ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 528
Скачиваний: 1
x
y
|
x
|
y
=
|
2
x
|
y
+
=
|
3
x
|
y
-
=
2
-
0
3
Ðèñ. 20
3.
y
=
f
(
x
) +
C
,
(
C
>
0
)
.
Ïóñòü òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, òî åñòü
y
0
=
f
(
x
0
)
.
Òîãäà òî÷êà
(
x
0
, y
0
+
C
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)+
C
; äåéñòâè-
òåëüíî,
f
(
x
0
) +
C
=
y
0
+
C.
Îáðàòíîå òàêæå âåðíî: åñëè òî÷êà
(
x
0
, y
0
+
C
)
ïðèíàä-
ëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)+
C
, òî òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
.
Òîãäà ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
(
x
) +
C,
(
C >
0)
ìîæíî
ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñäâèãîì âñåãî
ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
âäîëü îñè
Oy
íà C åäèíèö
ââåðõ.
4.
y
=
f
(
x
)
−
C
,
(
C
>
0
)
.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó, ïîëó÷à-
åì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
−
C,
(
C >
0)
ìîæíî
ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñäâèãîì âñåãî
ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
âäîëü îñè
Oy
íà C åäèíèö
âíèç.
Ïðèìåð 6
Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y
= 2
x
+ 1
è
y
= 2
x
−
2
. Îíè ïîëó÷åíû ñäâèãîì âñåãî ãðàôèêà
21
ôóíêöèè
y
= 2
x
âäîëü îñè
Oy
íà îäíó åäèíèöó ââåðõ
è äâå åäèíèöû âíèç, ñîîòâåòñòâåííî.
x
2
y
=
1
2
y
x
+
=
2
2
y
x
-
=
1
1
2
2
1
-
1
-
2
-
3
y
x
Ðèñ. 21
5.
y
=
f
(
ax
)
,
a
6
=
0
,
a
6
=
1
.
Ïóñòü òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, òî åñòü
y
0
=
f
(
x
0
)
.
Òîãäà òî÷êà
(
x
0
a
, y
0
)
ïðè-
íàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
ax
)
; äåéñòâèòåëü-
íî,
f
h
a
³
x
0
a
´i
=
f
(
x
0
) =
y
0
.
Îáðàòíîå òàêæå âåðíî: åñëè òî÷êà
(
x
0
a
, y
0
)
ïðèíàäëå-
æèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
ax
)
, òîãäà òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
.
Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
f
(
ax
)
ìîæíî ïîëó÷èòü
èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñëåäóþùèìè ïðåîáðà-
çîâàíèÿìè:
1) ñæàòèå ãðàôèêà âäîëü îñè
Ox
â a ðàç, åñëè
a >
1
;
2) ðàñòÿæåíèå ãðàôèêà âäîëü îñè
Ox
â
1
a
ðàç, åñëè
0
< a <
1
;
22
3) ñèììåòðè÷íîå îòðàæåíèå ãðàôèêà îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
, åñëè
a
=
−
1
;
4) ñèììåòðè÷íîå îòðàæåíèå ãðàôèêà îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
è ñæàòèå â
|
a
|
ðàç, åñëè
a <
−
1
;
5) ñèììåòðè÷íîå îòðàæåíèå ãðàôèêà îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
è ðàñòÿæåíèå â
1
|
a
|
ðàç, åñëè
−
1
< a <
0
.
Ïðèìåð 7
Íà ðèñ. 22 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y
= arcsin 2
x
è
y
= arcsin
x
2
. Îáà ãðàôèêà ôóíêöèé ïîëó÷åíû èç ãðà-
ôèêà ôóíêöèè
y
= arcsin
x
ñæàòèåì â äâà ðàçà âäîëü
îñè
Ox
è ðàñòÿæåíèåì â äâà ðàçà âäîëü îñè
Ox
, ñîîò-
âåòñòâåííî.
x
arcsin
y
=
x
2
arcsin
y
=
2
x
arcsin
y
=
2
π
2
π
-
2
-
1
-
1
2
x
y
Ðèñ. 22
6.
y
=
Af
(
x
)
,
A
6
=
0
,
A
6
=
1
.
Ïóñòü òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, òî åñòü
y
0
=
f
(
x
0
)
.
Òîãäà òî÷êà
(
x
0
, Ay
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
Af
(
x
)
, òàê êàê
Af
(
x
0
) =
Ay
0
. Îáðàòíîå òàêæå âåðíî: ïóñòü òî÷êà
(
x
0
, Ay
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
Af
(
x
)
,
òîãäà òî÷êà
(
x
0
, y
0
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
. Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
Af
(
x
)
ìîæíî
23
ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
1) ðàñòÿæåíèåì ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
âäîëü
îñè
Oy
â A ðàç, åñëè
A >
1
;
2) ñæàòèåì ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
âäîëü îñè
Oy
â
1
A
ðàç, åñëè
0
< A <
1
;
3) ñèììåòðè÷íûì îòðàæåíèåì îòíîñèòåëüíî îñè
Ox
,
åñëè
A
=
−
1
;
4) ñèììåòðè÷íûì îòðàæåíèåì îòíîñèòåëüíî îñè
Ox
è ðàñòÿæåíèåì â
|
A
|
ðàç, åñëè
A <
−
1
;
5) ñèììåòðè÷íûì îòðàæåíèåì îòíîñèòåëüíî îñè
Ox
è ñæàòèåì â
1
|
A
|
ðàç, åñëè
−
1
< A <
0
.
Ïðèìåð 8
x
cos
y
=
x
cos
3
y
=
x
cos
y
2
1
-
=
π
π
-
2
π
2
π
-
2
1
-
1
3
x
y
Ðèñ. 23
Íà ðèñ. 23 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y
= 3 cos
x
è
y
=
−
1
2
cos
x
. Ãðàôèê ôóíêöèè
y
= 3 cos
x
ïîëó÷åí
ðàñòÿæåíèåì â òðè ðàçà âäîëü îñè
Oy
ãðàôèêà ôóíê-
öèè
y
= cos
x
, ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
−
1
2
cos
x
ïîëó÷åí
èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
= cos
x
ñíà÷àëà ñæàòèåì âäîëü
îñè
Oy
â äâà ðàçà, à çàòåì ñèììåòðè÷íûì îòðàæåíèåì
îòíîñèòåëüíî îñè
Ox
.
24
Òàêèì îáðàçîì, â ïóíêòàõ 16 ìû ðàññìîòðåëè îñ-
íîâíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ ôóíêöèé. Èñïîëü-
çóÿ èõ, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
Af
(
ax
±
c
)
±
C,
èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, ïîñëåäîâàòåëüíûì âû-
ïîëíåíèåì ïðåîáðàçîâàíèé:
1) èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè
y
=
f
(
ax
)
ïóòåì ðàñòÿæåíèÿ èëè ñæàòèÿ
âäîëü îñè
Ox
è, âîçìîæíî, îòðàæåíèÿ îòíîñèòåëü-
íî îñè
Oy
(ñì. ï. 5);
2) èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
ax
)
ñäâèãîì âäîëü îñè
Ox
íà
c
a
åäèíèö âïðàâî èëè âëåâî ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè
y
=
f
£
a
(
x
±
c
a
)
¤
=
f
(
ax
±
c
)
(ñì. ïï. 1,2);
3) èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
ax
±
c
)
ïîëó÷èì ãðà-
ôèê ôóíêöèè
y
=
Af
(
ax
±
c
)
ïóòåì ðàñòÿæåíèÿ
èëè ñæàòèÿ âäîëü îñè
Oy
è, âîçìîæíî, îòðàæåíèÿ
îòíîñèòåëüíî îñè
Ox
(ñì. ï. 6);
4) ñäâèãîì ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
Af
(
ax
±
c
)
âäîëü
îñè
Oy
íà
C
åäèíèö ââåðõ èëè âíèç ïîëó÷èì ãðà-
ôèê ôóíêöèè
y
=
Af
(
ax
±
c
)
±
C
(ñì. ïï. 3,4).
Òàêîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
Af
(
ax
±
c
)
±
C
èç ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì
ïðåîáðàçîâàíèåì ãðàôèêà ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
.
Ïðèìåð 9
Ïîñòðîèì ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè (êâàäðàò-
íîãî òðåõ÷ëåíà)
y
= 3
x
2
−
4
x
+ 5
.
25