ìî
æíî
ðàññìàòðèâàòü
ê
àê
ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó
X
,
ê
îòîðàÿ
ðàñïðåäåëåíà
ðàâíîìåðíî
â
èíòåðâàëå
ìåæäó
äâóìÿ
ñîñåäíèìè
äåëåíèÿìè.
Ïëîòíîñòü
ðàâíîìåðíîãî
ðàñïðåäå-
ëåíèÿ
f
(
x
) = 1
/
(
b
−
a
)
ã
äå
(
b
−
a
)
äëèíà
èíòåðâàëà,
â
ê
îòîðîì
çàêëþ÷åíû
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ
X
.
Âíå
ýòîãî
èíòåðâàëà
f
(
x
) = 0
.
Â
íàøåì
ñëó÷àå
äëèíà
èíòåðâàëà,
â
ê
îòîðîì
çàêëþ÷åíû
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ
X
,
ðàâíà
0.1.
Çíà
÷èò
,
f
(
x
) = 10
.
Îøèáê
à
îòñ÷åò
à
ïðåâûñèò
0.02,
åñëè
îíà
áó
äåò
çàêëþ÷åíà
â
èíòåðâàëå
(0
.
02
,
0
.
08)
.
Èñïîëüçó
åì
èçâåñòíóþ
íàì
îðìó
ëó
P
(
α < X < β
) =
β
Z
α
f
(
x
)
dx,
ïîëó÷èì
P
(0
.
02
< X <
0
.
08) =
0
.
08
Z
0
.
02
10
dx
= 0
.
6
.
Ïðèìåð
2.
(
àâíî
ìåðíîå
ð
àñïðåäå
ëåíèå.)
Ïîåçäà
ìåòðîïîëèòåíà
èäóò
ðåãó
ëÿðíî
ñ
èíòåðâàëîì
2
ìèíóòû.
Ïàññàæèð,
âûõ
î
äèò
íà
ïëàòîðìó
â
ñëó÷àéíûé
ìîìåíò
âðåìåíè.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
åìó
ïðèäåòñ
ÿ
î
æèäàòü
î÷åðåäíîé
ïîåçä
íå
áîëüøå
ìèíóòû.
åøåíèå.
Âðåìÿ
î
æèäàíèÿ
T
áó
äåì
ðàññìàòðèâàòü
ê
àê
ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó
,
ðàñïðåäåëåííóþ
ðàâíîìåðíî.
Äëÿ
0
< x <
2
ïëîòíîñòü
ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ
f
(
x
) = 1
/
2
.
P
(0
< T <
1) =
1
Z
0
1
2
dx
= 0
.
5
.
Ïðèìåð
3.
(Ïîêàçàòå
ëüíîå
ð
àñïðåäå
ëåíèå.)
Íåïðåðûâíàÿ
ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà
ðàñïðåäåëåíà
ïî
ïîê
àçàòåëüíîìó
çàê
îíó
,
çàäàííîìó
ïðè
x >
0
ïëîòíîñòüþ
ðàñïðåäåëåíèÿ:
f
(
x
) = 0
.
5
e
−
0
.
5
x
;
ïðè
x <
0
:
f
(
x
) = 0
.
Íàéòè
âåðî
ÿòíîñòü
òîãî,
÷òî
â
ðåçó
ëü
ò
àòå
èñïûò
àíèÿ
X
ïîïàäåò
â
èíòåðâàë
(1
,
3)
.
åøåíèå.
Âîñïîëüçó
åìñ
ÿ
îðìó
ëîé
P
(
α < X < β
) =
β
Z
α
f
(
x
)
dx.
30