ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 529
Скачиваний: 1
ż îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòðåçîê
[
−
1
,
+1]
è îáëàñòü çíà-
÷åíèé îòðåçîê
[
−
π/
2
, π/
2]
.
1
–1
p
/
2
-
p
/
2
y = arcsin x
Ðèñ. 13
Òàêèì îáðàçîì:
y
= arcsin
x
⇔
1)
x
= sin
y
;
2)
y
∈
[
−
π/
2
, π/
2]
.
Ãðàôèê ôóíêöèè
y
= arcsin
x
èçîáðàæåí íà ðèñ. 13.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ôóíêöèÿ
y
= cos
x
îïðåäåëåíà
íà
(
−∞
,
+
∞
)
, èìååò îáëàñòü çíà÷åíèé
[
−
1
,
+1]
è íå çàäàåò
âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ (ðèñ. 14).
-2
p
-3
p
/
2
-
p
-
p
/
2
p
/
2
p
3
p
/
2
2
p
1
–1
y = cos x
Ðèñ. 14
16
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îòðåçîê
[0
, π
]
. Òîãäà ïîëó÷èì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
ýòîãî îòðåçêà íà îòðåçîê
[
−
1
,
+1]
. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ íà-
çûâàåòñÿ àðêêîñèíóñ, îáîçíà÷àåòñÿ
y
= arccos
x.
Òàêèì îáðàçîì,
y
= arccos
x
⇔
1)
x
= cos
y
;
2)
y
∈
[0
, π
]
.
Ãðàôèê ôóíêöèè
y
= arccos
x
èçîáðàæåí íà ðèñ. 15.
y = arccos x
p
/
2
p
Ðèñ. 15
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
y
= arccos
x
îòðåçîê
[
−
1
,
+1]
, îáëàñòü çíà÷åíèé îòðåçîê
[0
, π
]
.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
y
= tg
x
, îíà îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ
x
6
=
π/
2 +
πn, n
∈
Z
, èìååò îáëàñòü çíà÷åíèé
(
−∞
,
+
∞
)
è
íå çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ (ðèñ. 16).
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èíòåðâàë
(
−
π/
2
, π/
2)
. Òîãäà ïîëó÷èì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðà-
17
-2
p
-
p
p
2
p
y = tg x
Ðèñ. 16
æåíèå ýòîãî èíòåðâàëà íà
(
−∞
,
+
∞
)
. Òàêèì îáðàçîì, ñó-
ùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ àðêòàí-
ãåíñ è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y
= arctg
x
⇔
1)
x
= tg
y
;
2)
y
∈
(
−
π/
2
, π/
2)
.
p
/
2
-
p
/
2
y = arctg x
Ðèñ. 17
È, íàêîíåö, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
y
= ctg
x
, îíà îïðå-
äåëåíà äëÿ âñåõ
x
6
=
πn, n
∈
Z
, èìååò îáëàñòü çíà÷åíèé
(
−∞
,
+
∞
)
è íå çàäàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ
(ðèñ. 18).
Îäíàêî, åñëè ðàññìîòðåòü â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ èíòåðâàë
(0
, π
)
, òî ôóíêöèÿ
ctg
x
çàäàåò âçàèìíî îäíî-
çíà÷íî îòîáðàæåíèå ýòîãî èíòåðâàëà íà
R
= (
−∞
,
+
∞
)
.
Òîãäà ïîëó÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ
àðêêîòàíãåíñ è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y
= arcctg
x
⇔
1)
x
= ctg
y
;
2)
y
∈
(0
, π
)
.
18
-3
p
/
2
-
p
/
2
p
/
2
3
p
/
2
y = ctg x
Ðèñ. 18
Ãðàôèê ôóíêöèè
y
= arcctg
x
èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.
p
/
2
p
y = arcctg x
Ðèñ. 19
Óïðàæíåíèå 3
1. Äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè óêàçàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ,
îáëàñòü çíà÷åíèé, íàéòè îáðàòíóþ ôóíêöèþ, åñëè îíà
ñóùåñòâóåò, óêàçàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü
çíà÷åíèé äëÿ îáðàòíîé ôóíêöèè.
1)
y
= 2
x
+ 3
;
2)
y
=
x
2
a
)
− ∞
< x
≤
0;
b
) 0
≤
x <
+
∞
;
3)
y
=
5
x
−
5
;
4)
y
=
1
−
x
1+
x
(
x
6
=
−
1)
;
5)
y
=
√
1
−
x
2
a
)
−
1
≤
x
≤
0;
b
) 0
≤
x
≤
1
;
6)
y
=
3
√
1
−
x
3
;
7)
y
= 8
x
+2
;
8)
y
= 2 sin 7
x
;
9)
y
= arctg
x
2
.
19
5. Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ôóíêöèé
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ãðà-
ôèêà ôóíêöèè
y
=
Af
(
ax
+
c
) +
C
ïðè óñëîâèè, ÷òî íàì èç-
âåñòåí ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
. Ðàññìîòðèì äàííîå ïðå-
îáðàçîâàíèå ïî øàãàì.
1.
y
=
f
(
x
+
c
)
,
(
c
>
0
)
.
Ïóñòü òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, òî åñòü
y
0
=
f
(
x
0
)
.
Òîãäà òî÷êà
(
x
0
−
c, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
+
c
)
; äåéñòâè-
òåëüíî,
f
[(
x
0
−
c
) +
c
] =
f
(
x
0
) =
y
0
.
Îáðàòíîå òàêæå âåðíî: åñëè òî÷êà
(
x
0
−
c, y
0
)
ïðèíàä-
ëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
+
c
)
, òî òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
.
Òàêèì îáðàçîì, ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
(
x
+
c
)
,
ãäå
c >
0
, ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñäâèãîì ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
âäîëü îñè
Ox
íà
c
åäèíèö âëåâî.
2.
y
=
f
(
x
−
c
)
,
(
c
>
0
)
.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ, ïîëó÷à-
åì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
(
x
−
c
)
,
ãäå
c >
0
ìîæíî
ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñäâèãîì ãðà-
ôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
âäîëü îñè
Ox
íà
c
åäèíèö
âïðàâî.
Ïðèìåð 5
Íà ðèñ. 20 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y
=
|
x
−
3
|
è
y
=
|
x
+ 2
|
. Îíè ïîëó÷åíû ñäâèãîì ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
|
x
|
âäîëü îñè
Ox
íà òðè åäèíèöû âïðàâî è äâå
åäèíèöû âëåâî, ñîîòâåòñòâåííî.
20