Файл: Metodichka_-_Terver.pdf

Ïîëó÷èì

P

(1

< X <

3) =

3

Z

1

0

.

5

e

−

0

.

5

x

dx

= 0

.

3834

.

Ïðèìåð

4.

(Íîð

ìàëüíîå

ð

àñïðåäå

ëåíèå.)

Èìååòñ

ÿ

ñëó÷àéíàÿ

âåëè-

÷èíà

X

,

ðàñïðåäåëåííàÿ

íîðìàëüíî

ñ

ïàðàìåòðàìè

m

,

σ.

Íàéòè

âåðî

ÿò-

íîñòü

òîãî,

÷òî

ñëó÷àéíàÿ

âåëè÷èíà

X

îòêëîíèòñ

ÿ

îò

ñâîåãî

ìàòåìàòè-

÷åñê

îãî

î

æèäàíèÿ

m

áîëüøå

÷åì

íà

3

σ

.

åøåíèå.

P

(

|

X

−

m

|

>

3

σ

) = 1

−

P

(

|

X

−

m

|

<

3

σ

)

.

Èñïîëüçó

ÿ

îðìó

ëó

(27)

è

ïîëàã

àÿ

δ

= 3

σ

,

íàõ

î

äèì

P

(

|

X

−

m

|

<

3

σ

) = 2Φ

3

σ

σ

= 2Φ(3)

.

Ïî

ò

àáëèöàì

óíêöèè

Ëàïëàñà,

íàõ

î

äèì

P

(

|

X

−

m

|

<

3

σ

)

≈

0

.

0027

.

Çàìåòèì,

÷òî

ýòî

ìàëàÿ

âåðî

ÿòíîñòü.

Ñàìî

ïðàâèëî

òðåõ

ñèãì

áåðåò

ñâîå

íà

÷àëî

èìåííî

îò

íîðìàëüíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ,

ê

îòîðîå

î÷åíü

÷àñòî

âñòðå÷àåòñ

ÿ

â

ñëó÷àéíûõ

ÿâëåíèÿõ

ïðèðî

äû.

Äëÿ

íîðìàëüíîãî

çàê

îíà

ýòî

ïðàâèëî

âûïîëíÿåòñ

ÿ

ñ

î÷åíü

âûñîê

îé

òî÷íîñòüþ.

Ïðèìåíÿÿ

åãî,

áó-

äåì

îøèáàòüñ

ÿ

ïðèìåðíî

â

òðåõ

ñëó÷àÿõ

èç

1000.

Ïðèìåð

5.

(Íîð

ìàëüíîå

ð

àñïðåäå

ëåíèå.)

Ñëó÷àéíàÿ

âåëè÷èíà

X

ðàñ-

ïðåäåëåíà

íîðìàëüíî

ñ

ìàòåìàòè÷åñêèì

î

æèäàíèåì

a

= 5

.

Âåðî

ÿòíîñòü

ïîïàäàíèÿ

X

â

èíòåðâàë

(5,10)

ðàâíà

0.5.

Íàéòè

âåðî

ÿòíîñòü

ïîïàäàíèÿ

X

â

èíòåðâàë

(0,5).

åøåíèå.

Ò

àê

ê

àê

íîðìàëüíàÿ

êðèâàÿ

ñèììåòðè÷íà

îòíîñèòåëüíî

ïð

ÿìîé

x

=

a

= 5

,

òî

ïëîùàäè,

îãðàíè÷åííûå

ñâåð

õó

íîðìàëüíîé

êðèâîé

è

ñíèçó

èíòåðâàëàìè

(0,5)

è

(5,10),

ðàâíû

ìåæäó

ñîáîé.

Ýòè

ïëîùàäè

÷èñëåííî

ðàâíû

âåðî

ÿòíîñò

ÿì

ïîïàäàíèÿ

X

â

ñîîòâåòñòâóþùèé

èíòåð-

âàë.

Ò

àêèì

îáðàçîì,

P

(0

< X <

5) =

P

(5

< X <

10) = 0

.

5

.

Ïðèìåð

6.

(Íîð

ìàëüíîå

ð

àñïðåäå

ëåíèå.)

Ñò

àíîê

èçãîòîâëÿåò

âàëè-

êè,

íîìèíàëüíûé

äèàìåòð

ê

îòîðûõ

ðàâåí

10

ìì,

à

àêòè÷åñêèé

äèà-

ìåòð

ñëó÷àåí

è

ðàñïðåäåëåí

íîðìàëüíî

ñ

ìàòåìàòè÷åñêèì

î

æèäàíèåì

31

m

= 10

ìì

è

ñðåäíèì

êâàäðàòè÷íûì

îòêëîíåíèåì

σ

= 0

.

4

ìì.

Ïðè

ê

îí-

òðîëå

áðàêóþòñ

ÿ

âñå

âàëèêè,

íå

ïðî

õ

î

äÿùèå

÷åðåç

êðóã

ëîå

îòâåðñòèå

ñ

äèàìåòðîì

d

1

= 10

.

7

ìì

è

âñå,

ïðî

õ

î

äÿùèå

÷åðåç

êðóã

ëîå

îòâåðñòèå

ñ

äèàìåòðîì

d

2

= 9

.

3

ìì.

Íàéòè

ïðîöåíò

âàëèê

îâ,

ê

îòîðûå

áó

äóò

áðàê

î-

âàòüñ

ÿ.

åøåíèå.

Âåðî

ÿòíîñòü

òîãî,

÷òî

âàëèê

áó

äåò

çàáðàê

îâàí:

P

(

|

X

−

m

|

>

0

.

7) = 1

−

P

(

|

X

−

m

|

<

0

.

7)

.

Èñïîëüçó

ÿ

îðìó

ëó

(27),

ïîëó÷àåì

P

(

|

X

−

m

|

<

0

.

7) = 2Φ

0

.

7

4

.

7

≈

0

.

918

,

P

(

|

X

−

m

|

>

0

.

7) = 0

.

082

.

Ò

àêèì

îáðàçîì,

áðàê

îâàòüñ

ÿ

áó

äåò

ïðèìåðíî

8.2

%

âàëèê

îâ.

Çàäà

֏

Çàäà÷à

1.

Äèàìåòð

êðóã

à

x

èçìåðåí

ïðèáëèæ

åííî,

ïðè÷åì

a < x < b

.

àññìàòðèâàÿ

äèàìåòð

ê

àê

ñëó÷àéíóþ

âåëè÷èíó

X

,

ðàñïðåäåëåííóþ

ðàâ-

íîìåðíî

â

èíòåðâàëå

(

a, b

),

íàéòè

ìàòåìàòåìàòè÷åñê

îå

î

æèäàíèå

ïëîùà-

äè

êðóã

à.

Çàäà÷à

2.

Äåò

àëü,

èçãîòîâëåííàÿ

àâòîìàòîì,

ñ÷èò

àåòñ

ÿ

ãî

äíîé,

åñëè

îòêëîíåíèå

åå

ê

îíòðîëèðó

åìîãî

ðàçìåðà

îò

ïðîåêòíîãî

íå

ïðåâûøàåò

15

ìì.

Ñëó÷àéíûå

îòêëîíåíèÿ

ê

îíòðîëèðó

åìîãî

ðàçìåðà

îò

ïðîåêòíîãî

ïî

ä÷èíåíû

íîðìàëüíîìó

çàê

îíó

ñî

ñðåäíèì

êâàäðàòè÷åñêèì

îòêëîíåíè-

åì

σ

=

5

ìì

è

ìàòåìàòè÷åñêèì

î

æèäàíèåì

a

= 0

.

Ñê

îëüê

î

ïðîöåíòîâ

ãî

äíûõ

äåò

àëåé

èçãîò

àâëèâàåò

àâòîìàò?

Çàäà÷à

3.

Ñëó÷àéíàÿ

âåëè÷èíà

X

ðàñïðåäåëåíà

íîðìàëüíî

ñ

ìàòå-

ìàòè÷åñêèì

î

æèäàíèåì

a

= 10

è

ñðåäíèì

êâàäðàòè÷åñêèì

îòêëîíåíèåì

σ

= 5

.

Íàéòè

èíòåðâàë,

ñèììåòðè÷íûé

îòíîñèòåëüíî

ìàòåìàòè÷åñê

îãî

î

æèäàíèÿ,

â

ê

îòîðûé

ñ

âåðî

ÿòíîñòüþ

0.9973

ïîïàäàåò

âåëè÷èíà

X

â

ðå-

çó

ëü

ò

àòå

èñïûò

àíèÿ.

Çàäà÷à

4.

Ñëó÷àéíàÿ

âåëè÷èíà

ïî

ä÷èíåíà

ïîê

àçàòåëüíîìó

çàê

îíó

ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ

ñ

ïàðàìåòðîì

µ

:

f

(

x

) =

µe

−

µx

ïðè

x >

0

,

0

ïðè

x <

0

.

Íàéòè

óíêöèþ

ðàñïðåäåëåíèÿ

F

(

x

)

è

âåðî

ÿòíîñòü

òîãî,

÷òî

ñëó÷àéíàÿ

âåëè÷èíà

X

ïðèìåò

çíà

÷åíèå

ìåíüøåå,

÷åì

åå

ìàòåìàòè÷åñê

îå

î

æèäàíèå.

32

Ëèòåðàòóðà

1.

Âåíòöåëü

Å.

Ñ.

Ò

åîðèÿ

âåðî

ÿòíîñòåé

è

åå

èíæ

åíåðíûå

ïðèëî

æ

åíèÿ

/

Å.

Ñ.

Âåíòöåëü,

Ë.

À.

Îâ÷àðîâ.

Ì.

:

Âûñøàÿ

øê

îëà,

2000.

479

ñ.

2.

Âåíòöåëü

Å.

Ñ.

Çàäà

֏

è

óïðàæíåíèÿ

ïî

òåîðèè

âåðî

ÿòíîñòåé

/

Å.

Ñ.

Âåíòöåëü,

Ë.

À.

Îâ÷àðîâ.

Ì.

:

Àê

àäåìèÿ,

2003.

439

ñ.

3.

ìóðìàí

Â.

Å.

óê

îâî

äñòâî

ê

ðåøåíèþ

çàäà

÷

ïî

òåîðèè

âåðî

ÿòíî-

ñòåé

è

ìàòåìàòè÷åñê

îé

ñò

àòèñòèê

å

/

Â.

Å.

ìóðìàí.

Ì.

:

Âûñøàÿ

øê

îëà,

2005.

403

ñ.

4.

Çóáê

îâ

À.

Ì.

Ñáîðíèê

çàäà

÷

ïî

òåîðèè

âåðî

ÿòíîñòåé

:

Ó÷åá.

ïîñîáèå

äëÿ

âóçîâ

/

À.

Ì.

Çóáê

îâ,

Á.

À.

Ñåâàñòüÿíîâ,

Â.

Ï.

×èñò

ÿê

îâ.

Ì.

:

Íà

óê

à,

1989.

317

ñ.

5.

×èñò

ÿê

îâ

Â.

Ï.

Êóðñ

òåîðèè

âåðî

ÿòíîñòåé

/

Â.

Ï.

×èñò

ÿê

îâ.

Ì.

:

Àã

àð,

2000.

255

ñ.

33

Ó÷åáíîå

èçäàíèå

Êëèíñêèõ

Àëåê

ñàíäð

Ôåäîòîâè÷,

Ñèðîò

à

Åê

àòåðèíà

Àëåê

ñàíäðîâíà,

Ôëåãåëü

Àëåê

ñàíäð

Âàëåðüåâè÷

Ïðàêòèêóì

ïî

òåîðèè

âåðî

ÿòíîñòåé

è

ìàòåìàòè÷åñê

îé

ñò

àòèñòèê

å

×àñòü

1.

Ò

åîðèÿ

âåðî

ÿòíîñòåé

Ó÷åáíîå

ïîñîáèå

äëÿ

âóçîâ

åäàêòîð

È.

.

Âàëûíêèíà

34